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¿Estás estudiando para un examen? Prepárate con estas 7 lecciones sobre Transformaciones de matrices.
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Transcripción del video
Digamos que tengo una línea que pasa por el origen. La voy a dibujar como R2, pero ésta se puede extender hasta un punto arbitrario Rn. Déjame dibujar los ejes. Esos de ahí son mis ejes, no están dibujados perfectamente, pero entiendes la idea. Déjame dibujar una línea que atraviesa el origen aquí. Pues ahí esa es mi línea. Y sabemos que una línea en cualquier Rn--la estamos haciendo en R2-- se puede definir simplemente como todos los posibles múltiplos escalares de algún vector. Pues digamos que este de aquí es algún vector que estå en la línea. Podemos definir nuestra línea. Podríamos decir que I es igual al conjunto de todos los múltiplos escalares-- digamos que eso aquí es v. Así que son todos los posibles múltiplos escalares de nuestro vector v donde los múltiplos escalares, por definición, son simplemente cualquier número real. Así que obviamente, si tomas todos los posibles múltiplos escalares de v, tanto los multiplos positivos como los negativos, y múltiplos menores que 1, fracciones de múltiplos, tendrías un conjunto de vectores que esencialmente definen o especifican cada punto sobre esa línea que atraviese el punto de origen. Y sabemos que, por supuesto, si ésto no fuese una línea que atravesara el origen, tendrías que trasladarla por algún vector. Tendría que ser algún otro vector más cv. Pero de todas maneras, comenzamos con esta definición de la línea que atraviesa el punto de origen. Lo que deseo haver en este vídeo es definir la idea de una proyección hacia L de algún otro vector x. Permíteme dibujar mi otro vector x. Digamos que esto de aquí mismo es mi otro vector x. Ahora, una proyección, de la cual voy a darte sólo una idea, y luego la definiremos con un poco de mayor precisión. Una proyección, siempre imagino, es que si tuvieras una fuente de luz que fuese como que perpendicular u ortogonal a nuestra línea-- pues digamos que nuestra fuente de luz estuviese brillando así hacia abajo, y lo estoy haciendo en esa dirección porque eso queda perpendicular a mi línea, imagino la proyección de x hasta esta línea como la sombra de x. Así que si esta luz bajara, sólo dibujaría así una perpendicular, y la sombra de x sobre I sería el ese vector de aquí mismo. Así que podemos visualizarlo como la sombra de x sobre nuestra línea I. Esa es una manera de verlo. Otra manera de verlo, y puedes pensar en ello como desees, es ¿cuánto de x va en la dirección I? Así que la técnica sería la misma. Dibujarías una forma x perpendicular a I, y dices, ok Entonces ¿cuánto de I tendría que ir en esa dirección para llegar a mi perpendicular? Cualquiera de esas es como yo visualizo el concepto de una proyección. Pienso que la sombra es parte de lo que motivo a que le llamaran una proyección ¿cierto? Cuando proyectas algo, estás radiando luz y viendo donde la luz cae en una pared, y estás haciendo eso aquí. Estás radiando luz y estás viendo dónde esa luz cae en una línea en este caso Pero no puedes hacer nada con esta deficición. Eso es sólo un sentido intuitivo de lo que es una proyección. Así que necesitamos descifrar alguna forma de calcularlo, o una definición más precisa matemáticamente. Y una cosa que podemos hacer es, cuando cree esta proyección--déjame en efecto dibujar otra proyección de otra línea u otro vector sólo para que captes la idea. Si tuviera algún otro vector por allá que se viera así, su proyección sobre la línea se vería algo como esto. Sólo dibujarías una perpendicular y su proyección sería como eso. Pero no quiero hablar de este caso solamente. Quiero que te haga sentido de que es la sombra de cualquier vector sobre esta línea. Así que ¿cómo podemos pensar en ello según nuestro ejemplo original? En todos los casos, no importa como yo lo perciba, tiré una perpendicular aquí abajo. Y pues si construimos aquí mismo un vector, podríamos decir, oye, ese vector siempre va a estar perpendicular a la línea. Y eso lo podemos hacer. No huebiese estado hablando de esto si no lo pudiesemos hacer. Así que déjame definir este vector, el cual aún no he definido. ¿Qué va a ser ester vector? Si este vector- permíteme no usar todos estos. Sabemos que queremos de alguna manera llegar hasta este vector azul. Permíteme dejarlo de color azul. Ese vector azul es la proyección de x sobre I. A eso es lo que queremos llegar. Ahora, una cosa que podemos mirar es este vector rosado de aquí. ¿Qué es este vector rosado? El vector rosado que acabo de dibujar, ese es el vector x menos la proyección, menos el vector azul de aquí, menos la proyección de x sobre I, ¿cierto? Si sumas la proyección al vector rosado te da x. Así que si sumas esta proyección azul de x hasta x menos la proyección de x, te dará, por supuesto, te dará x. Sabemos también que este vector rosado es ortogonal a la misma línea, que quiere decir que es ortogonal a todos los vectores en la línea, que también quiere decir que el producto escalar de los dos vectores va a dar cero. Así que déjame definir la proyección de esta manera. La prooyección, esta va a ser mi definición un poco más matemática. La proyección sobre I de algún vector x va a ser algún vector que está en I ¿cierto? Aquí mismo lo dibujé, este vector azul. Lo delinearé en blanco aquí mismo. Algún vector en I el cual, y esto podría ser un poco contraintuitivo, el cual x menos la proyección del vector de x sobre I es ortogonal a mi línea. Así que estoy diciendo que la proyección--esta es mi definición. Estoy definiendo la proyección de x sobre I con algún vector de I donde x menos esa proyección es ortogonal a I. Esta es mi definición. Eso es un poco más preciso y pienso que tiene una pizca de sentido porqué se conecta a la idea de la proyección de una sombra. Pero ¿cómo podemos trabajar con esto? Quiero decir, esto todavía está en meras palabras. ¿Cómo puedo en efecto calcular la proyección de x sobre I? Bien, la pista clace aquí es la noción de que x menos la proyección de x es ortogonal a I. Pues veamos si de alguna manero podemos usar eso. Así que la primera cosa que hay que realizar es, por definición porque la proyección de x sobre I es algún vector en I, eso quiere decir que es algún múltiplo escalar de v, algún múltiplo escalar de nuestro determinado vector, de nuestra v aquí mismo. Pues también podríamos decir, mira, podemos reescribir nuestra proyección de x sobr I. Podríamos escribirla como algún múltiplo escalar por nuestro vector v ¿verdad? Podemos decir eso. Esto es equivalente a nuestra proyección. Ahora, también sabemos que x menos nuestra proyección es ortogonal a I, así que tambi´n sabemos que x menos nuestra proyección-- y acabo de decir que podría reescribir mi proyección como algún múltiplo de este vector de aquí mismo. Puedes verlo de la manero que aquí lo he dibujado. Casi parece que es 2 por su vector. Así que sabemos que x menos nuestra proyección, ésta de aquí mismo es nuestra proyección, es ortogonal a I. Esta cualidad ortogonal, por definición, quiere decir que el producto escalar de dos vectores con cualquier vector en I es 0. Así que vamos a hacerlo con algún vector en I. O lo podemos hacer con este vector v. Eso es lo que usamos para definir I. Pues hagámoslo con v, y sabemos que eso tiene que ser igual a 0. Tomamos este vector de aquí mismo, su producto escalar con v, y sabemos que ésto tiene que ser igual a 0. Eso tiene que er igual a 0. Pues usemos nuestras propiedades de productos escalares de vectores para ver si podemos calcular un valor particular de c, puesto que cuando conozcamos u valor particular de c, entonces podemos simplemente multiplicarlo por el vector v, que nos han dado, y tendremos nuestra proyección. Y luego te lo voy a demostrar con números reales. Pues veamos si podemos calcular una c. Pues si distribuimos esta c- oh, lo siento, si distribuímos la v, sabemos que el producto escalar exhibe la propiedad distributiva. Esta expresión se puede reescribir como x producto escalar v, ¿cierto? x producto escalar v menos c por v producto escalar v. Rearreglé un poco las cosas. Sabemos que c menos cv producto escalar v es la misma cosa. Lo podemos reescribir como menos cv. Esto es menos c por v producto escalar v, y todo esto, por supuesto, es igual a 0. Y si quisieramos resolver por c, añadamos cv producto escalar v a ambos lados de la ecuación. Y te da x peoducto escalar v es igual a c por v producto escalar v. Resolviendo por c, dividamos ambos lados de esta ecuación entre v producto escalar v.