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Ejemplos de transformaciones lineales: rotar en R2

Ejemplos de transformaciones lineales: rotaciones en R2. Creado por Sal Khan.

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    La transformación de 2\times22×22, times, 2, que se representa en el siguiente diagrama, refleja el \maroonD{\text{cuadrado sólido}}cuadrado s
    o
    ˊ
    lidostart color #ca337c, start text, c, u, a, d, r, a, d, o, space, s, o, with, \', on top, l, i, d, o, end text, end color #ca337c sobre el eje xxx para hacer el \blueD{\text{cuadrado punteado}}cuadrado punteadostart color #11accd, start text, c, u, a, d, r, a, d, o, space, p, u, n, t, e, a, d, o, end text, end color #11accd.
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Transcripción del video

vamos a ver si podemos crear una transformación lineal que sea una rotación una rotación en un ángulo theta y esta función lo que hace es tomar un vector en r2 y arrojar no es una versión transformada una versión rota da de ese mismo vector otra forma de decirlo más bien una forma de describirlo es que la rotación en un ángulo theta de un vector x simplemente va a ser eso una rotación de no de teta grados theta grados ok del vector x del vector x en sentido antihorario en sentido antihorario y cuando digo sentido antihorario estoy pensando en el sentido contrario a las manecillas del reloj ok entonces para ir aclarando todas estas ideas vamos haciéndolo en un dibujo y ahí tenemos uno de mis ejes otro de mis ejes digamos este es el eje x 1 este es el eje x 2 y digamos que por aquí tenemos el vector y aquí está el vector x y que vamos a rotarlo en un ángulo de 90 grados de 90 grados de teta grados pero no quise decir 90 puede ser cualquier ángulo theta ok entonces esta es la rotación en un ángulo theta del vector x ok entonces la afirmación que tenemos es que esta transformación de rotación es una transformación lineal en cuyo caso nos gustaría después ver cuál es la matriz asociada a esta transformación entonces primero vamos a demostrar que es lineal y para eso hay que mostrar primero que la rotación de una suma de dos ángulos es igual a la suma de las rotaciones aunque igual a esta suma la rotación de x más la rotación de y ok esto lo vamos a ver visualmente vamos a mostrar que es lineal en unos dibujitos por ejemplo qué pasaría si yo aquí tengo el vector de ok y entonces si yo tengo aquí el vector y vamos a construir un su vector rotado por un ángulo theta digamos es más o menos este esta es la rotación de un ángulo theta de iu ok aquí está el ángulo teta y ahora hay que ver quiénes x mas x más y es simplemente poner este aquí más o menos es este vector de aquí este es x + de verdad aquí estamos colocando y encima déjenme déjenme quitarlo no se ve tan claro más o menos es así este digamos sería x más éste es poner yen en una posición no estándar verdad no anclado sobre el origen sino sobre x para que podamos ver quién es x más éste es x más déjenme ponerlo con este color x + ahora vamos a rotar este vector en un ángulo teta ok vamos a poner eso con vamos a ponerlo con verde entonces si nosotros rotamos z - se vería algo así esta es la ruta aquí este es un ángulo theta verdad entonces esta es la rotación en un ángulo theta de x más ahora bien qué pasa si rotamos aquí tenemos ya la rotación de iu en un ángulo theta y tenemos la rotación en un ángulo theta de x entonces si ponemos este vector encima de este otro más o menos nos da digo aquí pueden ser algunos errores de dibujo pero si se ve más o menos que la suma de estas dos rotaciones fue igual a la rotación de la suma entonces hasta este momento ya hemos visto que si cumple esta propiedad de separar las sumas muy bien ahora tenemos que demostrar que la rotación en un ángulo theta de un escalamiento de un vector es decir multiplicarlo por cualquier constante es esa constante por la rotación del vector original ok y para eso vamos a hacer otro dibujo vamos a pintar otros ejes poner esto que así y esto así que este es esos son los ejes y digamos que tenemos nuestro vector x por aquí este es nuestro vector x si nosotros rotamos o más bien si nosotros rescatamos primero con un 11 con una multiplicación por una constante en realidad estamos pensando en estirar lobo en cogerlo según sea el caso por un factor de escala ok esto sería c x qué pasa si ahora rotamos cx en un ángulo theta pues vamos a tener algo así verdad más o menos un ángulo teta aquí está el ángulo theta y esta es la rotación en un ángulo theta dcx pero fíjense que si nosotros rotamos primero x esto simplemente se debe conservar el mismo ángulo verdad entonces y la misma distancia entonces aquí va a estar nuestra rotación de x en un ángulo theta y simplemente hay que estirar tanto como habíamos estirado aquí entonces en efecto si se cumple esta propiedad que pinte en blanco de que la rotación de un múltiplo de un múltiplo de un vector es multiplicar por esa misma constante la rotación del vector x muy bien entonces si en efecto tenemos que esta transformación la rotación en un ángulo theta de x es lineal si éste es lineal quiere decir que podemos expresarla como la multiplicación de una matriz que de hecho vamos a llamarle a y que es de 2 x 2 porque va de reducen r 2 por cada vector x que se encuentre en el espacio r 2 y lo que tenemos que hacer como ya hemos visto en otros vídeos es tomarnos la matriz identidad en este caso de 2 x 2 que va a ser esta matriz la 1 0 0 1 y aquí lo que nos está dando es son dos vectores los dos vectores canónicos de r2 verdad y 1 10/2 entonces tenemos que ver dónde van a parar estos dos vectores al aplicarle la rotación para definir cómo es la matriz de transformación de las rotaciones ok entonces estamos diciendo que la rotación la rotación está dada por esta matriz ah ok que es simplemente aquella que tiene como columnas a la rotación en un ángulo theta de 1 esta es nuestra primera nuestra primera columna que de hecho vamos a describirlo bien el vector que uno es el 10 que es esta rotación y como segunda columna vamos a tener la rotación en un ángulo theta pero del vector 0 1 ok entonces esta matriz esta matriz de aquí es la que queremos encontrar y para eso vamos a hacer nuevamente un tercer dibujo nuestros ejes nuevamente vamos a hacerlo por aquí uno de los ejes déjenos hacerlo más derechito otro de los ejes ahí está entonces tenemos estos ejes y digamos que más o menos esta altura tenemos el vector 1 este es el vector 1 este es uno ya que hacia arriba vamos a pintar con amarillo el vector 2 seguir más o menos la línea de los ejes - más o menos hasta aquí está 2 de dos muy ok entonces ahí están mis lectores canónicos qué pasa si yo roto este vector por un ángulo theta que entonces si nosotros rotamos un ángulo theta digamos más o menos como esta altura ahí está la rotación esta es la rotación la rotación en un ángulo theta del vector e1 entonces este vector de aquí es lo que nos va a dar la primera columna verdad vamos a tratar de encontrar sus coordenadas sus coordenadas de este de este vector entonces lo que vamos a hacer es definitivamente empezar a construir un triángulo rectángulo es decir este triángulo que aquí se forma este triángulo de aquí sus coordenadas están dadas por la base y por la altura verdad y aquí tenemos una ángulo teta entonces podemos utilizar funciones trigonométricas para poder determinar quién es la base que sería la primera coordenada de esta rotación y para determinar la altura también usamos estas corden perdón estas funciones trigonométricas entonces recordemos alguna función trigonométricas que relacione el ángulo con algo que conocemos de hecho éste tiene longitud 1 verdad porque él por uno el vector uno tiene longitud uno y simplemente estamos rotando entonces no estamos el vector es uno lo rotamos si no estamos afectando su distancia entonces algo que que relacione la base o el cateto adyacente a este ángulo con la hipotenusa y ese es el coseno verdad del coseno del ángulo es el cateto adyacente sobre la hipotenusa pero en este caso la hipotenusa pues es 1 entonces simplemente es cateto adyacente que es nuestra coordenada x 1 entonces el coseno de este ángulo es nuestra primera coordenada ahora bien el seno del ángulo va a ser simplemente esta altura va a ser ésta a esta altura ok esta altura es lo que va a ser el seno del ángulo bueno ya les dije el resultado y eso es porque el seno del ángulo escate propuesto sobre hipotenusa verdad que es el cateto opuesto es hacia donde está viendo el ángulo y la hipotenusa mide 1 así que simplemente esto será nuestra segunda coordenada que es la altura de este vector entonces el seno del ángulo es la segunda coordenada de esta rotación déjenme quitar esto que ya no nos va a servir solo recuerden muy bien como como están definidas las las transformaciones las funciones trigonométricas y ahora nos vamos con la rotación del ángulo teta pero de nuestro vector de dos entonces si nosotros rota nos digamos por aquí este 2 un ángulo teta y digamos este ahí tenemos nuestra rotación la rotación del ángulo perdón de dos en un ángulo theta y nuevamente podemos construir un triángulo rectángulo verdad aquí tenemos este ángulo y nuevamente quien va a ser ahora la coordenada y la coordenada en x pues simplemente va a ser esta distancia que es exactamente la altura digamos de este triángulo visto si la base fuera estuviera sobre el eje de las 'íes' entonces esta altura nuevamente es el coseno del ángulo verdad algo que me relacione con el cateto opuesto con la hipotenusa perdón ese sería el seno del ángulo verdad el seno del ángulo seno del ángulo es cateto puesto sobre hipotenusa que otra vez la hipotenusa mide 1 y entonces también hay que observar que como estamos yéndonos en dirección negativa entonces si va a ser el seno pero va a ser negativo entonces este vector de aquí este de vector de aquí que tiene dos coordenadas la primera va a ser seno del ángulo pero en dirección negativa menos seno del ángulo y ahora cuál sería la altura de esta de este vector pues es simplemente esta altura verdad esta altura que está definida con el coseno del ángulo verdad base perdón cateto adyacente / hipotenusa entonces este de aquí simplemente es el coseno coseno del y entonces ya tenemos muy bien construido quiénes son las columnas de nuestra matriz de la transformación de rotación verdad porque dijimos que estas eran las columnas así que la matriz la matriz a la matriz a está definida de la siguiente forma la rotación esta rotación de eeuu no es la primera columna josé no de teta seno de teta y la otra columna será menos seno de teta coseno de teta jose no muy bien esta es mi transformación de hecho más bien es la matriz asociada a la transformación ya podemos usar cualquier rotación como una matriz por un vector entonces estábamos diciendo recordemos que decíamos que una rotación en un ángulo teta es una función que va de r2 en r2 vimos que es lineal y por lo tanto se escribe como una matriz por un vector entonces la rotación en un ángulo theta de un vector x es una matriz que de hecho ya sabemos cuáles es la matriz que tiene aquí coseno seno - seno coseno y que multiplica nuestro vector pues que tiene coordenadas x1 y x2 muy bien entonces ahora tú dirás oye pues qué bueno que ya encontramos una matriz pero de todos modos me está diciendo que tengo que sacar cosenos y senos y un ángulo no me está diciendo más entonces aquí dependerá del ángulo en particular que nos estemos tomando verdad como le voy a hacer voy a hacer un ejemplo muy concreto qué pasaría si queremos calcular la rotación de 45 grados de un vector x entonces lo que tenemos que hacer es sustituir estos 45 grados dentro de cada una de estas funciones trigonométricas entonces esto será la matriz una matriz que va a ser que resulta de evaluar en 45 grados tanto el coseno y el seno y poner los signos correspondientes cuál es el coseno de 45 grados bueno eso es raíz de 2 sobre 2 verdad ya lo hemos hecho en otros vídeos lo mismo va a pasar con el seno el seno de 45 es raíz de 2 sobre 2 tenemos menos seno de teta entonces sería menos raíz de 2 sobre 2 y cosenos de teta nuevamente es raíz de 2 sobre dos que multiplica a nuestro vector x ok vamos a ver cómo se vería esta transformación si yo tengo aquí mis ejes digamos aquí están mis ejes esto estamos trabajando en r2 y no sé digamos que tenemos alguna figura interesante digamos que tenemos un cuadrado aquí un cuadrado que está reposando sobre el eje de las equis ok y queremos rotar 45 grados entonces vamos a utilizar una transformación que rote todo esto en un ángulo de 45 grados entonces lo que se vería es más o menos de la siguiente forma déjenme poner otro color quedando muy amarillo todo tenemos este estos ejes nuevamente es el mismo espacio y lo que vamos a hacer es esta línea rotarla a 45 grados para que tengamos una mejor referencia ahí está lo que sería el eje x rotado y por supuesto ahí se va a encontrar nuestro cuadrado verdad aquí va a estar nuestro cuadrado rotado ya 45 grados que entonces esto es muy bonito y muy útil por ejemplo si uno quiere utilizar no se quiere programar un jueguito de pinball o de pelotas que chocan y demás bueno esto esto puede resultar muy útil porque hacerlo a mano puede ser muy complicado yo cuando hice a mano un programa éste fue fue bastante complicado pero esta herramienta utilizando matrices es mucho más útil y más fácil de resolver cuando lo intentamos programar y solo para que quede muy claro qué es lo que pasó estos vértices del cuadrado que estaban asociados a cierto vector verdad entonces este vector al rotar los 45 grados fue el que fue a dar acá este vector de acá arriba por ejemplo este de aquí este vector al rotarlo nos dio este otro vector y este vector de acá al final este de esta esquina es el que fue a dar después de la transformación a este otro vector de todos modos espero hayas encontrado esto muy bueno y muy útil creo que es de las primeras transformaciones que que me parecen bonitas y ya puedes pensar en cómo extenderlo a tres dimensiones si alguna vez lo intentas a hacer a mano las rotaciones en 3-d en tres dimensiones se vuelven muy confusas pero con el próximo vídeo vamos a hacer rotaciones en tres dimensiones alrededor de algunos ejes