If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Rotación alrededor del eje x en R3

Construcción de una transformación de rotación en R3. Creado por Sal Khan.

¿Quieres unirte a la conversación?

Sin publicaciones aún.
¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.

Transcripción del video

en el último vídeo definimos una transformación que de hecho era una rotación en un ángulo theta que tomaba valores vectoriales en r2 y nos arrojaba una versión rota de ese mismo vector en r2 verdad y lo que quiero hacer en este vídeo es esencialmente extender este concepto de las rotaciones pero ahora lo vamos a hacer en r3 así que voy a definir una transformación de rotación en un ángulo theta y de hecho le voy a poner aquí un 3 no significa que estoy multiplicando por 3 sólo nos va a indicar que ahora estamos trabajando en tres dimensiones entonces vamos a tomar vectores en r3 y nos va a escupir una versión rota de ese vector pero en r3 ahora tú pensarás que en r3 pues es difícil de entender lo que es una rotación verdad en el plano digamos solo tenemos una dirección angular verdad pero en r3 pues tenemos que decir si vamos a rotar alrededor de que de un eje de rotación verdad en este caso vamos a pensar que sea alrededor del eje x es decir uno de los ejes va a ser nuestro eje de rotación en general es muy difícil pensar en una rotación con ejes en general pero cuando tomamos rotaciones alrededor del eje x o del eje o del eje z es muy sencillo de interpretar entonces vamos a rotar alrededor alrededor del eje x que el eje x y esto simplemente va se puede generalizar para también los otros ejes de hacer el eje llegó el eje z verdad pero todo esto va así va a seguir siendo la misma idea del vídeo anterior es decir de las rotaciones en el plano y para para ir aclarando todas estas ideas vamos a hacer vamos a pintar nuestros ejes hacerlo derechito y ahí tenemos nuestro eje z nuestro eje y este es el eje z este es el eje y y por supuesto aquí anda el eje x muy bien entonces si vamos a rotar alrededor del eje x quiere decir que todo este eje no se mueve simplemente vamos a girar todo el espacio en esta dirección muy bien entonces solo lo único que se queda fijo es este eje x y todo lo demás rota alrededor de él por ejemplo si nosotros tuviéramos algo algo más o menos sencillo de visualizar es qué pasaría si yo tengo aquí un vector en el plano detalle que esté este vector se encuentra en el plano detalle que lo vamos a pensar solo en este plano y si aplicamos la transformación de rotación pues nos va a escupir otro vector otro vector de la misma magnitud que haya rotado sobre ese mismo plano verdad pero bueno a lo mejor si pensamos en un vector que no esté exactamente en el plano detalle digamos que a lo mejor una coordenada aquí este en x distinta pues a la hora de rotar esa coordenada x no se mueve verdad entonces más o menos esta misma distancia se conserva y deberemos tener este vector de aquí este vector de aquí porque entonces para ir corrigiendo un poco el dibujo lo dejamos de esta forma y este vector pues se ve que ya no está en el plano x de verdad y sin embargo si roto un ángulo también de teta teta grados ok espero que sea un poquito claro el el dibujo al menos yo creo que ya tienes la idea bien de qué es lo que estamos haciendo a la hora de rotar alrededor del eje x y cómo se como pensamos que estas rotaciones como en el vídeo anterior son transformaciones lineales entonces podemos decir que esta función la rotación en tres dimensiones de un vector x en un ángulo theta quizás aquí debería además ponerle alrededor de kg pero bueno queda claro de qué estamos hablando debe ser la multiplicación de una matriz por un vector donde esta matriz es de 3 x 3 muy bien ya eso lo hemos visto anteriormente y como es que lo hacíamos pues primero nos tomábamos la matriz identidad que en este caso la matriz de 3 por 3 que tiene unos en la diagonal y 0 en todos lados verdad esta es nuestra matriz identidad donde éste me da en los vectores de la base de una base de r3 verdad los vectores canónicos la base canónica entonces va hasta ver hacia dónde van a dar estos vectores para que podamos construir esta matriz y está dado de la siguiente forma la matriz a la matriz simplemente tiene como vectores columnas a la rotación aplicado a cada uno de estos vectores verdad este sería nuestro primer vector columna el siguiente vector columna sería a la hora de aplicarlo al segundo al segundo vector que en este caso 0 10 verdad y la tercera columna la tercera columna es aplicar esta rotación a nuestro vector 001 ok y esta es la matriz estos son vectores columna ok entonces vas a ver a dónde van a dar estos estos tres estos tres vectores después de rotar para determinar exactamente quién es la matriz que define esta transformación línea muy bien entonces basta ver el primero de los ejemplos es qué pasa cuando nos tomamos el vector a uno es decir el 100 si nos fijamos aquí en este dibujito del vector 100 se encuentra exactamente sobre el eje x verdad sólo tiene coordenada en x0 tanto en ye como en zeta entonces este vector se encuentra más o menos aquí es este blanco que estoy pintando pero si es este vector blanco y estamos rotando alrededor del eje x dijimos que todo el eje x se queda fijo es decir es como se agarrarán una varilla y le estuvieran rotando alrededor de sus dedos verdad lo estuvieran girando en realidad la varilla si lo hacemos muy de forma perfecta no se debería mover sólo se está moviendo sobre sí misma verdad entonces esta varilla que representa el eje x no se mueve todo lo demás si está girando pero el eje no entonces este vector es 1 sigue siendo el mismo vector después de aplicarle la transformación este es el 1 pero muy bien ahora vamos a ver qué pasa con la rotación del vector 0 10 entonces para eso vamos a dibujar nuestros ejes vamos a dibujar nuestros ejes aquí estamos pensando que está el eje iv y el eje z si nosotros tomamos el vector 1010 estamos pensando estamos pensando en este vector de aquí este es el vector 2 y al ahora derrotarlo en un ángulo theta tenemos este otro vector muy bien entonces basta determinar sus coordenadas de este vector ahora recordemos que estamos rotando alrededor del eje x que esencialmente es digamos el eje que que está saliéndose de la pantalla directo hacia tus ojos entonces estamos rotando en esta dirección verdad así que este ángulo de aquí es un ángulo teta y lo que hay que hacer es determinar simplemente las coordenadas sobre el plano receta verdad justo como dijimos aquí si tengo un vector en el plano ya z a la hora de rotarlo se queda ahí mismo entonces construimos nuestro nuestro triángulo vamos a construir este triángulo y simplemente se vuelve un problema de funciones trigonométricas porque sabemos que esta distancia es uno simplemente rotamos el vector canónico que ya tenía norma 1 y nos falta determinar la base que nos determina la coordenada ye y la altura que nos determina la coordenada z verdad si tenemos este triángulo podemos utilizar el coseno del ángulo del coseno del ángulo simplemente es el cateto opuesto que es este de aquí perdón es un cateto adyacente es el cateto adyacente sobre la hipotenusa pero la hipotenusa mide 1 así que esto simplemente es esta esta esta coordenada es coseno de teta verdad entonces vamos a ir redondeando estas ideas aquí tenemos 0 verdad no estamos moviéndonos en la dirección x y aquí la base la base de este vector es coseno del ángulo ahora bien qué pasa con el cateto opuesto si tomamos la función seno de teta vamos a tener cateto opuesto sobre hipotenusa que es el cateto opuesto entonces esta altura que es la coordenada zeta es el seno del ángulo el seno del ángulo esté muy bien vámonos con el último vámonos con el último de nuestros vectores y déjenme hacer otro dibujito para que quede muy claro qué es lo que estamos haciendo otros ejes de hecho aquí vamos a necesitar extenderlo y ahora vamos a tener aquí nuestro vamos a tener nuestro vector canónico de 3 digamos que este es 3 y a la hora de rotar en un ángulo teta aquí tendremos este ángulo theta y tendremos que construir nuevamente un triángulo vamos a construir este triángulo muy bien otra vez podemos utilizar las funciones trigonométricas para determinar qué es lo que va a ocurrir con esta altura que es nuestra coordenada zeta que ésta es nuestra coordenada z y la coordenada y la altura otra vez ez y la distancia es ok entonces si nos consideramos el seno del ángulo si consideramos el seno de nuestro ángulo es el cateto puesto que es este de aquí sobre la hipotenusa que otra vez es 1 entonces el seno del ángulo va a ser el cateto opuesto que es la coordenada y pero si nos fijamos aquí estamos en la dirección negativa entonces este es menos seno de teta así que nuevamente como no nos estamos moviendo en la dirección x esto va a ser cero y aquí va a ser menos seno detecta qué pasa con el coseno del ángulo con el coseno del ángulo pues simplemente es el cate adyacente de aquí sobre la hipotenusa verdad pero el cateto adyacente es la altura entonces la altura resultó ser el coseno del ángulo y ya con esto que tenemos poder hemos construido la matriz que define esta transformación verdad tenemos esta matriz esta matriz de aquí es la matriz de rotación la matriz de rotación en tres dimensiones alrededor del eje x en un ángulo theta es esta matriz al multiplicarlo por x lo que me define la transformación lineal verdad y esto estamos pensando que es una rotación alrededor del eje x muy bien entonces este vídeo en realidad consistió en ver una general generalización de las rotaciones en r3 tu puedes intentar la misma idea alrededor del eje o del eje z pero bueno este es un caso especial donde trabajamos con el eje x pero puedes usar el mismo procedimiento como ya lo he dicho para definir alrededor de los ejes jay-z y después ir aplicando una tras otra ir componiendo las rotaciones para ir generando rotaciones más complicadas pero bueno espero hayas encontrado esto un poco útil es una pequeña extensión de lo que hicimos en r2