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Vectores unitarios

Qué son los vectores unitarios y cómo construirlos. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

cubrimos ya la idea de lo que es la longitud de un vector longitud de un vector aunque de hecho también a veces le llamamos norma y eso lo vimos hace ya muchos muchos vídeos atrás y me di cuenta de que olvide cubrir un tema muy importante olvide cubrir un tema que de hecho este tema será útil cuando hagamos algunos tipos de transformaciones por ejemplo las proyecciones que haré en el próximo vídeo y el concepto que olvide abordar es la de vector unitario aunque entonces vamos a abordar el concepto de vector unitario y el vector unitario que no es otra cosa más que un vector que tiene longitud o norma 1 ok esto es un vector de norma voy a dejarlo como norma que ya sabemos quién es la norma de un vector 1 simplemente este es el concepto de vector unitario entonces por ejemplo si tomamos un vector cualquiera y que se encuentre en r n de hecho sabemos que pues este vector tiene n componentes 1 2 y así sucesivamente hasta un n ok y este vector pues al querer calcular su norma la norma o la longitud de este vector verdad es simplemente igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada de todas las entradas verdad entonces sumamos los cuadrados de todas las entradas que todos estos al cuadrado los sumamos y finalmente sacamos la raíz cuadrada que no es otra cosa más que una extensión de lo que es el teorema de pitágoras para n dimensiones verdad cuando cuando tenemos solo dos coordenadas pues es el teorema de pitágoras hablando ahí entonces un vector unitario lo que es un vector unitario que íbamos a remarcar un poco que es ser un vector unitario implica que la norma de ese vector digamos la norma de este vector pues es uno ok su longitud o su normal es igual a 1 no importa en qué dimensión estés hablando no importa si estás en r2 r3 n recién r 10 millones no importa pero bueno la siguiente pregunta es cómo construimos un vector unitario entonces vamos a partir de un vector digamos que yo tengo el vector b ok tengo el vector b y que tiene coordenadas b1 b2 y así sucesivamente hasta b n este es mi vector b y queremos encontrar un vector o un vector que tenga la misma dirección que ve que y que tenga la misma dirección y sentido que b voy a dejarlo solo la misma dirección que ve se entiende que entendamos que es el mismo sentido es decir si se apunta hacia esta dirección o debe apuntar en la misma dirección y también queremos ver que la norma de v sea 1 aunque entonces más o menos en dibujitos sería algo así si yo tengo aquí que éste es b este es b yo quiero buscar un vector o digamos un vector que tenga norma 1 pero que esté en la misma dirección y sentido desde ok entonces qué es lo que podemos hacer lo que podemos hacer es tomar la norma primero de nuestro vector b si consideramos la norma de nuestro vector b lo que podemos hacer posteriormente a ello es definir un nuevo vector o que sea 1 entre la norma debe por el vector b entonces claramente este es un vector que apunta en la misma dirección debe y simplemente lo estamos rescatando de alguna forma ahora la afirmación la afirmación es que para empezar que para que podamos hacer esto el vector b debe ser distinto vez de 0 verdad y eso es claro porque pues no habrá múltiplos de un vector que sea el 0 que nos dé norma 1 verdad cualquier múltiplo del vector 0 es 0 pero bueno ya que tenemos esto vamos a calcular la norma de eeuu quien sería la norma de nuestro vector vamos a ver la norma de nuestro vector y no es otra cosa más que la norma de este vector de aquí la norma de 1 / la norma debe por el vector b y aquí hay que utilizar unas propiedades que conocemos muy bien de lo que son las normas verdad las normas simplemente si nosotros tenemos un número aquí que multiplica a un vector sabemos que este numerito lo podemos sacar con un valor absoluto verdad entonces simplemente la norma de una constante por el vector es el valor absoluto de esa constante por la norma del vector en este caso sabemos que es 1 entre la norma y que la norma siempre es positiva verdad porque es positiva porque no puede ser 0 entonces forzosamente tiene que ser mayor que 0 entonces no necesitamos ese valor absoluto así que de esta forma está este número este número que es 1 entre la norma lo podemos sacar de esta norma más grande y nos queda 1 entre la norma de b que es nuestra constante c que juegue el papel de c en este en este ejemplo por la norma del vector y sabemos que 1 entre 1 entre la norma por la norma de d pues simplemente es una verdad esto simplemente va a ser 1 esto se cancelan entonces como repaso si tenemos cualquier vector y queremos encontrar un vector que vaya en la misma dirección y sentido que el original pero que tenga norma 1 simplemente hay que dividirlo entre su norma verdad hay que definir ese vector como uno entre la norma del vector original por el vector original entonces vamos a hacer un ejemplo para que quede bien claro que es lo que hemos estado haciendo si por ejemplo nos tomamos un vector de que sea el vector 12 menos 1 que íbamos a tomarnos este vector quién sería la norma debe la norma debe pues es la raíz cuadrada de 1 al cuadrado 2 al cuadrado más menos 1 al cuadrado y esto quién es simplemente es la raíz cuadrada de uno más cuatro más uno que es 6 verdad entonces su norma de 6 y vamos a reescribir un vector unitario o como 1 entre la raíz de 6 por el vector original que es 12 menos 1 y que ya si nos queremos ver más extendidos pues esto será 1 sobre la raíz de 6 2 sobre la raíz de 6 menos 1 sobre la raíz de 6 pero bueno ahí están dos expresiones iguales para ese vector y tenemos ya nada más que daría a este verificar de quedar y verificar que la norma de este vector es 1 y ya sólo para redondear este tema a veces a los vectores unitarios en vez de ponerle esta flechita se les pone un gorrito de este estilo para denotar que es un vector unitario de hecho por ejemplo tenemos algunos vectores muy clásicos como el y j y k verdad estos vectores que aparecen muchísimo por ejemplo en los vídeos de cálculo vectorial o de algunos ejercicios sobre todo de ingeniería estos son vectores que viven en r3 y que son unitarios de hecho estos son la base canónica de r3 para todos los que han estado viendo los vídeos de transformaciones estos son equivalentes son equivalentes a los vectores e1 e2 y e3 que de hecho pues como son unitarios debería ponerles gorrito verdad y esos son la base estándar o la base canónica en r3 pues bueno ahora que ya expusimos esto ya podemos empezar a usar la idea de un vector unitario en futuros vídeos