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¿Estás estudiando para un examen? Prepárate con estas 7 lecciones sobre Transformaciones de matrices.
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Transcripción del video
En el último video definimos una transformación que rotaba cualquier vector en R2 y solamente nos proporcionó otra versión rotada de ese vector en R2. En este video esencialmente extenderé esto, por lo tanto, voy a hacerlo en R3. Por lo tanto, voy a definir una transformación de rotación. Continuaré llamándolo theta. Va a haber un mapeo en esta ocasión de R3 a R3. Como pueden imaginarse, la idea de una rotación en un ángulo se hace un tanto más complicada cuando trabajamos en tres dimensiones Por lo tanto, en este caso vamos a rotar alrededor del eje x, llamémoslo así - por lo tanto esto va a rotar alrededor del eje x. Lo que hacemos en este vide, lo pueden generalizar a otros ejes. Si desea rotar alrededor del eje x, y luego del eje y y luego del eje z por diferentes ángulos sencillamente puede aplicar la transformación de uno a otro. Cubriremos eso en mayor detalle en un futuro video. Este le dará las herramientos para demostrarle que esta idea que que aprendimos en el video anterior puede realmente generlizarse a múltiples dimensiones, y especialmente a tres dimensiones. Déjenmen aclarar lo que vamos a hacer aquí. Dibujemos algunos ejes. Este es mi eje x Este es mi eje y Este es mi eje z. Por supuesto, esto es R3. Sin embargo, cualquier vector aquí en R3 lo estaré rotando en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del eje x Lo rotaremos de esta manera Por lo tanto, si tuviera un vector -- solo lo estoy dibujando en el plano zy porque es algo más fácil visualizarlo -- pero si tengo un vector aquí en el plano zy, permanecerá en el plano zy. Pero éste será rotado en sentido contrario de las manecillas del reloj por un ángulo de theta, solo así. Ahora, un vector que es algo mas difícil de visualizar que no está en el plano zy. Si tenemos algún vector que tiene algún componente x que surge de esa manera, entonces algún componente y y algún componente z lucen como ese. Entonces, cuando lo lota es z y sus componentes y cambiarán, pero su componente x permanecerá igual. Entonces lucierá algo así como esto. Veamos si puedo hacerle justicia. Así entonces el vector cuando lo rote alrede podría lucir algo como eso. Sin embargo, no se si le estoy haciendo justicia, pero pero esto se rotó alrededor del eje x. Pienso que entienden lo que significa. Sin embargo, solo en base del último video, deseamos construir una transformación Llamemos a esta rotación 3 theta. O llamémosla 3 rotación theta ahora que estamos manejando en R3. Y lo que queremos hacer es encontrar alguna matriz, por lo tanto puedo escribir mis 3 rotaciones sub theta transformación de x como siendo alguna matriz A por el vector X. Dado que ésta es una transformación de R3 a R3 esto por lo tanto va a ser una matriz 3 por 3. Ahora en el último video aprendimos que para resolver esto tienen que aplicar la transformación esencialmente a la matriz de identidad. Por lo tanto, lo que hacemos es empezar con la matriz de identidad en R3, que solo va a ser un 3 por 3. Va a tener 1, 1, 1, 0,0,0,0,0,0, Cada una de estas columnas son los vectores básicos para R3. Esto es e1, e2, e3 -- Probablemente estoy escribiendo demasiado pequeñov para que ustedes lo vean, pero cada uno de éstos son vectores básicos para R3. Y lo único que necesitamos hacer es aplicar la transformación a cada uno de estos vectores base en R3. Por lo tanto, nuestra matriz A lucirá así Nuestra matriz A va a ser una matriz de 3 por 3. En la cual la primera columna va a ser nuestra transformación, 3 rotación sub theta, aplicada a esa columna vector ahí,, 1, 0, 9 Y luego voy a aplicarlo a este vector de columna de en medio. aqui. Me comprenden? No quiero escribir todo nuevamente. Voy a aplicar 3 rotación sub theta a 0, 1, 0. Y luego la aplicaré-- lo haré aquí -- 3 rotación sub theta. Voy a aplicarlo a este vector de última columna por lo tanto 0, 0, 1. Hemos visto muchas veces. Ahora apliquémoslo. Rotemos cada uno de estos vectores básicos para R3. Rotémoslos alrededor del eje x. Por lo tanto, el primero, si fuera a dibujar un R3, cómo luciría? Solo tiene direccionalidad en la dirección X, correcto? Si a esto le llamamos dimensión x, si el primer registro corresponde a nuestra dimensión x, el segundo registro corresponde a nuestra dimensión-y y el tercer registro corresponde a nuestra dimensión-z. Este vector estaría un vector unitario que sale como este, correcto? Así que si va a rotarlo alrededor del eje x, qué va a pasarlo? Pues, nada. Es el eje x. Cuando lo rotamos, no cambia su dirección su magnitud o nada. Este vector que tengo aquí será el vector 1, 0, 0. Nada sucede cuando lo rotamos. Esto es más interesante. Para hacerlo, déjenme dibujar mi eje ZY. Déjenme dibujar Z Este es el eje Z y este es el eje Y. Ahora este vector base va en la dirección Y con una unidad. Mi vector base luce así. y tiene una longitud de 1. Y cuando lo roto alrededor del eje X y cuando lo dibujo así, puedes imaginar al eje X saliendo a traves de tu pantalla. Podría dibujarlo así como la punta de una flecha. Saliendo hacia afuera. En vez de dibujarlo en un angulo, así, lo dibujo saliendo hacia afuera de la pantalla. Entonces si yo rotara este vector azul que tengo aquí, en un ángulo theta se verá así- Y lo hemos hecho en el video anterior ¿Cuáles son sus nuevas coordenadas? Primero, ¿cambiará su coordenada en el eje x? Su coordenada era 0, porque no atraviesa la dimensión de X Solo se queda en el plano ZY Era 0 antes. Cuando lo rotas, sigue en el plano ZY Encontes su componente en X no va a cambiar nada. Entonces la dirección seguirá siendo 0. ¿Y cuál será su nueva dirección en Y? Bueno, aquí hacemos lo mismo que en el video anterior. Calcularemos que va a ser el nuevo, supongo que no queiro dibujar un vector ahí, pero estalongitud de aquí será su nueva componente Y. Y esta longitud de aquí será su nueva componente en z. ¿Cuál es su nueva componente de Y? Lo hicimos en el video anterior así que no lo haré con mucho detalle, ¿pero qué es el coseno de Theta? La longitud de este vector es 1, cierto? Estos son los vectores base estándar y una de las cosas que los hace estándar es que su longitud vale 1. Sabesmos que el coseno de este ángulo es igual al lado adyacente dividido la hypotenusa El ladoadyacente está aquí. ¿Y cuál es su hipotenusa? Vale 1. Entonces este lado adyacente, que diremos que será nuestro nueva segunda componente, nuestro segundo dato, sera igual a coseno de Theta, ¿no? Es A. Pueden ignorar los unos. Esto será igual al coseno de Theta. ¿Y cuál será su nueva componente en Z? Bueno, el seno de Theta es igual al lado opuesto, este lado dividido 1. Entonces es igual al lado opuesto. Y la longitud de ese lado opuesto es este vectos, una vez rotado, es su nueva componente en Z. Entonces tienes a Seno de Theta, ahí mismo. ahora tenemos que hacer todo en la dirección de Z. Entonces este vector base, ¿como se ve en este gráfico? Déjenme volver a dibujar para hacerlo un poco más claro. Este es mi eje Z y este es mi eje Y. Y el vector base z, e3, comienza a verse algo así. Solo va en la dirección de z. Antes que anda, rotémoslo en un angulo Theta. Voy a rotarlo así. Ese es el ágnulo Theta. Su componente X original era 0. No me he movido en la dirección de x para nada. Y por uspuesto estamos solo en el plano de ZY entonces no estará moviéndose en la dirección de X. Entonces seguirá siendo 0 aquí. ¿Qué hay de su componente Y? Su nueva coordenada de Y, será esta longitud, o será esta coordenada de aquí. ¿Y cómo podemos averiguar eso? Bueno, esa longitud es igual a esta longitud. Y si llamamos a esto el lado opuesto del ángulo, sabemos que el seno de Theta es igual al lado opuesto sobre la longitud de este vector, que es solo 1. Entonces es igual al lado opuesto. Entonces el lado opuesto es igual al seno de Theta. Pero nuestra nueva coordenada esta a la izquierda del eje z entonces esta será una versión negativa. Lo hemos hecho en el video anterior. Será el negativo de seno de Theta. Este punto de aquí, la coordenada. Entonces es menos el seno de Theta. Y finalmente, ¿cuál será la nueva coordenada Z? Será esta longitud. Y sabemos que esta longitud, si la llamamos adyacente sabemos que el coseno de Theta es igual a esto dividido 1. Es igual al lado adyacente, entonces pongo el coseno de Theta ahi mismo. Y tenemos nuestra matriz de transformación. hemos terminado. Nuestra matriz A de transformación es esta. Entonces podemos decir la nueva transformación de la que este video se trata. La llamo a3 porque es una rotación en R3. Tal vez debería llamarla 3 sub X porque es una rotación alrededor del eje X, pero creo que lo entiendes. Es igual a esta matriz de aquí, tal vez pueda reescribirla. Dejame hacerlo así. Voy a borrar todo esto así no tengo que volver a escribirlo. Entonces mi transformación de la que trata este video, 3 rotado theta de X, esa transformación es igual a esta matriz multiplicado por cualquier vector x que tenga en R3. Y dirás, hey Sal, eso se ve exactamente como el que hiciste en el segundo. Si recuerdas el video anterior, cuando definimos nuestra rotación en R2, teníamos una matriz de transformación que se veía muy parecida a esta. Y eso tiene sentido porque estamos esencialmente rotando las cosas en sentido antihorario y en el plano ZY. Y me dirás, ¿esto es algo útil? Lo has extendido a 3 dimensiones, o R3, he visto lo que hiciste en R2. ¿Por qué es útil esto? Es una clase de caso limitado donde solo rotas alrededor del eje X. Y lo hice por dos razones. una, para mostrarte que se puede generalizar para R3. Pero otra cosa es que, si lo piensas muchas de las rotaciones que quieran hacer en R3 se pueden describir como una rotación en el eje X primero, que hicimos en este video, luego una rotación en el eje Y y luego tal vez una rotación en el eje Z. Este es un caso especial donde nos ocupamos de la rotación alrededor del eje X pero podrías hacer el mismo proceso para definir matrices de transformación en el eje Y o Z, y luego las puedes aplicar una tras de otra. Y hablaremos mucho de ello en el futuro cuando empezemos a aplicar una transformacion tras otra. Pero de todas maneras, espero que hayas encontrado algo útil en esto, es una leve extensión de lo que hicimos en R2.