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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:16:40

Expresar una proyección en una recta como un producto de matrices y vectores

Transcripción del video

en un vídeo anterior vimos que si teníamos alguna línea que está definida de la siguiente forma a nuestra línea l hacerlo con un color mucho más claro que nuestra línea l eran todos los múltiplos de algún lector ve y cuando digo todos los múltiplos son todos verdad son todos modos los múltiplos sobre la línea o sobre la recta real verdad entonces ya que definimos esta línea también definimos una transformación que de hecho le llamamos la proyección sobre nuestra línea l que de hecho era una función que iba de nuestro espacio de rené a rn verdad tomamos un vector en rn y lo apachurrada mosso justamente lo proyectamos sobre nuestra línea que vive también en rcn de hecho sabemos una fórmula y está para la proyección del vector x sobre la línea l no es otra cosa más que x punto de sobre b punto b ok por el vector de dónde ves este mismo generador de la línea ok entonces lo que quiero hacer en este vídeo es ahondar un poquito más en las ideas que hay detrás de las proyecciones y llegar a demostrar una propiedad muy importante que ya veremos más adelante pero algo que ya quizás te habrás dado cuenta aquí que te estarás que estarás notando es bueno quienes ve punto b y de hecho en general sabemos que si tenemos x punto equis para cualquier vector esto no es otra cosa más que la norma al cuadrado de x verdad entonces de punto b no es otra cosa lo demás lo dejamos igual que esto es x punto b sobre b punto b que es la norma al cuadrado debe y todo esto multiplica a nuestro vector de estos son escalar que multiplica ave ahora bien qué pasaría hay que hay que preguntarnos lo siguiente qué pasaría si éste debe en particular que nos tomamos tienen norma iguala o no es decir qué pasaría si la norma debe es igual a 1 es decir estamos pensando que ve es un vector unitario es un lector unitario en el mismo sentido que lo vimos en en el vídeo correspondiente donde hablamos justamente de los vectores unitarios ok entonces sí si la norma debe fuera unitario tendríamos que esta expresión de aquí simplemente como éste eso no se reescribe como x punto de por el vector de ok y lo cual es una expresión sumamente sencilla verdad es que es muy fácil acordarse cuando uno tiene un generador de una recta que tiene norma 1 ahora el detalle cuando vimos el video de vectores unitarios es que siempre podemos dar uno y vamos a hacer un ejemplo un dibujo para para ejemplificar esto tenemos aquí digamos nuestros ejes esto lo estoy pintando en el ruedo aunque por supuesto todo esto lo podemos extender a rn verdad aquí tenemos nuestra línea y digamos que quien genera esta línea es un vector de éste es director b y que además éste no tiene norma o no mi tarea es decir la norma de este vector es distinta de uno sin embargo ya vimos en ese vídeo de de vectores unitarios quedado cualquier elector siempre puede uno encontrar otro que le que de hecho le poníamos éste esté gorrito gracioso simplemente por tomar este vector y dividirlo por su norma verdad dividimos por son oms por su norma al vector y entonces éste sí ya tiene norma unitaria y de hecho como como éste como como cómo ve es un múltiplo de eeuu entonces la línea generada por de es exactamente la misma generada por u verdad lo que tenemos es que nuestra línea l simplemente es la línea generada por ahora nuestro vector unitario verdad pues sí digo si teníamos todos los múltiplos debe y uss un múltiplo de de pues entonces también tendremos todos los múltiplos de eeuu y de esta forma entonces podemos concluir que nuestra proyección la proyección sobre nuestra línea l de cualquier factor x ya tiene una forma sencilla y de hecho es x punto u que multiplica al vector muy bien entonces esto de aquí por ejemplo si lo utilizamos en en los vectores que utilizamos en el vídeo anterior en el vídeo anterior teníamos el vector de que era el lector 21 y el vector x verdad que era el vector 23 es decir podríamos pensar que esta línea es la generada por el vector 21 y que queremos proyectar un vector digamos x que es el 23 llegó no no sé si exactamente así se pintarían estos dos vectores pero lo que quiero que quede claro es la idea de qué es lo que queremos hacer verdad entonces lo que necesitamos es calcular primero la norma debe y la norma debe es fácil de calcular porque simplemente es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las entradas es decir de 2 al cuadrado 2 al cuadrado más una cuadra y esto es la raíz cuadrada de cinco así que nuestro sector un unitario va a ser uno entre la norma que sería uno entre la raíz de 5 por el vector 21 gay y entonces éste es nuestro vector unitario y por él el video que hicimos siempre podemos dar un vector unitario siempre lo podemos garantizar entonces si yo tengo inicialmente una línea que es generada por un vector de la definición de la proyección puede parecer en principio más o menos complicada pero si nuestro generador de la recta es quién es unitario es decir tienen norma 1 entonces esta expresión se simplifica muchísimo a simplemente simplemente estoy aquí x punto u por el vector uu donde hubo es el vector unitario muy bien entonces ya que tenemos esto tú dirás hoy ella me ha hablado lo suficiente de las proyecciones ya me dijiste que es una transformación lo que no sabemos hasta este momento es si dicha transformación es línea que y entonces lo que no sabemos es decir es una transformación transformación lineal y eso es lo que vamos a ver justamente ahorita vamos a demostrar que sí es una transformación línea y para eso lo que vamos a hacer es ver que se cumplen las dos propiedades es decir vamos a tomarnos la proyección la proyección sobre l de una suma de vectores ok y vamos a ver que esto es la proyección de a más la proyección debe entonces esto por definición si si si tenemos un generador de ley que es un vector unitario ya vamos a suponer que es unitario entonces esto simplemente es a más ve que es el que juega el papel de x en éste en este ejemplo punto u key y todo esto multiplica me vector uu ahora bien este producto punto se distribuye verdad por propiedades del producto punto esto es apuntó hugo más ve punto u pay y esto multiplica nuestro víctor hugo y nuevamente si tenemos una suma de escalar es que multiplica un vector por las propiedades de de los vectores tenemos que esto es apuntó que multiplica a eeuu más más no sirve punto o que multiplica al vector u y esto ya está gritando a leguas que es lo que estamos encontrando porque esto de aquí no es otra cosa más que la proyección sobre l de nuestro vector a verdad esto es por definición aquí está la definición simplemente en vez de x ponemos a y esto de aquí no es otra cosa más que la proyección sobre nuestra línea l del vector be ok entonces ya tenemos la primera condición de que la proyección de una suma en efecto es la suma de las proyecciones entonces eso es apenas la mitad del trabajo necesitamos también demostrar que sí tenemos la proyección la proyección sobre el de un múltiplo de un vector de gm ponerle a como estábamos trabajando esto debería ser él la constante que multiplica a la proyección de a pero bueno esto por definición es sea punto que multiplica nuestro víctor hugo y nuevamente por propiedades del producto punto las constantes pueden salirse del producto punto entonces esto es seis veces apuntó ubu que multiplica a eeuu y esto esto de aquí no es otra cosa más que esto es la proyección sobre él le debe a que está haciendo x se entonces tenemos reveses la proyección sobre l del vector a y cómo ésta es la segunda condición que se debe cumplir para que una transformación sea lineal tenemos está y tenemos está entonces si esta transformación en efecto es lineal pero hay algo más importante que sabemos de las transformaciones lineales y que esencialmente es mi punto central de este vídeo y es que por ser lineal tiene forzosamente una representación matricial es decir nosotros sabemos y que la proyección sobre la línea l del vector x se puede calcular cómo x.org multiplica al vector uu ok pero pero por ser una transformación lineal tenemos de gratis que existe una matriz a que al multiplicarlo por x nos da esta esta transformación y de hecho sabemos que que la matriz a es de dos por dos es de dos por dos porque tenemos que la proyección va de r2 a r2 entonces vamos a ver si nosotros tenemos esto de aquí de hecho aquí lo voy a trabajar dije de 2 x 2 estoy pensando entonces que la proyección sobre la línea el elector x es una función que va de r2 en el ruedo sin embargo esta idea que voy a presentar la pueden extender a a rn donde la gente puede ser tan grande como quieras rr 724.000 o qué sé yo lo que quiero hacer aquí con este ejemplo es fijar las ideas ok quiero fijar las ideas de cómo se comporta la matriz de una proyección y para hacer eso sabemos muy bien qué necesitamos ver hacia dónde va a dar la base canónica es decir qué pasa si yo me tomo la identidad la identidad en este caso de dos por dos y empiezo a aplicarle la transformación si yo aplico la transformación voy a tener que entonces me matriz a es aquella que tiene como columnas a la imagen de la prohibió el de la transformación que en este caso es una proyección de la base canónica es decir de estos dos sectores que forman la base canónica entonces si aplicamos la transformación al primer vector al 10 estaríamos diciendo que tengo 10 10.1 que digamos que nuestro víctor hugo el vector unitario uva hacer uno o dos más a vamos a pensar que se escribe de esa forma y entonces al aplicar la proyección al vector 10 tenemos 10.312 y todo esto multiplica al vector que es 12 esta es mi primera columna vámonos con la segunda la segunda columna es aplicar la transformación al 01 may sí dije el 1-0 anteriormente espero que si él aquí aplicamos la transformación a 10 vamos a aplicarlo a 0 1 y entonces tengo 0 1 01.12 y todo esto multiplica al vector 12 gay entonces aquí ya tenemos sin desarrollar mi matriz que me interesa así que vamos a vamos a desarrollarlo sólo que tenemos que calcular uu pero uia está aquí verdad porque uno podemos de hecho no podemos expresar como como bueno antes de antes de expresar lo vamos a terminar de decir quién es esta matriz aquí este producto punto nos da uno por use con perdón 1.1 por 1-0 por u2 es uno que multiplica a este vector verdad entonces de hecho me poner lo mejor abajo para hacerlo más espaciado entonces si nosotros desarrollamos a a la matriz a esto es 1 verdad dijimos que es uno que multiplica al vector 12 gay y el otro la otra columna va a ser cero por 10 +1 por dos simplemente nos da dos que multiplica a 12 may entonces esta matriz es la que ya tenemos y es fácil de calcular verdad porque uno por uno es uno al cuadrado 1 por u2 es un 12 2 por 1 es1 es2 verdad simplemente cambiando el orden y mudos por dos escudos al cuadrado muy bien entonces esta es la matriz asociada a la transformación de la proyección verdad es decir si tú me das un vector unitario yo te doy la transformación asociada a la proyección sobre la línea que genera ese vector unitarios o dicho en muchas palabras verdad entonces en este caso el vector unitario era wii y era uno entre la raíz de 5 por el 2 1 que lo podemos poner como 2 sobre la raíz de 5 y 1 sobre la raíz de 5 may entonces en este caso particular en donde el vector uu es este entonces lo podemos sustituir y la matriz que me queda es uno al cuadrado que es 4 sobre 5 1 por u2 es 2 por 1 2 y raíz de 5 x ray de 535 verdad raíces 5 al cuadrado aquí vamos a tener uno por dos que es 2 sobre 5 y 2 al cuadrado es uno sobre raíz del 5 al cuadrado es 1 sobre 5 ok entonces ya que tenemos este vector unitario tenemos la matriz asociada a la trae a la sala a la proyección sobre la línea que genera entonces cómo se vería esto más o menos si éste es si éste es decir no ponerlo así si éste es nuestro vector debe hacerlo un poco más grande si éste es mi director de el que inicialmente tenía y estoy considerando la recta generada por este por este director keith entonces yo necesito achicarlo hacerlo más pequeño hasta definir mi me víctor hugo que es el 1 sobre la raíz de 5 del 21 del 21 verdad este es mi vector unitario y lo que tenemos finalmente es que la proyección la proyección sobre l de cualquier doctor x si tenemos una fórmula sencilla de calcularlo pero además tenemos una forma matriz ya lo cual es bastante bonito verdad que podamos ver esta transformación como una matriz por vector esta matriz por el vector x verdad es muy bonito este resultado es decir si tú tienes aquí un vector it's ok si tú tienes aquí un vector x en realidad con esta fórmula de matricial podemos encontrar el vector que se encuentra sobre la línea que es la sombra o la proyección de nuestro vector x si nosotros tenemos por ejemplo este otro vector de la misma forma podemos calcular tiene su proyección sobre esta línea o si tenemos no sea alguno otro por acá también tendremos quien en su proyección pero bueno de todas formas creo que esto fue bastante bonito