Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:15:13

Ejemplos de transformaciones lineales: reflejar y escalar

Transcripción del video

hemos hablado bastante sobre transformaciones lineales y en este vídeo y también en los siguientes yo quiero mostrarte cómo esencialmente diseñar una transformación lineal para que haga con los sectores lo que tú quieres que haga con ellos entonces ya sabemos que una transformación neal digamos de que va de de rn a rm entonces podemos representar a teo lo que lo que te hace a algún lector lo podemos representar como una matriz una matriz a que multiplica a un vector x esto sería ha multiplicado al vector x y esto nos da una matriz de gm por n dm por en ahora sabemos que siempre podemos construir esta matriz que cualquier transformación lineal puede ser representada como una matriz de esta manera y la podemos representar así tomando a nuestra matriz identidad entonces lo que voy a hacer de chillán ya no es visto antes esta matriz identidad con el de filas tiene columnas donde se mira a sí tiene uno aquí después en menos un 0 23 pues 0-1 y todos los demás son ceros como puedes ver sólo tiene unos en la diagonal principal es una matriz de en 'por n entonces tomás la matriz identidad y le aplica la transformación lineal a cada columna haga entonces estas son las columnas de la matriz identidad y las la llamamos la base estándar de rehén en esta es la columna 1 esta es la edad o si como tiene columnas esta es la n ahora cada una de estas columnas es un miembro de rené tiene elementos y sabemos que a puede ser presentada como la transformación que está siendo aplicada a cada columna entonces a es igual a la transformación aplicada al pri a la primera columna a eeuu no después la transformación aplicada aedos hasta llegar a la transformación aplicada a n y esto es algo que sirve mucho saber por qué porque es muy fácil aplicar la transformación lineal a cada uno de estos sectores que pertenecen a la base estándar cierto solamente tiene un sólo uno y todo lo demás es cero entonces son muy muy amigables estos sectores sanitarios ahora como tú puedes ver esto es un repaso entonces vamos a usar esto para para construir una transformación y el interesante así que manos a la obra vamos a iniciar con un conjunto en rn y de hecho ya a todo lo que voy a hacer es nr dos sólo para no complicar tanto la vida pero tú lo puedes extender a cualquier dimensión que quieras sólo que lo voy a hacer yo enredos para la simplicidad supongo digamos que tengo y un triángulo entonces tengo un triángulo formado por los siguientes tres puntos digamos que el punto este punto es el 3,12 32 ahora también el otro punto sería qué te parece si menos 32 ok este punto es menos 3,2 o bueno lo estoy haciendo en forma de efectuar columna de hecho aquí puse a 3 sobre dos no es una fracción equivoque lo siento es menos 32 y 32 son los vectores columna entonces ahí está ese punto es el vector y ahora sólo por diversión uno por acá por abajo qué te parece el vector 32 entonces no 3 - perdón 3 y menos dos ahí está ahora bien entonces ese punto está más o menos por aquí ya tenemos los tres puntos cada uno de estos puntos son vectores yo puedo dibujar los saliendo del origen a cada uno de estos puntos son vectores entonces muy bien más que más que importarme que sean vector es lo que me importa es la posición que especifican y sabemos que si tomamos al conjunto de todas y de todos los sectores que forman este triángulo sería el conjunto que conectan a estos tres puntos cierto ok ahora a ese conjunto que conectan a estos tres sectores o o lo que sería el triángulo mismo le vamos a aplicar la transformación en a cada uno entonces si aplicamos la transformación lineal t a estos puntos y los conectamos en el mismo orden yo ya lo habíamos visto eso antes pero ahora queremos diseñar una transformación lineal entonces ok perfecto digamos queremos de hecho de hecho lo que voy a hacer es escribir lo que queremos hacer voy a escribir lo que queremos hacer primero que todo es reflejar los sobre el eje de las x entonces queremos reflejar lo sobre el eje de las x o no mejor no mejoren el egezy ok reflejarlo sobre el eje de las leyes así que queremos voltearlos queremos voltearlo y una vez que lo volvemos a mirar algo así cierto algo así se va a mirar y también digamos que queremos alargarlo por un por un 2 entonces queremos reflejar los sobre el eje de las leyes y también queremos alargarlo en la dirección en la dirección gge x 2 así que vamos a primero voltearlo emilse va a mirar algo así esto sería como el el paso 1 cierto el paso uno es voltearlo esto es paso 1 y el paso 2 es alargarlo se mirará en lugar de así se va a mirar cómo tendrá como el doble de altura ahora el la x se va a quedar igual y ok cómo hacemos eso a la primera idea que tenemos es reflejar sobre el eje de las leyes entonces creemos que que este punto este punto el -3 el -3 está aquí a jael menos 3,2 que es acorde nada que del otro lado con un 3 positivo este 2 aquí es la coordenada ayer este es el eje de las leyes ok entonces tenemos menos 3,2 queremos que que ese -13 convierta en un 3 positivo queremos que quede que terminen este otro punto correspondiente cuando lo que cuando le demos la vuelta este 3 positivo también queremos que se convierta en 3 negativo y esto es positivo también tres negativo ahora como tú puedes notar lo que estamos haciendo es algo es voltear el signo cierto estamos reflejando sobre eso es equivalente a cambiar el signo de la coordenada x entonces esto esto es equivalente lo escribo por acá esequibo el ente a a multiplicar menos uno por la coordenada la coordenada que voy a llamar x 1 esto es ésta es la coordenada x1 y ahora alargar a alargar esto la ddi en la dirección y eso significa que queremos que para cualquier altura que yo tomé quiero que sea el doble ahora eso es alargarlo entonces está coordinada en la coordenada 3,2 no he hecho aquí no he hecho el primer paso aún pero quiero que quiero que se quiere que tenga el doble de altura entonces en lugar de ser 3,2 era 3,4 lo que estoy haciendo es multiplicar por 12 a la coordenada jet y en lugar de llamar a éstos a las entradas del rector x x1 y x2 voy a ponerles el nombre de x y entonces el vector es igual a x y llegué como coordenadas esas son las coordenadas del factor x y ye ahora no temas por tu vida porque simplemente es notación aquí lo que estoy haciendo es facilitar la existencia de nosotros porque estamos acostumbrados a ver un vector en su forma x y en lugar de x 1 x 2 y xy llevan a corresponder con los ejes de coordenadas cierto entonces queremos queremos construir una transformación una transformación te dé algún factor x que o mejor escribo desde esta otra manera la transformación de x gent esto va a ser igual a 1 - 1 x x entonces menos uno por equis y ala y al hielo multiplicó por 2 2 que así que hacía así es como lo puedo escribir en su lenguaje de transformación lineal este sería el lenguaje de transformación y al pero pero cómo puedo construir una matriz para esto lo que lo que vamos a hacer es tomar estamos en el re 12 entonces voy a tomar la la matriz identidad de enredos que sería esta matriz 1001 y le voy a explicar la transformación a cada columna de esta matriz identidad entonces lo voy a hacer que vamos a obtener tenemos tenemos una nueva matriz acierto tenemos una nueva matriz a y esto será igual a la transformación aplicada a cada columna entonces la transformación de la primera columna que sería la columna 1 010 y después la segunda transformación la segunda columna de esta nueva matricería la transformación aplicada a la segunda columna de la idea de la identidad que sería 0 1 y ahí lo tenemos entonces saqué a que son igual estas dos nuevas columnas la transformación de de la primera columna sería ok vamos a hacerlo a pie tenemos a es igual a la transformación de 10 eso es x es uno entonces lo multiplicamos por menos uno y tenemos menos un año después dos pole pero es igual a cero entonces tenemos cero ahora el segundo término tenemos menos x 0 simplemente cero y dos por hoy es igual a dos por uno eso es igual a 2 tenemos entonces menos 10 y 0 2 ahora podemos decir que esta transformación de algún vector x ye entonces la transformación de x gent la podemos describir como una matriz que multiplica un vector entonces esa es la matriz - 1 - 1 0 -1 0 y 0 2 multiplicando al factor x 100 ahora hay que aplicarlo para verificar que sí funciona cierto porque queremos ver que en efecto lo lo refleja y la larga así que pongo primero este vector este punto rosa es este vector cierto es el punto entonces vamos a efectuar las operaciones sobre este vector y lo que voy a hacer es poner la matriz pongo la matriz menos 10 02 que multiplica al vector menos 32 entonces tenemos una multiplicación de la matriz por un vector así que hagamos esto menos uno por menos 3 estrés positivo +0 por 20 entonces nos queda un 3 positivo y después 0 por menos 30 después +2 por 2 6 4 así que nos queda 34 entonces lo que ya tenemos ese ahora vamos con el siguiente punto que es 32 entonces ok am muy bien vamos con el siguiente punto 32 pongo la matriz menos 10 y 0 2 multiplicando al vector 32 entonces tenemos menos uno por tres es igual a menos tres y después 0 por 20 entonces tenemos menos tres a hora cero por tres es igual a cero más 2 x 2 es igual a 4 nos queda el vector menos 34 y ese punto está justamente justamente por aquí aquí está menos 3 y 4 entonces lo que hay aquí y aquí estoy usando la terminología se le puede decir a esa transformación aplicada a cada uno de estos sectores entonces tú puedes decir o lo la transformación ap a este punto a este punto o lo convierte lo transforma pero es es simplemente bueno estoy diciendo que ese punto es transformado a este otro punto en el ruedo central es ahora vamos con el siguiente tenemos la matriz multiplicando al siguiente vector que es el vector tres como -2 entonces aquí menos uno por tres es igual a menos tres y cero por menos 20 entonces nos queda menos tres a hora cero por 3 0 +2 por menos dos es igual al menos cuatro tenemos entonces el punto menos 3 - 4 ese punto está más o menos por aquí - 3 - cuatro y sabemos que sabemos que el conjunto de retos que como que conecta estos puntos bajo la misma transformación será mapeado al conjunto r 2 que conecta a estos puntos en este otro lado cierto entonces así que la imagen de este conjunto que dibuje de este triángulo es simplemente un conjunto de puntos que especifican a este otro conjunto de vectores entonces la imagen de este conjunto de vectores no se específica a estos puntos este nuevo triángulo que tenemos bajo la transformación de aquellos de aquel conjunto juntos entonces buena excelente e hicimos o o ha hecho esta transformación lo que queríamos que hiciera cierto lo lo reflejó primero y después lo alargó entonces vemos que lo alargó por un cupo por un por un factor de dos y lo volteó y de hecho en general cualquiera de estas operaciones pueden ser una tránsfuga no puedes transformar lo bueno es decir puedes regresar te regresar a la forma original entonces tú puedes escribir la transformación en esta forma y aplicarle esto los rectores base a las columnas de la matriz identidad pero una idea general es que cualquiera de estas transformaciones que literalmente lo que lo que hacen es alargar o reflejar o de hecho hace más pequeño lo que sea es la esa en la dirección del eje x o del eje e serán unas eran matrices diagonales entonces como puedes ver aquí también la matriz a es una matriz diagonal éstas serán las transformaciones en las matrices diagonales porque bueno solamente tienen términos no nulos en la diagonal cierto es el caso dos por dos si hago el caso 3 x 3 tendríamos ceros por todas partes menos en la diagonal principal ahí habrían números no me los y tiene mucho sentido porque este primer término es esencialmente lo que estás haciendo a a la x 1 al término x 1 si tienes por ejemplo una una matriz de 3 x 3 este tercer término es lo que les a la tercera dimensión a la cuarta dimensión es el siguiente terminó entonces tú puedes expander esta idea a rn arbitrario cierto a cualquier dimensión pero en fin de hecho lo que la idea general de este vídeo era introducirte a esta idea de crear de diseñar transformaciones para cualquier dimensión y creo que lo hemos logrado no nos vemos