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Transcripción del video

en el último vídeo definimos una transformación que de hecho era una rotación en un ángulo teta que tomaba valores vectoriales enredos y no se arrojaba una versión rota de ese mismo vector en r2 verdad y lo que quiero hacer en este vídeo es esencialmente extender este concepto de las rotaciones pero ahora lo vamos a hacer en r3 así que voy a definir una transformación de rotación en un ángulo teta y de hecho le voy a poner aquí un 3 no significa que estoy multiplicando por tres sólo nos va a indicar que ahora estamos trabajando en tres dimensiones entonces vamos a tomar vectores en r3 y nos va a escupir una versión rota de ese vector pero en r3 ahora tú pensabas que narre tres pues es difícil de entender lo que es una rotación verdad en el plano digamos sólo tenemos un una dirección angular verdad pero en r3 pues tenemos que decir si vamos a rotar alrededor de que de de un eje de de rotación verdad en este caso vamos a pensar que sea alrededor del eje x es decir uno de los ejes va a ser nuestro eje de rotación en general es muy difícil pensar en una rotación con ejes en general pero cuando tomamos rotaciones alrededor del eje x o del egeo del eje z es muy sencillo de de interpretar entonces vamos a rotar alrededor alrededor del eje x del eje x y esto simplemente va se puede generalizar para también los otros ejes ya sea el eje llevó el eje z verdad pero todo esto va así va a seguir siendo la misma idea del vídeo anterior es decir de las rotaciones en el plano y para para ir aclarando todas estas ideas vamos a hacer vamos a pintar nuestros ejes que hacerlo derechito ella y tenemos nuestro eje z nuestro eje este es el eje z este es el eje ye y por supuesto aquí anda el eje muy bien entonces sí vamos a rotar alrededor del eje x quiere decir que todo este eje no se mueve simplemente vamos a girar todo el espacio en esta dirección muy bien entonces sólo lo único que se queda fijo es este eje x y todo lo demás rota alrededor de él por ejemplo si nosotros tuviéramos algo algo más o menos sencillo de de visualizar es qué pasaría si yo tengo aquí un vector en el plano detalle keith este este vector se encuentra en el plano detalle que lo vamos a pensar sólo en este plano y si aplicamos la transformación de rotación pues nos va a escupir otro vector otro vector de la misma magnitud que hay ha rotado sobre ese mismo plano verdad pero bueno a lo mejor si pensamos en un vector que no esté exactamente en el plano se detalle digamos que a lo mejor tenga una coordenada aquí esté en x distinta pues a la hora de rotar es acorde nada x no se mueve verdad entonces más o menos esta misma distancia se conserva y deberemos tener este vector de aquí vamos a pintar lo mejor este lector de aquí a entonces para ir corrigiendo un poco el dibujo lo dejamos de esta forma y este vector pues se ve que ya no está en el plano x de verdad y sin embargo sí roto un ángulo también de teta teta grados ok espero que sea un poquito claro el el dibujo al menos yo creo que ya tienes la idea bien de qué es lo que estamos haciendo a la hora de rotar alrededor del eje x y como sale como pensamos que estas rotaciones como en el vídeo anterior son transformaciones lineales entonces podemos decir que esta función la rotación en tres dimensiones de un vector x en un ángulo teta quizás aquí debería además ponerle alrededor de kg pero bueno queda claro de qué estamos hablando debe ser la multiplicación de una matriz por un vector donde esta matriz es de tres por tres muy bien ya eso lo hemos visto anteriormente y cómo es que lo hacíamos pues primero nos tomábamos la matriz identidad que en este caso es la matriz de tres por tres que tiene unos en la diagonal y cero en todos lados verdad esta es nuestra matriz identidad donde éste me da el los vectores de la base de una base de retretes verdad los vectores canónicos la base canónica entonces basta ver hacia dónde van a dar estos vectores para que podamos construir esta matriz y estado de la siguiente forma la matriz a la matriz a simplemente tiene como vectores columnas a la rotación aplicado a cada uno de estos vectores verdad este sería nuestro primer vector columna el siguiente vector columna sería a la hora de aplicarlo al segundo al segundo vector que nuestra en este caso 010 verdad y la tercera columna la tercera columna es aplicar esta rotación a nuestro vector 001 ok y esta es la matriz estos son vectores columna ok entonces va a saber a dónde van a dar estos estos tres de estos tres vectores después de derrotar para determinar exactamente quién es la matriz que define esta tarde transformación línea muy bien entonces basta ver el primero de los ejemplos es qué pasa cuando nos tomamos el vector e 1 es decir el 100 si nos fijamos aquí en este dibujito el vector 100 se encuentra exactamente sobre el eje x verdad sólo tiene coordenada en x y cero tanto en chile como en z entonces este lector se encuentra más o menos aquí blanco que estoy pintando pero si es este vector blanco y estamos rotando alrededor del eje x dijimos que todo el eje x se queda fijo es decir es cómo se agarrarán una varilla y le estuvieran rotando alrededor de sus dedos verdad estuvieran girando en realidad la varilla si lo hacemos muy de forma perfecta no se debería mover sólo se está moviendo sobre sí misma verdad entonces esta varilla que representa el eje x no se mueve todo lo demás y está girando pero el eje no entonces este vector eeuu no sigue siendo el mismo vector después de aplicarle la transformación este es el 100 muy bien ahora vamos a ver qué pasa con la rotación del vector 010 entonces para eso vamos a dibujar nuestros ejes a dibujar nuestros ejes aquí estamos pensando que ésta elegí y el eje z si nosotros tomamos el vector 2010 estamos pensando estamos pensando en este vector de este es el vector 2 y a la hora de rotarlo en un ángulo teta tenemos este otro vector muy bien entonces va hasta determinar sus coordenadas de este vector ahora recordemos que estamos rotando alrededor del eje x que esencialmente es digamos el eje que está saliéndose de la pantalla directo hacia tus ojos entonces estamos rotando en esta dirección verdad así que este ángulo de aquí es un ángulo de eta y lo que hay que hacer es determinar simplemente las coordenadas sobre el plano jay z verdad justo como dijimos aquí sí tengo un vector en el plano y ese tal ahora derrotarlo se queda ahí mismo entonces construimos nuestro nuestro triángulo vamos a construir este triángulo y simplemente se vuelve un problema de funciones trigonométricas porque sabemos que esta distancia es uno simplemente rotamos el vector canónico que ya tenía norma uno y nos falta determinar la base que nos determina la coordenada aie y la altura que nos determina la cob nada se está verdad entonces si tenemos este triángulo podemos utilizar el coche no del ángulo verdad el coche no del ángulo simplemente es el cateto puesto que es este de aquí a perdonar catetas yacente es el cateto adyacente sobre la hipotenusa por la hipotenusa mide 1 así que esto simplemente es a ésta está está coordinada escocés no detectan verdad entonces vamos a ir redondeando estas ideas aquí tenemos cero verdad no estamos moviéndonos en la dirección x y aquí la base la base de este vector es co seno del ángulo ahora bien qué pasa con el cateto opuesto si tomamos la función seno de eta vamos a tener cateto puesto sobre hipotéticos a que es el cateto puesto entonces esta altura que la coordenada z es el seno del ángulo el seno del ángulo esté muy bien vamos con el último vamos con el último de nuestros lectores y dejen hacer otro dibujito para que quede muy claro qué es lo que estamos haciendo es obtener otros ejes que he hecho aquí vamos a necesitar extenderlo y ahora vamos a tener aquí nuestro vamos a tener nuestro vector canónico 3 digamos que éste es 3i a la hora de rotar en un ángulo te está aquí tendremos este ángulo teta y tendremos que construir nuevamente un triángulo vamos a construir este triángulo muy bien otra vez podemos utilizar las funciones trigonométricas para determinar qué es lo que va a ocurrir con esta altura que es nuestra coordenada z que es nuestra coordenadas eta y la coordenada ayer la altura otra vez eta y la distancia es ok entonces sí nos consideramos el seno del ángulo si consideramos el seno de nuestro ángulo es el cateto puesto que es este de aquí sobre la hipotenusa que otra vez es uno entonces el seno del ángulo va a ser el cateto esto que es la coordenada aie pero si nos fijamos aquí estamos en la dirección negativa entonces éste es menos seno de eta así que nuevamente cómo nos estamos moviendo en la dirección x esto va a ser cero y aquí va a ser menos c no detecta qué pasa con el coce no del ángulo con el consenso del ángulo pues simplemente es el cateto adyacente de aquí sobre la hipotenusa verdad pero el cateto adyacentes la altura entonces la altura resultó ser el goce no del ángulo y ya con esto que tenemos poder hemos construido la matriz que define a esta transformación verdad tenemos esta matriz esta matriz de aquí es la matriz de rotación la matriz de rotación en tres dimensiones alrededor del eje x en un ángulo teta es esta matriz al multiplicarlo por x lo que me define la transformación lineal verdad y esto estamos pensando que es una rotación alrededor del eje x muy bien entonces este vídeo en realidad consistió en ver una general y generalización de las rotaciones en r3 tú puedes intentar la misma idea alrededor del eje lleó del eje z pero bueno este es un caso especial donde trabajamos con el eje x pero puedes usar el mismo procedimiento como ya lo he dicho para definir alrededor de los ejes jay z y después irá aplicando una tras otra ir componiendo las rotaciones para ir generando rotaciones más complicadas pero bueno espero que hayas encontrado esto un poco útil es una pequeña extensión de lo que hicimos en r2