im(T): imagen de una transformación

digamos digamos que tengo un subconjunto de rn b b es un subconjunto de rn que de hecho es sube espacio espacio r y les recuerdo brevemente qué significa que desea un sub espacio pues significa que si tengo un vector hay un vector b que son miembros de el conjunto b entonces a mars b el vector a más el vector b también está de esta propiedad a esta propiedad se le conoce como cerradura cerradura bajo adicción así se llama esa propiedad de un modo muy formal y también eso no es todo lo que necesito también necesito que si si tengo un escalar por el vector a que pertenece a b entonces esto también pertenezca ve a esto se le llama cerradura cerradura bajo ésta está muy fea cerradura bajo multiplicación multiplicación por escalares escalares y finalmente también tengo el requisito de que el vector 0 por 0 también está en el conjunto de y quizás creen que este requisito es algo vacuo o que está además por esta condición pero realmente no porque este requisito es precisamente lo que me garantiza que b no es el conjunto vacío así que es una condición en verdad bastante útil pero bueno últimamente hemos estado hablando de transformaciones así que puedo considerar t una transformación lineal de rm en r m entonces en el vídeo pasado habíamos dicho que dv al aplicarle la transformación a cada elemento del conjunto de esto ya lo llamamos los llamábamos la imagen la imagen dv bajo les recuerdo que en el vídeo pasado estábamos de hecho trabajando con triángulos y teníamos tenemos un triángulo teníamos una transformación d r2 en r2 y en esa transformación lo que hacíamos era que habíamos considerado un triángulo triángulo así y vimos que la transformación lo enviaba en un triángulo que estaba algo inclinado estaba como chueco este triángulo de aquí se transformaba en este otro triángulo bajo la transformación d y entonces lo que hemos dicho era que este triángulo el triángulo chueco estoy acá arriba decíamos que eso la imagen la imagen de el triángulo original del triángulo amarillo del término rectángulo bajo bajo la transformación de nada más que una observación solo es que en este caso el triángulo no es un sub espacio estábamos aplicándole la transformación a un subconjunto de rn que era este triángulo pero que no era un sub espacio todos los espacios son subconjuntos pero no todos los subconjuntos son sub espacios hay que tener cuidado con eso pero bueno la pregunta que yo quiero contestar en este vídeo la pregunta que quiero contestar es si me fijo en la imagen de b que ve es un sub espacio b es un sub espacio de rm entonces la pregunta es su imagen un sub espacio espacio de donde pues por ejemplo en este caso tomamos un triángulo y obteníamos otro triángulo en r2 pero era por que r2 era el co dominio así que en este caso el condominio srm por lo tanto la pregunta es la imagen debe bajo la transformación t es un sub espacio de rm esa es la pregunta que quiero contestar en este vídeo bien pues sí quiero checar si la imagen de bajo t es un sub espacio de rm tengo que sacar estas tres propiedades la cerradura bajo adición la cerradura bajo la multiplicación por escalares y que el elemento cero que el vector cero pertenezca a este subconjunto así que bien qué elementos de la imagen de be me puedo tomar pues simplemente me tomo y de dos vectores en b entonces la transformación aplicada al vector a es un elemento de la imagen debajo de la imagen debe bajo t simplemente es aplicarle la transformación t a todos los elementos de b pero ciertamente es un elemento debe así que esto está en la imagen de b bajo t y también se debe está en la imagen de debajo t y esto esto tienes pues la transformación que era una transformación lineal eso es muy importante en todo esto así que esto es lo mismo que aplicarle la transformación a la suma de a conté pero qué sucede qué sucede pues esto de aquí está entre lo que está adentro porque ahí ve eran elementos del sub espacio y si son elementos del sub espacio su suma es un elemento del sub espacio así que esto pertenece a la imagen dv perfecto ahora qué pasa si me tomo un escalarse y consideró una escalar sé por qué a dónde es un vector en b entonces quién es esto pues de nuevo la transformación es lineal y como la transformación en link es lineal esto es lo mismo que la transformación del escalarse por el vector ahora bien de nuevo esto aquí lo que está dentro de la te lo que le estoy aplicando la transformación pertenece a ve de nuevo por el axioma de cerradura bajo la multiplicación para el sub espacio ve yo ya sé que ve es un sub espacio así que esto también pertenece a la imagen debe muy bien y por último por último tengo que checar que el vector 0 el lector 0 este en la imagen debe pero el vector 0 si le aplicó la transformación al vector 0 como es lineal como la transformación es lineal el vector 0 siempre es la imagen del vector 0 así que esto de nuevo del mismo color esto de nuevo está en la imagen debe y bien como se checan estas tres condiciones entonces la imagen del psuv espacio de bajo la transformación de la imagen debe bajo t sube espacio su despacio pero ya no del dominio ya no de rn sino de r m la imagen de de bajo t es un sub espacio de r m bueno pues una pregunta natural que nos puede surgir después de haber hecho todo esto es que sucede qué sucede si considero a todo r n qué pasa si me fijo en la imagen de todo el dominio pues habíamos estado llamando a esto esto sería la imagen la imagen de r n rm bajo hasta ahora sólo habíamos estado considerando subconjuntos o sub espacios propios pero ahora quiero considerar a todo el dominio como él el objeto al que le voy a aplicar la transformación así que quiero fijarme en la imagen de rn bajo como un conjunto como un conjunto esto quiere después son todos los vectores en rm que son de la forma tv x que está en el condominio r m recuerden la transformación va de rm donde x pertenece al dominio a r n esto es lo que quiero considerar y bueno yo sé que si es fino una transformación te lleva de rm a rm entonces esto de aquí y esto se llama el dominio dominio y esto se llama el co dominio como dominio y podrían pensar podrían irse con la cinta de que la imagen de rm bajo la transformación que es todo el condominio pero ese no es el caso de hecho una terminología que no es tan común en álgebra lineal pero que podría ayudar a clarificar esto es que muchas veces esto se llama el rango el rango de la transformación d es decir son sólo aquellos elementos en el dominio son aquellos elementos de rm que provienen de elementos en rn y bueno esto normalmente a esto se le llama la imagen la imagen esto estoy aquí es la imagen de ti y normalmente se denota como en la imagen dt y no se vayan a confundir antes hablaba de la imagen de subconjuntos bajo la transformación t en el momento en el que mi subconjunto es todo el dominio simplemente hablo de la imagen de t no quiero hablar de la imagen del dominio bajo t es lo mismo que simplemente decir la imagen de t déjenme trato de ilustrar este concepto supongan sé que esto de aquí estoy aquí es mi condominio decir esto aquí acr n perdón de rm y que estoy acá estoy acá es rn esto es mi dominio entonces la imagen si le aplicó la transformación a todos los elementos a todos los vectores de mi dominio lo que obtengo es una especie de copia bueno quería que estos dos casos aparecieran una especie de copia bajo la transformación te te manda a cada elemento a ti algún elemento acá pero pueden existir elementos en el co dominio que no sean parte de la imagen por ejemplo aquí puede estar algún vector raro al que no le pegue pero eso no le quita es así es importante la imagen de t siempre es un sub espacio de dominio lo que no puedo garantizar es que sea todo el condominio bien entonces esto sería la imagen de la transformación t y bueno sólo una aclaración cuando dije que esto era una copia no me refería a una copia fidedigna simplemente es como la imagen no vayan a creer por ejemplo la transformación te podría mandar a todo rn al vector 0 y eso es una transformación lineal y claramente el vector 0 no es lo mismo que por ejemplo r 5 así que bueno aclarado eso vamos a ver quién es exactamente la imagen de una transformación t bien pues es un hecho es un hecho que toda transformación de rm a rm se puede expresar en la forma de x es igual a una matriz a por el vector x donde haga es una matriz de emed por n y bien entonces si si escribo esto de ese modo quien es quien es la imagen imagen de r n bajo t déjenme lo escribo de varios modos por un lado esto es lo mismo esto es lo mismo lo denota vamos por tdn y bien como decía arriba esto es esto de aquí tvr m y es lo mismo que la imagen la imagen de ti como estoy tomando todo el dominio sólo tengo que decir la imagen de t que dijimos que se notaba como imagen de ti pero por lo que tengo acá arriba este conjunto sencillamente es como te dé x es lo mismo que la matriz a por el vector x el conjunto de los vectores de la forma a por x que son vectores en el dominio nrm donde x pertenece a r n muy bien y para averiguar quién es este conjunto de aquí lo que voy a hacer es escribir a mi matriz a como la matriz de m&m que tiene por columnas a los vectores a1 a2 hasta en esos son mis vectores columna de la matriz a y la voy a multiplicar por un miembro de rm genérico es decir por una lista x 1 x 2 hasta x m de números reales arbitrarios que me da este producto matriz vector pues me da x 1 por el vector a 1 + x 2 por el vector a 2 más hasta voy sumando todos hasta x n por a n pero como x 1 x 2 x 3 todos hasta x n pueden tomar cualquier valor real en realidad lo que estoy diciendo es que este conjunto de aquí es en realidad igual al el espacio espacio de columnas de la matriz a que habíamos denotado por si en algún momento bien esto es un resultado muy bonito porque me dice que si quiero encontrar la imagen de una transformación lineal t es decir lo que resulta si le aplicó la transformación a todos los elementos del dominio lo que termina siendo la imagen de todo el dominio bajo la transformación t entonces lo único que tengo que hacer o más bien eso es igual a el espacio de columnas de alguna matriz que representa a mi transformación lineal t es esto de aquí precisamente las combinaciones lineales todas absolutamente todas las combinaciones lineales de los vectores columna de mi matriz estoy aquí es el sub espacio vectorial generado por los vectores columna x a1 a2 hasta hasta a m y por supuesto esto es un subconjunto es un sub espacio vectorial de r pero en realidad este resultado es muy bonito y lo vamos a usar mucho en el futuro