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Contenido principal
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Transcripción del video

digamos que tengo una línea que pasa por el origen y para eso estamos pintando nuestros ejes vamos a aplicarlo es un poco más derechitos digamos que aquí tengo mis 12 ejes y aquí estoy yo estoy dibujando en rd 2 aunque por supuesto esta idea se puede extender hasta rn y donde la gente puede ser tan grande como tú quieras en realidad puedes pensar en rd 10 de 25 mil r un millón 300 que selló ok entonces vamos a dibujar una línea que pase por el origen insisto aquí a lo mejor estamos dibujando lo en r2 pero esta idea la podemos extender a cualquier rehén e tan grande como quieras y tenemos ya esta línea entonces esta línea digamos si definimos un vector de aquí está nuestro vector b esta línea estará definida como todos los múltiplos de este vector de verdad se estira si multiplicamos por números más grandes que uno vamos estirando el vector en esta dirección si son más chicos que uno lo vamos a encoger 'no hasta llegar al cero y si son negativos pues entonces iremos en dirección contraria entonces nuestra recta l es el conjunto de todos los múltiplos los múltiplos de nuestro vector b donde los múltiplos estamos pensando en que todos los de esa recta se pueden escribir común múltiplo real de nuestro vector be ok entonces lo que quiero hacer en este vídeo es ahondar en la idea de lo que son las proyecciones son más que ahondar quiero introducir la idea de lo que es una proyección de un vector x sobre una línea que eso es lo que quiero lo que quiero hacer en este vídeo íbamos a addy bujar eso es decir qué pasa si tenemos aquí un vector x que íbamos pintando todas estas ideas aquí tengo mi director x y entonces la idea más más pues digamos la más sencilla que yo conozco para para ir definiendo o dando la idea de lo que es una proyección es suponer que hay digamos rayos de luz que están que están siendo emitidos en dirección ortogonal a esta línea entonces vamos a pensar que el vector xv su proyección es la sombra que genera es la sombra que genera con esta línea el que entonces y si se está emitiendo la luz de forma ortogonal entonces estamos pensando que hasta este punto hasta este punto de aquí este lector el b pero además lo estiramos más todo esto es la proyección sobre l de nuestro vector x entonces todo esto de aquí es la proyección sobre l de nuestro vector x es decir lo estamos pensando cómo la sombra que dejaría si emitimos luz de forma ortogonal a esta línea l oque y entonces vamos a a pensarlo así como que la proyección es la la sombra de la sombra que en algún sentido de x sobre l sobre ley estamos pensando las sombras y los rayos de luz son ortogonales a la línea ok entonces creo que creo que la sombra de hecho pensándolo como una sombra es más intuitivo de por qué se le llama esta proyección también podríamos pensar lo en que es el vector digamos que se encuentra sobre esta línea el que tenemos que sumarle a un vector ortogonal para obtener nuestro vector x por ejemplo si yo tuviera un vector más chico pues éste no sería la proyección verdad entonces realmente necesitamos extender este vector ve que es el que genera la lína tanto o o lo suficiente como para que con este vector ortogonal la línea podamos generar a nuestro vectores podemos verlo en ambos sentidos para mí es mucho más fácil pensarlo como como la sombra verdad y lo que quiero decir con esto es simplemente una idea intuitiva porque no podemos hacer matemáticas con esta definición verdad queremos al menos calcular o o queremos saber cómo podemos encontrar de forma pues digamos ya con actores reales con con operaciones con cuentas cómo podemos encontrar esta proyección ok entonces vamos a vamos a seguir por ejemplo vamos a dar sólo fue un último ejemplo de cómo se verían estas proyecciones para que quede muy claro por ejemplo si si tuviéramos un vector que estuviera por aquí pues entonces la proyección sería este vector de act este lector de aquí abajo ok pero bueno vamos a ir definiendo de forma más precisa todo esto porque si nosotros queremos definir la proyección sobre l de nuestro vector x ok entonces nuevamente este es el vector proyecciones nuestra sombra y estés x entonces como dijimos hace unos momentos necesitamos que este vector forme un ángulo de 90 grados con la línea este vector de aquí de gemelo lo marcó mejor este vector de aquí este vector de aquí debe formar un ángulo de 90 grados con la línea pero quién es este vector es un vector que al sumarle la proyección nos da x entonces es x - la proyección sobre l dx verdad sea este vector le sumamos la proyección puede ser en efecto nos da entonces lo que vamos a tener aquí es que este vector rosa que pinte x - la proyección debe ser ortogonal a toda la línea l cómo podemos describir eso entonces la proyección dicho en palabras es algún vector no sabemos aún cuál es algo un vector en l en nuestra recta l donde donde o tal que x - la proyección sobre l de nuestro vector x sea ortogonal es ortogonal ortogonal a nuestra recta el ok y otra vez esto es es la idea de la proyección está dicho en palabras es un poco más precisó que la que la sombra de eki sobre l sin embargo no podemos aún calcular nada verdad esto todavía está dicho en palabras entonces cómo lo calculamos fíjense que como estamos tomándonos algún vector en l eso quiere decir que debe ser un múltiplo debe pues así está definido el de verdad el conjunto de todos los múltiplos debe así que en particular esta proyección debe ser igual a un c por b para para algún algún c no sabemos aún cuál 11 ene efe entonces todo el problema recae en ver cómo calcular esta c y para hacer eso no tenemos que x - la proyección es ortogonal a él es decir si yo hago el producto punto con cualquier director que se encuentre en nuestra línea l nos debe dar cero entonces x menos se por b punto cualquier lector que se encuentra en él en particular pues puede ser el mismo vector de punto b es igual a cero es igual a hacer y aquí vamos a utilizar nuestras propiedades del producto punto para poder simplificar esto y determinar un valor para hacer todo esto estamos pensando es la proyección y como el producto punto es distributivo entonces vamos a tener aquí x punto b - se ve punto b que de hecho sé por qué punto b lo podemos asociar de esta forma verdad es que me dejen quitar esto en realidad podemos sacar a la ce del producto punto ponerlo de esta forma que multiplica y esto nos debe dar cero ahora bien si nosotros sumamos o pasamos este término del lado derecho sumando tenemos x punto b es igual hace por de pronto ve y esto ya queda clarísimo exactamente de cómo entonces puedo encontrar hace porque si esto lo pasó dividiendo tendríamos que se es igual a x punto de sobre b punto ve muy bien entonces ya tenemos un valor exacto para encontrar nuestro nuestro c que es el múltiplo o el escalar por el cual tengo que multiplicará b para obtener la proyección entonces sólo para allá redondear la proyección sobre l de nuestro vector x kay es igual a un múltiplo c por nuestro sector b con nuestro vector de sin embargo ya sabemos quién es de verdad porque se es x punto b sobre de punto b que multiplica a nuestro vector be ok entonces aquí por ejemplo pues en el dibujo podríamos pensar lo como que es más o menos se ve que esta constante sé que nos da de calcular esto debe ser dos verdad más o menos por aquí anda de más o menos es como como como el doble verdad estamos re escalando el vector de para obtener la proyección ok y todo esto como ya les había comentado puede extenderse en general a rn verdad para él es incluso mucho muy muy muy grandes entonces vamos a hacer un un ejemplo para que veas que no es tan abstracto el concepto vamos a definir una línea le digamos que sea el conjunto de todos los múltiplos del vector vamos a decir que el vector 21 que hizo todos los múltiplos la recta que vamos a hacer y vamos a hacer un dibujo para que quede muy claro aquí tengo mi gx aquí tendré este es el eje x esté aquí es el eje ye que es el eje xl geie y necesito graficar el vector 2,1 entonces si yo tengo aquí el 1 y el 2 luego aquí tengo el 1 entonces tengo aquí en nuestro sector 21 aquí está el vector 21 hacerlo un poquito mejor aquí está el vector 21 y como estamos pintando toda la línea en cíes todos todos los múltiplos de este vector verdad no podremos extender en ambas direcciones muy bien esa es la línea y vamos a considerarnos otro vector digamos el x igual a 2,3 al 2 323 entonces aquí está 21 23 - es este vector que éste es mi vector y queremos encontrar nuestra proyección orto la proyección que que genere aquí un vector que sea ortogonal a la línea verdad más o menos como está en este dibujo entonces podemos calcular fácilmente esto con la formulita que ya tenemos porque la proyección sobre nuestra línea l del vector x es igual al 2 323 verdad es el vector x 23 punto el vector que genera la línea que es el 2-1 sobre 21.21 y esto es sólo la constante sé aún falta multiplicar por nuestro vector que genera la línea que es el 2 1 entonces esa constante multiplica al vector 21 y esto quienes vamos a ver si hacemos el producto punto de estos 22 x 243 por unos 34 más tres son siete y aquí abajo nos quedan dos por dos es cuatro más uno por uno que es uno entonces cuatro más uno son cinco que multiplica a nuestro vector 21 y que pues al menos ya aquí tenemos la respuesta pero bueno podemos vernos un poquito más explícitos y multiplicar cada uno de éstos por siete quintos y entonces dos por siete quintos son 14 quintos y siete quintos por unos son siete quintos ahí lo tienen y que pues 14 5º son dos por cinco son 10 y sobran 4 y 40 y 35 son hoy aquí es 2.8 y luego 735 pues esa 11.31 por cinco son cinco sobran dos años un 0 5 por 420 entonces 1.4 entonces esto es para que podamos más o menos dibujarlo y aquí tenemos que es 12 digamos si pacquiao el 13 de marzo - que aquí es el 2.8 y de altura es el 1.4 más o menos por aquí está la mitad más o menos entonces sí queda muy bien con el dibujo y con toda la idea intuitiva que teníamos detrás entonces coincide perfectamente con nuestra idea de la proyección como una sombra ahora ya sabes calcular proyecciones en el próximo video voy a mostrarte cómo sé cómo se puede dar una representación matricial de las proyecciones que entonces esencialmente nos dice que son transformaciones lineales