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Transcripción del video

me imagino que en algún momento has estado expuesto un poco a la idea de lo que es una función o en algún momento de tu experiencia en cuanto a las matemáticas pero lo que quiero hacer en este vídeo explicarlo un poco más formal de lo que normalmente lo hago y luego relacionarlo un poco con conceptos de vectores y un tanto de álgebra línea que hemos visto hasta ahora así que una función en realidad es en realidad es la relación entre los elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto así que digamos que tenemos un conjunto x y que por cada elemento de dicho conjunto lo vamos a relacionar o asociar con un elemento de otro conjunto lo hacemos con un elemento del conjunto y es así que imagina que éste es mi conjunto x éste que está por aquí sería el conjunto x y luego por acá tendremos el conjunto y en el que no necesariamente debe ser más pequeños simplemente lo dibujé así y la función es simplemente tomar ciertos elementos de mi conjunto x así que tomemos o visualicemos que este punto de aquí corresponde a este conjunto y la función y eso que emery me diste un elemento de xe ahora lo que vamos a hacer es darte un elemento de ye asociado condado término de x entonces se vería de esta forma vamos a asociar nuestro elemento de x con elementos de hierro por lo cual vamos a decir que lo estamos mapeando y lo que realmente significa es que estamos relacionando lo o asociándolo con un miembro de yee y luego si me das otro punto por aquí lo voy a relacionar con otro punto del conjunto lleno podríamos incluso relacionarlo con el mismo punto que utilizamos primero en el conjunto llegue y esta es la anotación solamente nos está diciendo que estamos mapeando de un conjunto x y es lo que estamos hablando en términos generales a lo del conjunto ché y probablemente podrías decirme y esto está haciendo demasiado abstracto para poder interpretar funciones vistas anteriormente entonces bien déjame sólo escribo debajo una función que probablemente has visto mucho en ocasiones anteriores y entonces vamos a decir que tenemos fx iguala x cuadrada entonces cómo podríamos escribir la en esta anotación bien pues ésta es una función asumiendo que éstas un tanto relacionado con ella entonces vamos a escribirlo como que efe va a ir si te das cuenta en nuestra función fx iguala x cuadrada puede tomar valores en todos los reales o también podríamos definirla como para los números enteros pero en esta ocasión vamos a decir que esta función efe va a ir de los reales iba a mapear por así decirlo o va a ir hacia los números reales también simplemente lo que estamos diciendo es que podemos poner cualquier número real aquí y vamos a caer en los reales otra vez entonces en este caso si x es un número real va a ir al mismo conjunto pero va a ser un número legítimo pues lo que está haciendo nuestra función es esto así que si estamos en los números reales obviamente caeremos en los reales pero siempre y cuando tomamos un punto en rr y loma peleamos y en otro punto en entonces lo que estamos haciendo tomamos un punto y lo asociamos con la función x cuadrada y ahora lo que quiero hacer es unasur notación o al menos no dejarlo como solamente en la mente pues es la primera vez que estoy tratando de exponer acerca de funciones con este tipo de notación entonces estaba pensando que díaz tuvo un número piezas en un número real x y loles al cuadrado entonces simplemente lo que pasa es que estamos cambiando este número al elevarlo al cuadrado y entonces vuelve a caer los reales vamos de x x cuadrada y de hecho ésta es otra forma de anotación pero estamos escribiendo la misma cosa estos enunciados de por aquí este primero y este segundo son idénticos solamente que creo que no es muy común ver esta segunda anotación sin embargo a mí me gusta porque siento que nos muestra de mejor manera el mapeo la asociación que estamos teniendo de un conjunto con otro entonces una especie de poner x en una pequeña máquina y tornarla o transformarla en x cuadrado y eso es lo que está realizando nuestra función entonces para mí esa anotación implica una mejor forma de representar el mapea entonces me das unas x las voy a asociar con otro número real llamado x cuadrada por lo que éste va a ser otro punto y esto es simplemente la terminología que estoy utilizando y creo que este tipo de cosas lo has visto anteriormente pero de diferente forma y el conjunto del cual éstas mapeando se le llama dominio del cual estamos partiendo se le llama dominio que es justo lo que había escrito en color rosa por aquí abajo y bien ahora a la parte que estamos mapeando o estamos asociando de un conjunto a otro es conocido como el condominio así es o dominio y puede ser normal que surja una pregunta en tu cabeza y me digas oye pero cuando yo tomé mi curso de álgebra o donde sea que tú hayas aprendido funciones es muy probable que hayan dicho que es aislado se llamaba rango sin embargo te voy a explicar la diferencia entre estos de hecho creo que yo lo aprendí cuando tomé mi curso de álgebra 2 sin embargo yo también lo conocía como el rango pero bueno qué es lo qué relación al condominio con el rango pues es una suv notación el condominio es el conjunto al que llegamos o estamos mapeando por así decirlo por ejemplo aquí este es el condominio y en nuestro ejemplo tenemos los reales que son el dominio y el condominio también son los reales entonces la pregunta es cómo el condominio se relaciona con esto y bien el condominio es el conjunto que puede ser al que posiblemente se llegue no necesariamente todos los elementos o puntos de condominio van a estar relacionados con otros de dominio más bien quiero decir que generalmente cada elemento del conjunto x está asignado a un único elemento del segundo conjunto ahora el rango es un subconjunto del condominio de hecho pueden ser el mismo para cuando el elemento que parte de nuestro dominio cae tanto en el condominio y respeta la parte del rango más adelante les daré un ejemplo de esto para que quede más claro pero entonces la definición de rango sería el subconjunto del condominio donde la función está asociando un elemento pero bueno pasemos al ejemplo para entender mejor entonces digamos que vamos a definir la siguiente función g la cual va ir de los reales va a ir de mejor va a ir de r2 a r a los reales entonces esencialmente estoy tomando elementos de r2 que van a rr así que vamos a ver de qué forma diferente podemos ver esto y ahora voy a tomar a los valores que corresponden ser de redes que podrían ser como por de nadas así que tenemos que ceder dichos valores que sería x1 como x2 y vamos a decir que es igual a 2 entonces está asociando asignando de r2 a r pero esto siempre van a ser igualados siempre los elementos de r2 dijimos que van a valer 2 entonces ahora déjame escribir la otra anotación que probablemente no la hayas visto antes pero a mí me gusta porque hace la asociación o la asignación un poco más clara entonces g que va de x coma o x1 como x 2 a 2 entonces a esta parte de aquila podríamos llamar como regla de correspondencia que es lo que parte de nuestra función a otra entonces ahora la pregunta va a hacer cuál sería el dominio en esta función pero aquí no la está dando por definición sabemos que ge parte de arriba de r2 parte de r2 entonces ya está dada nuestra definición y también nuestro pueblo mío ya está dado por la definición pues sabemos que vamos de r2 aérea entonces dicho condominio va a ser igual a ere que estoy subrayando por aquí entonces hasta el momento estos plus en un tanto sencillos de ver pero ahora viene lo interesante cuál es el rango de mi función del rango sería el conjunto de valores que la función de hecho está asociando que en nuestro ejemplo siempre llegamos o estamos asociando el valor dos entonces el ran es el número o el valor 2 y si queremos visualizar esto pues bien podemos dibujar lo y será de la siguiente forma dentro de mi dibujo tendríamos que r2 vendría siendo este espacio de por aquí sólo por por lograr visualizar y el reloj podemos representar por una simple línea que nos marque los reales no entonces está representaría ere que sea la línea de puros números reales y lo que nuestra función no se está diciendo es lo siguiente es que tomamos un valor de rd 2 una coordenada de r2 y siempre caeremos en este punto de aquí en los reales que es igual a 2 entonces había de la siguiente forma digamos que tenemos una coordenada aquí en nuestro espacio de alrededor digamos que esta sea la coordenada 3,25 y que dicha coordenada va a ir a caer al valor 2 en nuestro realiz y eso es lo que nuestra función g siempre hace así que mi función g su condominio es todos los reales pero el rango es sólo el valor 2 ahora si escribo otro ejemplo digamos que tenemos lo siguiente para que se pueda ver un poquito más explicado que no siempre va a ser simplemente un valor que nosotros denominamos entonces digamos que tenemos la siguiente función h que va a ir de r3 de r2 que ver de r2 r3 aquí debemos de ser muy cuidadosos porque estamos yendo de una dimensión más pequeña a una dimensión más grande vamos de r2 r3 entonces ahora escribir lo siguiente digamos que her2 bueno de nuestros valores x1 y x2 son iguales van a ser iguales a las siguientes entradas de nico ordenada o demi componente que forma parte de tres que viene haciendo x1 más x 2 así yo lo estoy denominando x 2 - x 1 y nuestra tercera entrada de tres sería igual al producto de x 2 con x o la ahora las preguntas son cuál es mi dominio cuál es mi condominio y cuál es mi rango y bueno pues mi dominio por definición de mi función sería r2 y mi condominio también por la definición nuestra función sería rtc y de hecho voy de un espacio de dos dimensiones a un espacio de tres dimensiones entonces podemos siempre asociada algún punto x1 y x2 a un punto que esté en r3 y bueno de hecho no son puntos son elementos de diferentes dimensiones y bueno ahora una truculenta pregunta o interesante va a ser cuál es el rango pues podemos siempre asociar todos los puntos aunque quizás ése es el ejemplo más sencillo pero nos va a servir para comprender bastante bien entonces dónde está mi condominio sr3 y mi dominio es enredos entonces siempre vamos a tener que encontrar los puntos mediante h que vayan de r2 r3 entonces mi rango como puedes ver no es como cada coordenada puedo la podemos expresar de la siguiente forma entonces déjame te doy un ejemplo numérico para que veamos cómo hay elementos que sí pertenecen al rango que sí pertenecen más bien al condominio pero no pertenecen al rango entonces digamos que tenemos h bueno voy a utilizar mi notación la que estoy acostumbrada para hacértelo ver un poquito más sencillo entonces tomamos un elemento de r2 que es una cornada en este caso sea 2,3 h que va de 2,3 a que es la regla de correspondencia que tenemos abajo como lo nombramos acá entonces sería dos más tres sería la primer entrada 5 luego la diferencia nos va a dar uno que sea 3 - 2 6 1 y nuestra última entrada de producto de los dos números entonces tendríamos seis y aquí vemos que este elemento pertenece a nuestro rango nos pertenece a nuestro rango y también por ende está en el condominio sin embargo veamos que tenemos aquí la columna 2,3 que va a caer en un punto que digamos que está por acá en r3 lo voy a pintar de otro color 25 como 1,6 y es un elemento de r3 pero ahora qué pasaría con lo siguiente es una pregunta que yo te quiero hacer qué pasa si tengo un punto en el e3 lo voy a representar con diferente color digamos que tenemos este punto y que sea el punto 5 como a 1,5 como a 1,0 finalmente es un elemento de r3 entonces aquí mi pregunta es este punto es un elemento del rango definitivamente queda claro que es un elemento del condominio pues está en r3 entonces definitivamente estará ahí pero lo interesante es que pasa con el rango bueno pues si tomamos esta primera entrada como la suma de dos números pues es un tanto razonable que es 5 si tomamos el 2,3 otra vez todas 5 la diferencia no es verdad sin embargo el producto de esos números no nos dan cero por lo tanto no pertenece a nuestro rango no es un elemento del rango entonces creo que aquí sí queda muy claro que podemos ver que el rango va a ser un subconjunto de todos estos puntos en el retr es que cumplan con nuestras condiciones de nuestra regla de correspondencia ahora quiere introducir te a una pieza más de todas estas terminologías con respecto a las funciones bien esta función de aquí vemos que va de r2 a r y otra función más común y yo creo que las más usadas en nuestra experiencia matemática es ésta que tenemos por acá que va de los reales a los reales vemos que es como y de un espacio unidimensional al espacio unidimensional y ella es muy conocida o es llamada como una función de valores escalares o valores reales valores escalares o valores reales como tú quieras pensarla y hasta ahora cuáles de las funciones como la más accesible o la más entendible que hemos visto hasta ahorita bueno alrededor de tu experiencia en matemática si alguna vez ha llevado algo de cálculo electoral podemos identificar la siguiente función de esta forma vemos que esta función va de r2 a la red 3 entonces ésta es una función con valores con valores victoria luis aquí ya podríamos decir que es como si tuviéramos una función que va de rn donde n es mayor que uno o sea estar haciendo de r2 adr tres o cuatro o hasta el recién entonces tú estás tratando con una función vectorial de valores vectoriales por lo que esta función que definir por aquí h es una función de valores vectoriales bueno de cualquier forma espero que todo lo que hemos aprendido aquí de terminologías y notación de funciones que sea realmente útil