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¿Estás estudiando para un examen? Prepárate con estas 7 lecciones sobre Transformaciones de matrices.
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Transcripción del video
. Vamos a ver si podemos crear una transformación lineal que es una transformación de rotación mediante algunos theta de ángulo. Y lo que hace es, tarda cualquier vector en R2 y asigna que una versión girada de ese vector. U otra forma de decirlo, es que la rotación de algunos vector x va a ser igual a una a la izquierda de los datos grado de rotación de x. Así que esto es lo que queremos construir con nuestro nuevo lineal herramientas de transformación. Y sólo para asegurarse de que realmente incluso podemos hacer esto, nos necesita para asegurarse de que hay una real transformación lineal. Sólo voy a hacer de visualmente. Realmente no tengo una matemática definición de esto todavía. Esto es tan bueno como os he dado. Así que permítanme señalar sólo algunos aquí derecho ejes realmente rápidos-- Tengo que dibujar un poco más que eso--tan es mis ejes verticales. Es mis ejes horizontales. Pude llamar a este uno el 1 x y I'll a esto llamamos el eje x 2. En el último video les llamé a la x y la y. Este es el primer componente de nuestros vectores. Este es nuestro segundo componente en nuestros vectores y si me tiene algunos vector x como que, sabemos que una giro hacia la izquierda de esta se verá así. Voy a hacer las rotaciones en azul. Se verá como este, donde este ángulo Aquí está bien theta. Así que aquí es la rotación de un ángulo de theta de x. Eso es lo que este vector aquí es. Así que lo que tenemos que hacer para asegurarse de que se trata de un ¿combinación lineal? Tenemos que demostrar dos cosas. Tenemos que demostrar que la transformación, por lo que el rotación por theta de la suma de dos vectores--tiene equivalente a la suma de cada uno de sus rotaciones individuales. La rotación del vector x y la rotación del vector y. Y sólo mostraré le visualmente. Esto es el vector x. Digamos que el vector y aspecto--let me dibujar los vectores originales en amarillo. Así que vamos a decir que el vector y miradas. Por lo es y. ¿Y qué tiene x plus y? Así que vamos a poner cabezas a colas. Si sólo nos movemos y aquí, también es vector y, no dibuja en la posición estándar, pero x más y, a continuación, sería bastante cerca de ello. . Permítanme dibujar un poco más ordenado. x plus y sería así. Sería el vector x y y. Y lo que quisiera su mirada de rotación ¿a través de un ángulo de theta? ¿Qué es rotación Si sólo gira este chico a través de un ¿ángulo de theta? Sólo estoy aproximando--se vería algo como esto. . Aquí sería la rotación de datos a través de un ángulo de theta de x y y. Ahora vamos a ver si eso de lo mismo como si nos gire x Gire y y, a continuación, agregarlos juntos. ¿Qué es y si nos la gira con un ángulo de theta? Si gira y con un ángulo de theta, va a Mira algo así--es toda aproximación. Lo debo estar haciendo con una regla y un transportador. Tal vez se ve algo como esto, la rotación de y a través de un ángulo de theta allí. Es el misma theta que he sido haciendo todo el tiempo. Quiero hacerlo en un color que realmente puede ver. Por lo es ese vector allí. La rotación de x se fue de allí. Si añadimos la rotación de x y la rotación de y-me tipo de esquivar a un poco a poco, pero creo que te la idea--así que esta es la rotación de x y la rotación de y. . Realmente te la rotación de x y y. Así al menos visualmente se satisfecho la primera condición. Ahora la segunda condición que necesitamos para que sea válido transformación lineal, que es la rotación a través de un ángulo debe ser de theta de una versión a escala arriba de un vector igual a una versión a escala arriba del vector girado. . Y sólo voy a hacer otro ejemplo visual aquí, así que sólo mi eje vertical. Que es mi eje horizontal y quisiera decir que este es mi vector x. Ahora vamos a elaborar una escala versión del mismo. Por lo que puede ser una versión a escala arriba de x como x, pero Obtiene ampliar un poco, así que va todo lo que aquí. Este es mi c veces x y ahora voy a girar a través de un ángulo de theta. Así que si tenemos girar a través de un ángulo de theta, usted obtendrá un vector que se ve algo como esto. Girar a la izquierda. Así que este vector aquí es la rotación por un ángulo de Theta hacia la izquierda de c, x. Eso es lo que ahí se. Ahora, ¿qué sucede si tomamos la rotación de x primera? Así que si nos basta girar x primero, vamos a conseguir este vector aquí. Así que aquí es sólo una rotación por un ángulo de theta de x y luego nos escalar hacia arriba. Lo que vemos es lo mismo de esta escala hasta que cuando multiplica por c, que esta cosa va a Escale a cuando se multiplica por c. Así al menos visualmente, creo que he mostrado que esto se cumpla. Así que la rotación es definitivamente una transformación lineal, en menos la manera que te he mostrado. Ahora vamos a construir realmente un matemático definición para ello. Vamos a construir realmente una matriz que realizará la transformación. Por lo que estoy diciendo que mi transformación de rotación de R2 a R2 de algunos vectores x puede definirse como algunos matriz 2 por 2. Y de 2 por 2, porque es una asignación de R2 a veces R2 cualquier vector x. Y digo que puedo hacer esto porque al menos me he mostrado visualmente que de hecho es una transformación lineal. Y ¿cómo encontrar A? Bueno, empiezo con--desde este lugar de asignación de R2-- Empiezo con la matriz de identidad en R2 que es 1, 0, 0, 1. ¿Sus columnas son los vectores base para R2, derecho? Nos referimos a éste como e1 y este vector de columna como e2. Y para calcular hacia afuera A, esencialmente sólo realizamos la transformación en cada una de estas columnas. Así que permítanme escribir. Así acumulado nuestra matriz acumulado va a ser--la primera columna de la misma va a ser una transformación de rotación en el vector 1, 0. Y nuestra segunda columna va a ser la rotación transformación--allí es un poco datos aquí estoy olvidar escribir--veces el segundo vector columna--o la transformación de aquel, 0, 1. Esto es lo que nuestra A va a parecer. Entonces, ¿cómo nos averiguar qué son? Estoy tratando de llegar a algunos números y esto no consigue me allí, así que vamos a tratar de hacerlo. Permítanme señalar algunos ejes más aquí. Quiero elegir un color diferente, lo voy a hacer en gris. Por lo es mis ejes verticales. Es mis ejes horizontales. Yo podría llamar a esto el eje x 1 y este es el eje de x 2. Ahora esta base vectorial e1, ¿qué aspecto tiene? Bueno, es 1 en la horizontal x 1 es 1 y 2 de x es 0. Así que esto es 1 aquí, e1 se verá así. Quiero hacerlo en un color más vibrante. E1 se verá que allí. Ahora permítanme escribir qué e2 parece. E2 vería como-- Lo voy a hacer en amarillo--sería e2 como esta aquí. E2--que es ese vector, 0, 1. Esto es 1 en nuestros 2 x dirección. ¿Ahora si gire e1 por un theta de ángulo, verá como? Así que si gire e1 en theta ángulo--lo voy a hacer en este color aquí--todavía tendrá una longitud de 1, pero éste podrá girarse como ángulo que y que derecha hay theta. Así que aquí es la rotación de e1 por theta. Estos son todos los vectores, por supuesto. Eso es lo que es. Ahora, ¿cuáles son las coordenadas para esto? O ¿cómo concretamos este nuevo vector? Bien podemos salir un poco de la trigonometría. Su nuevo 1 x coordenadas--que podríamos llamar--o su x 1 entrada va a ser esta longitud aquí. . Así que si trazamos un triángulo, es la parte que es adyacente a theta. Este lado es una hipotenusa que es longitud 1. ¿Cómo calculamos este lado? Si llamamos a este lado del lado adyacente. El lado adyacente sobre la hipotenusa. Adyacentes--me deja escribirlo aquí. Adyacente sobre la hipotenusa que es sólo 1, es igual a el coseno de theta. Viene de SOH-CAH-TOA dejar que me escriba. Coseno es adyacente sobre hypoteneuse y el adyacente ¿lado va a ser nuestro nuevo x 1 coordenadas, correcto? Bueno, obviamente podemos ignorar ese 1, un dividido por 1 es igual a theta coseno, lo que significa que una es igual a theta de coseno, lo que significa que esta longitud de nuestra gira vector es igual a theta de coseno. Su componente horizontal, o la coordenada horizontal es igual al coseno de theta. Ahora, ¿cuál es su componente vertical va a ser? Su componente vertical va a ser esta altura derecha aquí, que es lo mismo que a esa altura allí. O podríamos decir sinusoidal de theta--y llamar a esto la lo contrario--seno de theta es igual a la opuesta sobre 1. ¿Así que esto va a ser igual al seno de theta, correcto? Más 1, que es precisamente eso, es igual al seno de Theta de SOH-KAH-TOA. . Así que este componente vertical es igual al seno de theta. Así el nuevo vector de rotación base podría escribirse como coseno de theta para su componente x, o para su componente horizontal. Y seno de theta para su componente vertical. Este es el nuevo vector base girado. Ahora e2? Podríamos hacer algo muy similar allí. E2 va a terminan mirando así al hacerlo girar por un ángulo de theta. Va a ver así. Ese ángulo allí es theta. Podemos crear un pequeño triángulo derecha. Y si queremos saber sus coordenadas x, así que ahora estamos refiere a la rotación con un ángulo de theta de E2, y es que allí, de e2. Se trata de e2 allí. ¿Esto va a ser igual a lo que? Su nuevo x coordenadas o su primera entrada en este vector si hemos querido hacer en posición normal. O el punto que especifica que va a ser igual a esta distancia, que es igual a esta distancia en Este triángulo. Pero la coordenada va a ser la ¿negativa de este, derecho? Si se trata de una distancia de 2, esta coordenada es va a ser menos 2. ¿Qué es esto? Tenemos un ángulo. Es un triángulo rectángulo. Esto es opuesto al ángulo. Frente a más de 1, opuesto sobre la hipotenusa es igual coseno de theta. Así que este lado opuesto es igual el coseno de theta. Así que la coordenada x aquí. Oh lo siento, mi trigonometría está arruinando. Este es el opuesto lado--SOH-CAH-TOA. Seno es igual al frente--Déjame escribir TI--seno de Theta es igual a opuesto sobre hipotenusa. Así que el seno de theta--el seno de este ángulo es igual a el opuesto sobre la hipotenusa. La hipotenusa es 1, tiene longitud 1 porque se trata de la vectores de base estándar. Esto es igual al seno de theta. Ahora, esta distancia es igual al seno de theta que va en la dirección negativa, así que va a ser igual a la menos seno de theta. Y, a continuación, lo que es nuevo y componente va a ser esto ¿versión girado de e2? Bueno, solo esperamos aquí. Tenemos nuestro ángulo. Esto es adyacente al ángulo. Este lado adyacente sobre la hipotenusa--adyacente sobre 1-- que es simplemente esto es adyacente derecho aquí sólo va a ser igual al coseno de theta. Tan nueva coordenada y va a ser el coseno de theta. Cuando aplicamos la transformación a cada uno de nuestros vectores de la base, obtener es igual a la transformación aplicado a e1 coseno de theta y seno de theta. Y la transformación aplicada a e2, que es menos seno de Theta veces el coseno de theta. Así que ahora esto es un gran resultado. Ahora hemos conseguidos matemáticamente especificar nuestro transformación de rotación mediante una matriz. Así que ahora podemos decir que la transformación de rotación--y es una transformación de R2 a R2--es una función. Podemos decir que la rotación con un ángulo de theta de cualquier vector x en nuestro dominio es igual el coseno de la matriz de Theta, seno de theta, menos seno de theta, coseno de Theta, veces su vector en su dominio, x 1 y x 2. Y usted podría estar diciendo, oh Sal, hicimos todo este trabajo y tipo de aseado, pero ¿cómo aplico esto? Todavía tengo todos estos cosenos de thetas y sines de thetas ¿allí, cómo lo hago? Bien, qué es, selecciona un ángulo que desea girar a y justo evaluar estos, y sólo tendrá un normal matriz con números en ella. Así que digamos que queremos rotar un ángulo de 45 grados algunos vectores. ¿Bueno, esto va a ser igual a lo que? Sólo aplicamos o evaluamos cada uno de estos proporciones a 45 grados. Un coseno de 45 grados es la raíz cuadrada de 2 en 2. Seno de 45 grados es la raíz cuadrada de 2 en 2. Seno de 45 es la raíz cuadrada de 2 en 2. Tenemos un signo menos allí--así menos la Plaza raíz de 2 en 2. Y entonces el coseno es sólo raíz cuadrada de 2 sobre 2. Así lo multiplicamos veces nuestro vector x. Así que esta matriz, si lo multiplicamos veces cualquier vector x, literalmente. Así que si tenemos algunas coordenadas aquí. Y vamos a decir que tuviera un montón de vectores especificar algunos Plaza aquí. Déjame ver si puedo hacerlo correctamente. Bueno, quizás tiene algunos triángulo aquí--tal vez que ser un poco más fácil para mí dibujar. Voy a hacer un cuadrado. Digamos que tiene algunos Plaza aquí en mi dominio. Esto es en R2. Si literalmente la multiplicar este momento cada una de las bases vectores, o realmente todos los vectores que especifique establecer aquí, me van a dar, cuando transforme, voy a un girar la versión de este 45 grados. Para dibujarla, te llamo en realidad un pequeño ángulo de 45 grados allí. Y, a continuación, asignará a esta imagen, derecho que es un resultado bastante limpio. Y si alguna vez intentó escribir cualquier equipo de juego mármoles o pinballs pasando alrededor, este es un muy cosa útil saber--cómo girar las cosas. En el futuro, vamos a hablar acerca de otros tipos de transformaciones. Pero esto es super útil y esto es super difícil de hacer. Y recuerdo la primera vez que escribí un programa de computadora trate de hacer este tipo de cosas, sólo lo hice con la mano. Pero cuando usted tiene esta herramienta a su disposición, todo lo que tiene a hacer es evaluar esta matriz en el ángulo que desea girar por, y luego multiplicar veces sus vectores de posición. Y tan obviamente tienes un montón de vectores de posición aquí. Pero aquí sólo puede hacerlo veces los vértices y luego se puede decir OK. Y todo lo demás es sólo tiene que conectar los puntos entre ellos. Y luego tienes tu imagen girada. Y para ser claros, estos son los puntos especificados por un conjunto de vectores y siempre quieren ¿hacer este derecho claro? Este punto se especifica por alguna posición vector que se ve así. Cuando se aplica la rotación de 45 grados de ese vector, Este vector entonces este aspecto. Y el vector que especifica esta esquina derecha aquí--vamos a hacerlo en un color diferente--que especifica este rincón aquí, cuando usted está rotada 45 grados, luego se convierte en este vector. Y el vector especificado esa esquina allí, que Ahora se convierte en este vector. Eso es lo que realmente se asignan o estar realmente transformado. De todas formas, esperemos que encontraste esta bastante limpio. Pensé que esto era, al menos para mí, la primera realmente limpio transformación. Y ya puede empezar a pensar en cómo extender Esto en múltiples dimensiones especialmente tres dimensionals. Si alguna vez intenta realmente hacerlo a mano, en tres dimensiones rotación se vuelve muy confusa. Pero en el siguiente video realmente te figura una forma hacer tres rotaciones dimensionales alrededor de ciertos ejes. .