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Transcripción del video

vamos a ver si podemos crear una transformación lineal que sea una rotación una rotación en un ángulo teta y esta función lo que hace es tomar un vector en r2 y arrojarnos una versión transformada una versión rota de ese mismo vector otra forma de decirlo más bien una forma de de describirlo es que la rotación en un ángulo teta de un vector x simplemente va a ser eso una rotación de no detectan grados eta grados ok del vector x del vector x en sentido antihorario en sentido antihorario y cuando digo sentido antihorario estoy pensando en el sentido contrario a las manecillas del reloj ok entonces para ir aclarando todas estas ideas vamos haciéndolo en un dibujo ahí tenemos uno de mis ejes otro de mis ejes digamos este es el eje x 1 este es el eje x 2 y digamos que por aquí tenemos el vector aquí está el vector x y que vamos a rotar lo en un ángulo de 90 grados de 90 grados de teta grados pero no quise decir 90 puede ser cualquier ángulo te está ok entonces esta es la rotación en un ángulo teta del vector x ok entonces la afirmación que tenemos es que esta transformación de rotación es una transformación lineal en cuyo caso nos gustaría después ver cuál es la matriz asociada a esta transformación entonces primero vamos a demostrar que es lineal y para eso hay que mostrar primero que la rotación de una suma de dos ángulos es igual a la suma de las rotaciones que igual a esta suma la rotación de x más la rotación de ye ok esto lo vamos a ver visualmente vamos a mostrar que el lineal en unos dibujitos por ejemplo qué pasaría si yo aquí tengo el vector ok y entonces si yo tengo aquí el vector llegue vamos a construir un subsector rotado por un ángulo te está digamos es más o menos éste esta es la rotación de un ángulo teta deie ok aquí está el ángulo eta y ahora hay que ver quiénes x más allá x + 10 simplemente poner esté aquí más o menos es este vector de éste es x más allá de verdad aquí estamos colocando ye encima de gm y gm quitarlo no se ve tan claro más o menos es así o que esté digamos sería x valle es poner yen en una posición no estándar verdad no anclado sobre el origen sino sobre x para que podamos ver quiénes x may y éste es x más allá de que no ponerlo con este color éste es x mas ahora vamos a rotar este vector en un ángulo de eta aunque íbamos a poner eso con vamos a ponerlo con ver de qué y si nosotros votamos treta más o menos debería aguas y esta es la ruta aquí este es un ángulo teta verdad entonces esta es la rotación en un ángulo teta de x más allá ahora bien qué pasa si rotamos aquí tenemos ya la rotación de lleno un ángulo teta y tenemos la rotación en un ángulo teta dx entonces si ponemos este vector encima de este otro más o menos no las digo aquí pueden ser algunos errores de de dibujo pero si se ve más o menos que la suma de estas dos rotaciones fue igual a la rotación de la zoma entonces hasta este momento ya hemos visto que sí cumple esta propiedad de separar las sumas muy bien ahora tenemos que demostrar que la rotación en un ángulo teta de un reescalonamiento de un vector es decir multiplicarlo por cualquier constante es esa constante por la rotación del vector original ok y para eso vamos a hacer otro dibujo vamos a pintar otros ejes para poner esto aquí así y esto así que estés esos son los ejes y digamos que tenemos nuestro vector x por aquí nuestro vector x si nosotros rotamos o más bien si nosotros rescatamos primero con un con 11 con una multiplicación por una constante en realidad estamos pensando en estirarlo en cogerlo según sea el caso por un factor de escala que esto sería cx qué pasa si habrá rotamos x en un ángulo teta pues vamos a tener algo así verdad más o menos en un ángulo eta aquí está el ángulo teta y esta es la rotación en un ángulo teta de cx pero fíjense que si nosotros votamos primero x esto simplemente vas se debe conservar el mismo ángulo verdad entonces y la misma distancia entonces aquí va a estar nuestra rotación de x en un ángulo teta y simplemente que es tirar tanto como habíamos estirado aquí entonces en efecto si se cumple esta propiedad que pinten blanco de que la rotación de un múltiplo de un múltiplo de un vector es multiplicar por esa misma constante la rotación del vector x muy bien entonces si en efecto tenemos que esta transformación la rotación en un ángulo teta dx es lineal si esto es lineal quiere decir que podemos expresar la como la multiplicación de una matriz que de hecho vamos a llamarle a y que es de dos por dos porque va de reducen herreros por cada vector x que se encuentre en el espacio de red hoz verdad y lo que tenemos que hacer como ya hemos visto en otros vídeos es tomarnos la matriz identidad en este caso de 2 x 2 que va a ser esta matriz la 1001 y aquí lo que nos está dando es son dos vectores los dos vectores canónicos derredor verdad en 1 y el 2 entonces tenemos que ver dónde van a parar estos dos vectores al aplicarle la rotación para definir cómo es la matriz de transformación de las rotaciones aunque ya entonces estamos diciendo que la rotación la rotación está dada por esta matriz a ok que es simplemente aquella que tiene como columnas a la rotación en un ángulo teta de eeuu no es nuestra primera nuestra primera columna que de hecho vamos a describir lo bien el vector que uno es el 1 0 keyes esta rotación y como segunda columna vamos a tener la rotación en un ángulo teta pero del vector 0-1 que entonces esta matriz esta matriz de aquí es la que queremos encontrar y para eso vamos a hacer nuevamente un tercer dibujo vamos a pintar nuestros ejes nuevamente que íbamos a hacerlo por aquí y tenemos uno de los ejes tenemos que hacerlo más derechito otro de los ejes ahí está muy bien entonces tenemos estos ejes y digamos que más o menos esta altura tenemos el vector 1 este es el vector 1 este es uno y aquí hacia arriba vamos a pintar con amarillo el vector que dos outs seguir más o menos la línea de los ejes más o menos más o menos hasta aquí está 22 muy bien ok entonces ahí están mis lectores canónicos qué pasa si yo roto este vector por un ángulo teta que entonces si nosotros votamos un ángulo te está más o menos como esta altura ahí está la rotación esta es la rotación la rotación en un ángulo teta del vector e1 entonces este vector de aquí es lo que nos va a dar la primera columna verdad vamos a tratar de encontrar sus coordenadas sus coordenadas de este de este vector entonces lo que vamos a hacer es definitivamente empezar a construir un un triángulo rectángulo es decir este triángulo que aquí se forma este triángulo de aquí sus coordenadas están dadas por la base y por la altura verdad y aquí tenemos un ángulo teta entonces podemos utilizar funciones trigonométricas para poder determinar quién es la base que sería la primera coordenada de esta rotación y para determinar la altura también usamos estas orden está y perdón estas funciones trigonométricas entonces recordemos alguna función trigonométricas que relacione el ángulo con algo que conocemos de hecho éste tiene longitud 1 verdad porque el elector eeuu no el vector eeuu no tiene longitud 1 y simplemente estamos rotando entonces no estamos el vector que uno lo rotamos y no estamos afectando su distancia entonces algo que repique que relacione la base o el cateto adyacente a este ángulo la hipotenusa y es el coche no verdad el coche no del ángulo es el cateto adyacente sobre la hipotenusa pero en este caso la hipotenusa pues es uno entonces simplemente es cateto adyacente que es nuestra coordenada x 1 entonces el coche lleno de este ángulo es nuestra primera coordenada ahora bien el seno del ángulo va a ser simplemente esta altura va a ser esta cups esta altura keith esta altura es lo que va a ser el seno del ángulo y bueno ya les dije el resultado y eso es porque el seno del ángulo es cateto puesto sobre hipotenusa verdad que es el cateto puesto es hacia donde está viendo el ángulo y la hipotenusa mide 1 así que simplemente esto será nuestra segunda coordenada que es la altura de este vector entonces el seno del ángulo es la segunda condena de esta rotación déjame quitar esto que ya no nos va a servir sólo recuerdan muy bien cómo cómo están definidas las las transformaciones las funciones trigonométricas y ahora nos vamos con la rotación del ángulo teta pero de nuestro vector de dos entonces si nosotros rotamos digamos por aquí este 2 un ángulo te está digamos esté ahí tenemos nuestra rotación la rotación del ángulo perdón de dos en un ángulo teta y nuevamente podemos construir un triángulo rectángulo verdad aquí tenemos este ángulo y nuevamente quién va a ser ahora la coordenada la coordenada en x pues simplemente va a ser esta distancia que es exactamente la altura digamos de este triángulo visto si la base fuera estuviera sobre el eje de las 10 entonces esta altura nuevamente el coce no del ángulo verdad algo que me relacione con el cateto puesto con la hipotenusa perdón ese sería el seno del ángulo verdad el seno del ángulo seno de la lo es cateto puesto sobre hipotecas no saque otra vez la hipotenusa mide 1 y entonces también hay que observar que como estamos yéndonos en dirección negativa entonces iba a ser el seno pero va a ser negativo entonces este vector de aquí este vector de aquí que tiene dos coordenadas la primera va a ser seno del ángulo pero en dirección negativa - seno del ángulo y ahora cuál sería la altura de esta de este vector pues es simplemente esta altura verdad esta altura que está definida con el consenso del ángulo verdad base cateto adyacente entre hipotenusa entonces este de aquí simplemente es el goce no conocen o del ángulo y entonces ya tenemos muy bien construido quiénes son las columnas de nuestra matriz de la transformación de rotación verdad porque dijimos que éstas serán las columnas así que la matriz la matriz a la matriz a está definida de la siguiente forma la rotación esta rotación de eeuu no es la primera columna o seno de eta seno de eta y la otra columna será menos seno de eta con seno de eta josé noé tech muy bien esta es mi transformación de hecho más bien es la matriz asociada a la transformación ya podemos usar cualquier rotación como una matriz por un vector entonces estábamos diciendo recordemos que decíamos que una rotación en un ángulo teta es una función que va de red hoz en r2 vimos que es lineal y por lo tanto se escribe como una matriz por un vector entonces la rotación en un ángulo teta de un vector x es una matriz que de hecho ya sabemos cuál es la matriz que tiene a kiko sé no sé no menos seno coseno y que multiplican nuestro vector pues que tiene coordenadas x1 y x2 muy bien entonces ahora tú dirás oye busque bueno que ya encontramos una matriz pero de todos modos me está diciendo que tengo que sacar cosenos y se emociona ángulo no me está diciendo más entonces aquí dependerá del ángulo en particular que nos estemos tomando verdad cómo le voy a hacer voy a hacer un ejemplo muy concreto qué pasaría si queremos calcular la rotación de 45 grados de un vector x entonces lo que tenemos que hacer es sustituir estos 45 grados dentro de cada una de estas funciones trigonométricas entonces esto será la matriz una matriz que va a ser que resulta de evaluar en 45 grados tanto el coce no y el seno y poner los signos correspondientes cuál es el coste no de 45 grados bueno eso es raíz de dos sobre dos verdad ya lo hemos hecho en otros vídeos lo mismo va a pasar con el seno el seno de 45 es raíz de dos sobre dos aquí tenemos menos seno de eta entonces sería menos raíz de dos sobre dos chicos en anoeta nuevamente a raíz de dos sobre dos que multiplica a nuestro vector x key vamos a ver cómo se vería esta transformación si yo tengo aquí mis ejes aquí están mis ejes estamos trabajando en r2 y no se diga los que tenemos alguna figura interesante digamos que tenemos un cuadrado aquí cuadrado que está reposando sobre el eje de las x ok y queremos rotar 45° entonces vamos a utilizar una transformación que rote todo esto en un ángulo de 45 grados entonces lo que se vería es más o menos de la siguiente forma de poner otro color porque ya se está quedando muy amarillo todo tenemos este estos ejes nuevamente es el mismo espacio y lo que vamos a hacer es esta línea rotar la 45° para que tengamos una mejor referencia ahí está lo que sería el eje x rotado y por supuesto ahí se va a encontrar nuestro cuadrado verdad aquí va a estar nuestro cuadrado rotado ya 45 grados que entonces esto es muy bonito y muy útil por ejemplo si uno quiere utilizar no se quiere programar un fallito de pinball o de pelotas que chocan y demás bueno esto esto puede resultar muy útil porque hacerlo a mano puede ser muy complicado yo cuando hice a mano un programa éste fue fue bastante complicado pero esta herramienta utilizando matrices es mucho más útil y más fácil de resolver cuando lo intentamos programa y sólo para que quede muy claro qué es lo que pasó estos vértices del cuadrado estaban asociados acierto vector verdad entonces éste electoral rotarlo 45 grados fue el que fue a dar acá este lector de acá arriba por ejemplo estoy aquí este vector al rotarlo nos dio este otro vector y este lector de acá al final éste de esta esquina es el que fue a dar después de la transformación a este otro vector de todos modos espero hayas encontrado esto muy bueno y muy útil creo que es de las primeras transformaciones que que me parecen bonitas y ya puedes pensar en cómo extenderlo a tres dimensiones si alguna vez lo intentas hacer a mano las rotaciones en 3d en tres dimensiones se vuelven muy confusas pero con el próximo video vamos a hacer rotaciones en tres dimensiones alrededor de algunos ejes