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Transcripción del video

cubrimos ya la idea de lo que es la longitud de un vector con hit udd de un vector que ello que de hecho también a veces le llamamos norma ley y eso lo vimos hace ya muchos muchos vídeos atrás y me di cuenta de que olvide cubrir un tema muy importante y de cubrir un tema que de hecho este tema será útil cuando hagamos algunos tipos de transformaciones por ejemplo las proyecciones que haré en el próximo video y el concepto que olvide abordar es la de vector unitario que entonces vamos a abordar el concepto de vector unitario que el vector unitario que no es otra cosa más que un vector que tiene longitud o norma o no ok esto es un vector de norma voy a dejarlo como norma kay kay ash ya sabemos quién es la norma de un vector uno simplemente este es el concepto de vector unitario entonces por ejemplo si tomamos un vector cualquiera uu que se encuentre en r n de hecho sabemos qué pues este vector tiene n componentes 1 2 y así sucesivamente hasta n ok y este vector pues al querer calcular su norma la norma o la longitud de este vector verdad es simplemente igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada de todas las entradas verdad entonces sumamos los cuadrados de todas las entradas todos estos al cuadrado lo sumamos y finalmente sacamos la raíz cuadrada que no es otra cosa más que una extensión de lo que es el teorema de pitágoras para n dimensiones verdad cuando cuando tenemos sólo dos coordenadas pues el teorema de pitágoras hablando ahí entonces un vector unitario lo que es un vector unitario que íbamos a remarcar un poco que ser un vector unitario implica que la norma de ese vector la norma de este vector o pues es uno que su longitud o su norma es igual a o no no importa en qué dimensión estés hablando no importa si estás en r2 r3 en el recién diez millones no importa pero bueno la siguiente pregunta es cómo construimos un vector unitario entonces vamos a partir de un de un vector digamos que yo tengo el vector be ok en el vector b y que tiene coordenadas b1 b2 y así sucesivamente hasta de n este es mi vector b y queremos encontrar un vector un vector buque tenga la misma dirección que ve que hay que tenga la misma dirección y sentido que de voy a dejarlo solo la misma dirección que ves entiendes creo que entendamos que es el mismo sentido es decir si se apunta hacia esta dirección uu debe apuntar en la misma dirección y también queremos ver que la norma de usa1 o que entonces más o menos en dibujitos sería algo así si yo tengo aquí que estés ve usted ve yo quiero buscar un vector uu digamos un vector buque tenga normal no creo que esté en la misma dirección y sentido de de ok entonces qué es lo que podemos hacer lo que podemos hacer es tomar la norma primero de nuestro vector de si consideramos la norma de nuestro vector de lo que podemos hacer posteriormente a ello es definir un nuevo vector un que sea uno entre la norma debe por el vector de entonces claramente este es un vector que apunta en la misma dirección debe y simplemente lo estamos rescatando de alguna forma ahora la afirmación la afirmación es que para empezar que para que podamos hacer esto el vector b debe ser distinto vez de cero verdad y eso es claro por qué pues no habrá múltiplos de un vector que sea el cero que nos den norma una verdad cualquier múltiplo de vector cervecero pero bueno ya que tenemos esto vamos a calcular la norma de eeuu quien sería la norma nuestro vector vamos a ver la norma de nuestro víctor hugo no es otra cosa más que la norma de este vector de aquí la norma de uno entre la norma debe por el vector b y aquí hay que utilizar unas propiedades que conocemos muy bien de lo que son las normas verdad las normas simplemente si nosotros tenemos un número aquí que multiplica a un vector sabemos que este numerito lo podemos sacar con un valor absoluto verdad entonces simplemente la norma de una constante por el vector es el valor absoluto de esa constante por la norma del vector en este caso sabemos que es uno entre la norma y que la norma siempre es positiva por sí es positiva porque no puede ser cero entonces forzosamente tiene que ser mayor que será entonces no necesitamos ese valor absoluto así que de esta forma está este número este número que es uno entre la norma lo podemos sacar de esta norma más grande y nos queda una entre la norma debe que es nuestra constante efe digamos que juegue el papel deseen esté en este ejemplo por la norma del vector y sabemos que uno entre 1 entre la norma por la norma de dd pues simplemente es una verdad esto simplemente va a ser uno esto se cancelan entonces como repasó si tenemos cualquier lector y queremos encontrar un vector que vaya en la misma dirección y sentido que el original pero que tenga norma uno simplemente hay que dividirlo entre su norma verdad hay que definir ese vector como uno entre la norma del vector original por el vector original entonces vamos a hacer un ejemplo para que quede bien claro qué es lo que hemos estado haciendo si por ejemplo nos tomamos un vector de que sea el vector 12 - 1 que vamos a tomarnos este vector quién sería la norma debe la norma debe pues es la raíz cuadrada de uno al cuadrado más 2 al cuadrado más menos 1 al cuadrado y esto quienes simplemente es la raíz cuadrada de uno más cuatro más uno que es 6 verdad entonces su norma es 6 y vamos a reescribir un vector unitario uu como uno entre la raíz de 6 por el vector original que es 1 2 - 1 y que ya si nos queremos ver más ese extendidos pues esto será uno sobre la raíz de 6 2 sobre la raíz de 6 - 1 sobre la raíz de seis pero bueno ahí están dos expresiones iguales parece vector y tenemos ya nada más que daría este verificar de qué dati verificar que la norma de este vector es y ya sólo para redondear este tema a veces a los vectores sanitarios en vez de ponerle está flechita se les pone un gorrito de este estilo para denotar que es un sector unitario de hecho por ejemplo tenemos algunos vectores muy clásicos como el y j y k verdad estos vectores que aparecen muchísimo por ejemplo en los videos de de cálculo victoria los de algunos ejercicios sobre todo de ingeniería estos son vectores que viven en r3 y que son unitarios de hecho éstos son la base canónica de r3 para todos los que han estado viendo los videos de transformaciones estos son equivalentes son equivalentes a los vectores e1 e2 y e3 que de hecho como son unitarios debería ponerles gorrito verdad y eso son la base estándar o la base canónica en el re 3 pero bueno ahora que ya expusimos esto ya podemos empezar a usar la idea de un vector unitario en futuros vídeos