Visualización de las transformaciones lineales

La idea de una transformación puede parecer al principio más complicada de lo que en realidad es, así que antes de sumergirnos en cómo las matrices de $2\times 2$‍ transforman el espacio de dos dimensiones, o en cómo las matrices de $3\times 3$‍ transforman el espacio de tres dimensiones, revisemos cómo es que simples números (alias matrices de $1\times 1$‍) pueden pensarse como transformaciones del espacio unidimensional.

El espacio unidimensional es simplemente la recta numérica.

¿Qué pasa cuando multiplicas cada número en la recta numérica por un valor particular, como el número dos? Una manera de visualizarlo es la siguiente:

Mantenemos una copia de la recta original como referencia y deslizamos cada número en la recta al doble de su valor.

Del mismo modo, multiplicar por ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ podría visualizarse así:

Y para que los números negativos no se sientan abandonados, aquí está la multiplicación por el número menos tres:

Para aquellos de ustedes aficionados a la terminología elegante, estas acciones animadas pueden describirse como "transformaciones lineales del espacio unidimensional". La palabra "transformación" tiene el mismo significado que la palabra "función": algo que toma un número y devuelve otro, por ejemplo $f(x)=2x$‍. Sin embargo, mientras que típicamente visualizamos las funciones con gráficas, usamos la palabra transformación para indicar que, en su lugar, debemos visualizar algún objeto que se mueve, estira, aplasta, etcétera. Así que la función $f(x)=2x$‍ visualizada como una transformación la podemos entender con el video de "multiplicación por dos" mostrado arriba, donde el punto uno de la recta numérica se mueve a donde empieza el punto dos, el punto dos se mueve a donde empieza el punto cuatro, y así sucesivamente.

Antes de movernos al espacio de dos dimensiones, hay un hecho simple, pero importante, que debemos tener en mente. Supón que observas una de estas transformaciones sabiendo que consiste en la multiplicación por algún número, pero sin saber de qué número se trata:

Al seguir al uno, fácilmente puedes averiguar por cuál número se multiplica en la recta. En este caso, el uno termina en donde está el tres negativo, por lo que se puede decir que la animación representa la multiplicación por menos tres.

Una transformación lineal en dos dimensiones es un tipo especial de función que toma un vector bidimensional $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ y devuelve otro. Como antes, nuestro uso de la palabra "transformación" indica que debemos pensar en algo que se estira o se aplasta, que en este caso es el espacio bidimensional.

Aquí hay algunos ejemplos:

Para nuestros propósitos, lo que hace que una transformación sea lineal, es el siguiente par de reglas geométricas: el origen debe permanecer fijo y todas las lineas rectas deben mantenerse rectas. Así que, todas las transformaciones en la animación anterior son ejemplos de transformaciones lineales, pero las siguientes no:

Como en el caso de una dimensión, lo que hace que una transformación de dos dimensiones sea lineal es que satisface dos propiedades:

Solo que ahora $\mathbf{\text{v}}$‍ y $\mathbf{\text{w}}$‍ son vectores en vez de números. Mientras que en el caso de una dimensión la primera propiedad era inútil, ahora juego un papel más importante porque, en cierto sentido, determina cómo las dos dimensiones interactúan durante una transformación.

Imagina que estás viendo una transformación particular, como esta:

¿Cómo podrías describirle esta transformación a un amigo que no está viendo la misma animación? Ya no puedes describirla usando un solo número como lo hacíamos al seguir el número uno en el caso unidimensional. Para ayudarnos a hacer un seguimiento de todo esto, vamos a poner una flecha verde sobre el vector $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍, una flecha roja sobre el vector $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ y fijar una copia de la cuadrícula en el fondo.

Ahora es mucho más fácil ver dónde terminan las cosas. Observa la animación otra vez, y concéntrate en el vector $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$‍. Podemos seguirlo más fácilmente para ver que termina en el vector $\left[\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right]$‍.

Una forma de representar este hecho es con la siguiente notación:

Observa que un vector como $\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$‍, que empieza siendo $2$‍ veces la flecha verde, continúa siendo $2$‍ veces la flecha verde después de la transformación. Dado que la flecha verde termina en $\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$‍, deducimos que

$\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]\to 2\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right]$‍.

Y, en general,

Del mismo modo, el destino de todo el eje $y$‍ está determinado por el lugar en el que termina la flecha roja $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ que, para esta transformación, es $\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$‍.

De hecho, ya que sabemos dónde terminan $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ y $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍, podemos deducir a dónde debe ir cada punto en el plano. Por ejemplo, sigamos al punto $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$‍ en nuestra animación:

Empieza en menos uno por la flecha verde más dos veces la flecha roja, pero también termina en menos uno por la flecha verde más dos veces la flecha roja, que después de la transformación significa

Esta capacidad de separar un vector en términos de sus componentes antes y después de la transformación es la que hace que las transformaciones lineales sean tan especiales.

En general, cada vector $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ puede separarse de la siguiente manera:

Así que, si la flecha verde $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ termina en algún vector $\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$‍ y la flecha roja $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ termina en algún vector $\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$‍, entonces, el vector $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ debe terminar en

Una manera muy linda de describir todo esto es representar una transformación lineal dada con la siguiente matriz:

En esta matriz, la primera columna nos dice en dónde termina $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ y la segunda columna nos dice en dónde termina $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍. Ahora podemos describir el destino de cualquier vector $\mathbf{\text{v}}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ de forma muy compacta como el producto de la matriz por el vector

$\mathbf{\text{Av}}=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right]$‍.

De hecho, de aquí surge la definición del producto de una matriz con un vector.

Así que de la misma manera en que las transformaciones lineales unidimensionales pueden describirse como multiplicaciones por algún número, es decir, aquel número en el que termina el uno, las transformaciones lineales bidimensionales siempre pueden describirse por una matriz de $2\times 2$‍, es decir, aquella matriz cuya primera columna indica en dónde termina $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ y cuya segunda columna indica en dónde termina $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍.