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¿Estás estudiando para un examen? Prepárate con estas 7 lecciones sobre Transformaciones de matrices.
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Expresar una proyección en una recta como un producto de matrices y vectores

Transcripción del video
En el video anterior vimos que si teníamos alguna línea que fue define como todos los múltiplos escalares de algunos vectores--I'll sólo escribirlo como este. Los múltiplos escalares, obviamente, es cualquier número real. Definimos una transformación, y no hablar de ella mucho en términos de las transformaciones, pero fue una transformación. Definimos una proyección sobre esa línea L como un transformación. En el video, nos señala como las transformaciones en R2, pero podría ser, en general, una transformación de Rn a Rn. Definió como, fue la proyección de x en l igual al producto de punto de x, con esta definición de vectores. Esta definición de vectores, dividido por esa definición de punto de x vector salpicada de sí mismo. Todo eso veces el vector de definición de la línea. Esta fue nuestra definición. Un par de cosas que han aparecido hacia fuera en usted derecho cuando primero vimos esto. ¿Cuando el punto de un vector consigo mismo, lo que equivale a? Sabemos que si tomo algunos vectores, y yo con punto sí, es equivalente a la longitud del vector cuadrado. Nosotros podemos reescribir esto como siendo igual a x punto v, sobre la longitud de v cuadrado, todo eso veces v. ¿No sería agradable si la longitud de v fue 1. La longitud de v era igual a 1. Si la longitud del v era 1, o esta es otra forma de decir que v es un vector unitario. Nuestra fórmula para nuestra proyección sería sólo simplificar a x v de punto. Todos que tiempos, esto será sólo ser un número escalar, veces v. Dices, hey Sal, ¿cómo sabemos si esto es un unidad de vector o no. Lo que usted puede realizar es que cualquiera--permítanme dibujarlo así. Cuando la dibujó en el video anterior, sólo recogió una línea, como. La línea puede definirse realmente a este vector v en la línea. Puede ser cualquiera de los vectores que figura en la línea. El vector v podría ser así. Supongamos que alguien da usted un vector v no es un vector unitario. Digamos que la longitud de v no es igual a 1. ¿Cómo se puede definir una línea mediante algunos vectores de la unidad. Sólo puede normalizar v. Puede definir algunos vectores de unidad aquí. Podría definir el vector suma allí. Vamos a llamarla u, y yo diría que es un vector de unidad. Es igual a 1 sobre 1 a lo largo de v v veces. Le mostré esta en el video de vector de la unidad. Se puede construir un vector unitario que va en el mismo Dirección de cualquier vector, esencialmente sólo dividiendo, o supongo que multiplicar, ese vector veces su longitud 1. En general, siempre podemos redefinir la línea. Todos los posibles múltiplos escalares de v van a ser lo mismo que todos los múltiplos escalares de nuestra unidad vector, u, que es sólo un múltiplo escalar de v. Podemos redefinir nuestra línea. Si nos redefinir nuestra línea, L, como en igualdad de condiciones a todos los posibles múltiplos escalares de nuestro vector unitario, donde la escalares son miembros de los números reales. Nuestra definición de proyección simplifica un poco bueno. La proyección de x en L se convierte en nuestro vector unitario, de punto de x veces el vector unitario, veces la unidad vector propio. Ese caso que hice en el video anterior, donde tenía los dos vectores. Cuando dije que el vector v que define la línea, me parece era el vector 2, 1. Nuestro vector x es igual a 2, 3. Si quieres hacer esta definición, solo tenemos que convertir a este chico en un vector de la unidad primera. La manera de convertirlo en un vector de la unidad, puedes adivinar la magnitud. En este caso la magnitud de v es igual a lo que. cuadrado de 2 plus 1 al cuadrado es 1. Tomar la raíz cuadrada de. Me permito escribir. Cuadrado es igual a la raíz cuadrada de 2 plus 1 al cuadrado, que es igual a la raíz cuadrada de 5. Puede definir su u--su vector unitario podría ser sólo 1 en este momento ese tipo. 1 sobre la raíz cuadrada de 2 tiempos de 5, 1. Podría multiplicar, o no. Podría dejarlo en este formulario. Usted puede siempre, para cualquier vector v, siempre se puede encontrar una unidad vector que va en la misma dirección, asumiendo que somos tratar de vectores no cero. Usted siempre puede reducir algo como esto, a alguna otra definición, como este. Cuando se trata de una versión de vector de la unidad de el vector v allí arriba. Acaba de decir que, mira, ésta es una transformación de Rn a Rn. Lo que no estamos seguros, es lineal transformación. Siempre podemos escribir así. Vamos a ver si esto siempre va a ser lineal transformación. Hay dos condiciones para que sea una transformación lineal. Veamos qué pasa si tomo la proyección sobre L de dos vectores. Digamos que el vector un plus del vector v. Si tomo la suma de sus vectores. Si se trata de una transformación lineal, esta debe ser equivalente a tomar cada una de sus proyecciones individualmente y entonces sumando. Vamos a ver si este es el caso. Esto es equivalente a, por nuestra definición, vamos a usar la unidad vector de versión, porque es más simple. Esto es igual a b plus, que es nuestro x, punto u. Y entonces, todo eso nuestro vector unitario. Sabemos que el producto escalar tiene una propiedad distributiva, para que esto equivale a un punto u plus b punto u. Estos son vectores unitarios. Todo eso veces el vector u. Estos son números sólo escalares. Así multiplicación escalar tiene propiedades distributivas. Esto equivale a un punto u, veces nuestro vector u. Recuerde que esto sólo va a ser algunos escalares. Además b punto u veces nuestra unidad vector u. ¿Qué es este igual a. Este derecho aquí es igual a la proyección de una. Esto es igual a la proyección de un sobre L, por definición, aquí. Por esta definición. Si asumimos que tratamos con el vector de la unidad definición de la línea. Esto es igual a, todo esto aquí, es igual a Además de la proyección sobre L del vector b. Vemos nuestra condición primera para este lineal ha ocupado de la transformación. Una proyección de la suma de los vectores es igual a la suma de las proyecciones de los vectores. La segunda condición es que la proyección de un escalar múltiple debe ser igual a un múltiplo escalar de la proyección. Permítanme anote. ¿Qué es la proyección sobre L de algunos múltiplo escalar de algunos vectores un. Es igual al punto de ca nuestra unidad vector u tiempos de unidad vector u. Este es un poco más sencillo. Esto es el múltiplo escalar. Lo vemos en nuestras propiedades de producto escalar, esto es igual a c veces un punto u, veces el vector u. Esto es apenas igual a c veces, esto aquí, es un proyección de un sobre L. Conocimos a dos de nuestras condiciones para transformaciones lineales. Sabemos que nuestra proyección sobre una línea en Rn es un transformación lineal. Eso nos dice que nosotros podemos representar como una matriz transformación. Sabemos que la proyección de x en L, que ya sabemos esto definición, puede reescribirse. No te duele para escribirlo. X punto algunos vectores de la unidad define nuestra línea. Permítanme llamar con un pequeño sombrero para demostrar que es un vector unitario. Veces el vector de la unidad, así que nosotros conseguir un vector. ¿Cómo puedo escribir esto como algún producto de la matriz. Algunos producto vectorial de la matriz. Quiero escribir como un producto de algunos tiempos de la matriz x. Para simplificar las cosas, ya que realmente estamos tratando con una matriz, vamos a limitarnos al caso de R2. Supongo que mi proyección sobre L va a ser una asignación de R2 R2. Puedes hacer lo que estoy haciendo aquí con una dimensión arbitraria. Si lo que estamos haciendo en R2, entonces nuestra matriz A, derecha, hay va a ser una matriz de 2 por 2. Hemos visto en varios videos que averiguar la matriz A, sólo tomamos la matriz de identidad que tiene la norma vectores de base como columnas. 0, 1. O 1, 0 y luego 0, 1. Y aplicamos la transformación a cada uno de estas columnas. Podríamos decir que A va a ser igual a--su primer columna va a ser igual a la proyección sobre L de este cosa aquí. Lo haremos en este color naranja, aquí. ¿Qué va a ser. Va a ser este punto u. Déjame escribir mi u. Vector de mi unidad, vamos a asumir que u puede ser reescrita como mi unidad vector es igual a la suma u1 y u2. Asi como asi. Necesito tomar este punto mi vector unitario, que Esto me anote. Me permito escribir esto en el lado. Lo primero que quiero hacer es averiguar lo que la proyección--la proyección sobre L, permítanme escribirlo de esta manera. Sabemos que la proyección es apenas igual a este punto que esto veces Ese vector. Permítanme escribir. El vector de 1, 0 punto la unidad vector u, que es justo u1, u2. Vamos a tener que tiempos mi vector unitario. Te escribo como este. Veces los vectores u1, u2. Esto va a ser mi primera columna en mi matriz de transformación. Mi segunda columna va a ser lo mismo, pero no estoy listo para tomar la proyección de este tipo. La definición de nuestra proyección es que este tipo de punto con nuestro vector unitario. Así nos lo salpican. Estamos tomando el producto escalar de 0, 1. 0, 1 punto de mi unidad vector punto u1, u2. Voy a multiplicar veces mi unidad vector momento u1, u2. Esto parece muy complicado, pero se debe simplificar cuando nos realmente tratar de elaborar nuestra matriz de transformación. Vamos a hacerlo. Cuando el punto de estos dos chicos, lo que me sale. Me permito escribir aquí. Mi matriz se convertirá en veces 1 u1 y u2 0 veces. Eso es justo u1. Todo esto sólo simplifica a u1, cuando tomo el producto escalar de estas dos cosas. Veces u1, u2. Va a ser mi primera columna. Mi segunda columna, si salpican a estos dos chicos, obtener 0 veces U1 y u2 1 veces. Así que voy a obtener tiempos de u2 vector de mi unidad, u1, u2. Si multiplican fuera esto será igual a lo que. Sólo puedo escribirlas como columnas. U1 veces u1 es u1 cuadrado. U1 u2 de veces es u1, u2. u1 de tiempos de U2 es u2 veces u1. Entonces, u2 veces u2 es u2 al cuadrado. Usted me da cualquier vector unitario y le dará la transformación que te da cualquier proyección de algún otro vector en la línea definida por. Estaba muy lejos de decir. Volvamos a lo que hice antes. Digamos que queremos encontrar cualquier proyección sobre la línea, en el vector, te llamo lo aquí. Vamos a hacer el mismo ejemplo que hicimos en el último video. Si tengo algún vector v que se ve así. Nos dice que el vector v es igual al vector 2, 1. Ese fue mi vector v. ¿Cómo podemos encontrar la transformación de la suma de la ¿proyección sobre la línea definida por v? En esta línea aquí. La línea definida por v. En primer lugar, lo que podemos hacer es convertir un vector unitario v. Podemos convertir v en una unidad de vectores que va en la misma dirección. Algunos u vector de la unidad. Lo hicimos ya aquí. Donde básicamente sólo dividimos [? bv?] por es longitud. Tomemos v y divida por su longitud. El vector unitario es éste: 1 sobre la raíz cuadrada de 5 veces nuestro vector v. Fue 1 sobre la raíz cuadrada de 5 veces nuestro vector v, allí. Comienzas con un vector de unidad allí. Sólo crea esta matriz, y entonces tendremos nuestro matriz de transformación. Si este es nuestro u, lo que nuestra matriz será igual a. Se trata de u. Entonces nuestra matriz sería igual al cuadrado de la u1. ¿Qué es u1 cuadrado. Permítanme reescribir nuestro u un poquito, no en ángulo. Nuestro vector u, nuestro vector unitario que define esta línea, es igual al vector 2 sobre la raíz cuadrada de 5 y 1 más la raíz cuadrada de 5. Yo sólo multiplicado a este escalar. Si queremos construir esta matriz, obtenemos A es igual a U1 cuadrado. ¿Qué es esto al cuadrado? Se convierte en 2 4 cuadrado sobre la raíz cuadrada de 5 al cuadrado, que es apenas 5. Equivale a 4 sobre 5. ¿Qué es u1 u2 de veces? 1 2 veces sobre la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de 5 veces de 5. Así, 2/5. Yo sólo multiplica estos dos. ¿Qué es u2 veces u1. Lo mismo. Orden no importa cuando multiplican. Se trata también de 2/5. ¿Qué es u2 al cuadrado. 1 cuadrado sobre la raíz cuadrada de 5 al cuadrado es sólo 1/5. Ahora podemos decir--y eso es lo ordenado acerca de la creación Estas matrices, la proyección--vamos a decir que algunos, digamos que éste es el origen aquí, tenemos Algunos otro vector x, aquí. Ahora podemos definir nuestra transformación. La proyección sobre L donde L es igual a cualquier escalar múltiple de nuestra unidad vector u. Es justo aquí. Es miembro de los reales. Esa es nuestra línea L. La proyección sobre L de cualquier vector x es igual a esta matriz. Es igual a la matriz de 4, 5, 2/5, 2/5, 1/5 veces x. Que es un resultado muy aseado, al menos para mí. Una vez más todo reducido a apenas una matriz multiplicación. Usted toma este x y se multiplica por esta matriz, vas a obtener su proyección sobre L, en la línea. Si usted toma este vector, digamos a, y se multiplican veces esta matriz derecha, vas a obtener su proyección. Su proyección sobre la línea. Si usted podría tomar ese vector--No, debe ir a través del origen. Quiero dibujar en la posición estándar. Si usted toma este vector, justo ahí y multiplicar veces Esta matriz, vas a obtener este vector, aquí mismo, figura en la línea. Cuando usted réstelo de esto, es ortogonal. Sabemos la definición. Es tipo de la sombra de ese vector. De todas formas, creo que esto es bastante limpio.