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Contenido principal
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Transcripción del video

supongamos que me dan tres vectores de posición en r2 es decir me dan un primer vector x0 que va a ser el vector cuyas entradas son menos 2 y menos 2 como se ve ese vector pues vengo a mi plano y busco el punto menos 2 menos 2 es el vector que apunta a este punto de aquí perdón porque se ve algo chueco pero creo que ustedes lo pueden imaginar así que esto es x 0 también me dan el vector x1 dan otro vector en r 2 x 1 que va a ser el vector con entradas menos 2 en dónde está ese vector pues tengo al punto menos 2 2 y lo uno con el origen así que esté aquí este azul es mi vector x1 finalmente también me dan un vector x2 que va a ser el vector con entradas 2 - 2 y ese vector está aquí el vector tiene punto final 2 - 2 apunta al punto 2 - 2 así que esto de ahí es x2 perfecto ahora lo que quiero hacer es definir matemáticamente este segmento de aquí quiero definir el segmento que une los puntos a los que apuntan el vector x1 y el vector x0 esos dos puntos voy a llamar a este segmento l 0 y para representarlo matemáticamente vamos a considerar lo siguiente estoy parado en x0 estoy saliendo de x0 así que me lo noto aquí es x 0 y ahora fíjense que este vector el vector naranja es precisamente la diferencia entre x1 y x0 es decir es el vector x 1 - x 0 ese es el vector entonces lo que quiero hacer es sumar múltiplos escalares de ese vector de ahí entonces que voy a hacer es sumar tevez es donde t es algún número real el vector x 1 - menos x 0 ahora bien necesito ponerle algunas restricciones a esto porque si no restringe te te puede valer lo que sea y entonces estaría describiendo toda esta línea recta no solo este segmento a ver si te vale 0 entonces estoy parado aquí si te vale 0 simplemente tengo x 0 así que si te vale 0 estoy parado aquí voy a entonces a suponer que 0 es menor o igual a t y si te vale 1 si te vale 1 donde estoy parado x 0 más x 1 menos x 0 x 0 y x 0 se cancelan y estaría parado justo aquí así que también voy a pedir que te sea menor o igual a 1 perfecto y fíjense si te valieron medio entonces este vector estaría escalado a la mitad y estaría parado justamente aquí si te valiera 0.25 entonces estaría escalado un cuarto y estaría parado aquí a un cuarto el camino si valiera 0.75 estaría parado por acá así que esta línea esta línea naranja es precisamente mi conjunto l 0 en un sentido bastante estricto quizás debería decir que l 0 es más bien el conjunto de vectores que apuntan a puntos sobre este segmento pero vamos a ver en el futuro que esas dos cosas son en realidad la misma así que bueno voy a repetir el ejercicio pero ahora quiero unir el extremo de x1 con el extremo de x2 y voy a definir el e1 como ese segmento de nuevo si hago exactamente lo mismo que hice antes y hago exactamente lo mismo que hice para el segmento naranja entonces el e1 tiene la forma x1 más de veces x 2 - x 1 donde 0 es menor o igual que t que es menor o igual a 1 esto de aquí esto es todo morado sería el e1 y finalmente voy a definir también a l 2 como ustedes ya se lo imaginan el 2 va a ser el segmento que une a los extremos de x0 y x2 este segmento d así que quien va a ser pues va a ser ahora x2 estar parado aquí y me voy a mover hacia acá más tv cesc x 0 - x2 donde 0 es menor o igual a t es menor o igual que 1 esto me permite definir precisamente este segmento de aquí que va a ser el 2 y bien ahora ahora voy a considerar la unión de estos tres segmentos voy a decir que s s es igual a l0 unión l 1 unión l 2 y qué es esto pues son precisamente los puntos que están en alguno de estos segmentos eso me da a todo el triángulo completo ya estoy considerando todos los puntos que están en alguno de esos segmentos así que tengo este triángulo y lo que quiero hacer en este vídeo es estudiar cómo se comporta este conjunto ese bajo alguna transformación lineal ok vamos a considerar la transformación de que aplicado un vector x en r 2 me da otro vector en r 2 y lo que va a hacer es simplemente el producto de la matriz 1 menos 120 con el vector x que puedo escribir en la forma x 1 y x2 recuerden que x está en r2 así que bien lo que quiero hacer es estudiar qué le pasa a mi triángulo ese bajo la transformación t así que bien vamos a estudiar qué le pasa a cada uno de sus lados si le aplicó la transformación al segmento l 0 que me da pues el segmento n 0 está conformado por vectores de esta forma conté entre 0 y 1 así que su imagen si le aplicó la transformación es simplemente determinar qué le pasa a estos vectores así que esto es lo mismo que el conjunto de vectores o la transformación aplicada a los vectores de la forma x 0 más el escalar t no se confundan temarios con leite minúscula por el vector x 1 - x 0 dónde fort un paréntesis donde 0 es menor o igual a t que es menor o igual a 1 ahora bien recuerden recuerden que es una transformación lineal lo vimos en el vídeo pasado así que esto es lo mismo aquí tengo una suma de vectores y entonces eso es lo mismo que la transformación aplicada x 0 más la transformación aplicada a este vector de aquí el vector t de escalar por x 1 - x 0 1 2 paréntesis y de nuevo donde 0 es menor o igual a t que es menor o igual a 1 bien y de nuevo de nuevo usando que la transformación es lineal puede escribir esto como tv x 0 aquí tengo un escalar por un vector que es lo mismo que te sacó el escalar por la transformación del vector x1 menos x0 donde de nuevo 0 es menor o igual a t menor o igual a 1 y finalmente finalmente esto aquí es igual pues esto este de x0 más de veces y aquí les dejo un pequeño ejercicio de tarea como test lineal esto te de x 1 - x 0 es lo mismo que te dé x 1 - te dé x 0 donde de nuevo tengo la restricción cero menor o igual a t menor o igual a 1 y esto es algo muy interesante porque nos dice que la imagen de un segmento que une dos puntos o la transformación aplicada a un segmento que une dos puntos es sencillamente y el segmento que une a la transformación aplicada a los puntos finales del segmento muy bien así que para encontrar la imagen o la transformación aplicada a l0 me vas a encontrar quién es la transformación aplicada a x 0 y quién es la transformación aplicada a x1 a ver entonces x0 en el vector menos 2 - 2 x 1 era al menos 22 así que vamos a encontrar cuánto vale la transformación en estos vectores de de x 0 es lo mismo que la transformación de menos 2 todos y eso por definición es la matriz uno menos 120 multiplicada por el vector menos 2 - 2 cuanto me da eso pues uno por menos dos es menos 2 - 1 por menos dos eso es positivo menos dos y dos positivos es luego 2 x menos 12 menos 40 x menos 2 es cero así que menos 4 en la segunda entrada así que el vector el director x0 que era este de aquí se transforma este vector de acá director de aquí esto va a ser la transformación aplicada a x0 y qué hay de qué hay de la transformación aplicada x 1 que era el vector menos 2 2 pues de nuevo eso simplemente es la matriz 1120 multiplicada por el vector menos 2 2 y eso cuánto nos da menos dos por uno es menos 22 por menos uno 2 pero menos dos por uno es menos 22 por menos uno es menos dos así que me daría menos 4 y dos por menos dos es menos 40 por 20 así que menos 4 también acá y el vector el vector x1 se transforma en este vector de aquí m este vector de aquí desde x1 ya por no dejarlo nos falta poco quién es la transformación de x2 que recuerden era 2 - 2 pues por un lado podríamos ver que es el negativo de este y simplemente multiplicar todo por menos podríamos de nuevo multiplicar por la matriz 1 1 2 0 por el vector 2 - 2 los pulmones dos menos dos por menos uno es dos positivos dos y dos son cuatro 4 2 por 2 4 y 0 por menos dos es cero así que es el vector 44 que sería este de aquí esto de aquí es la transformación de x2 muy bien entonces tienes la transformación aplicada a l0 quien esté de l0 pues como no está vamos estamos empezando en x0 estamos empezando en la transformación aplicada x0 perdón estamos empezando de ese punto y estamos sumando múltiplos de este vector de aquí del vector que es la diferencia entre tener x1 itv x 0 pero ese vector es sencillamente este vector de aquí así que en realidad este conjunto es todo este segmento nuestro segmento l 0 original que era este de aquí se transformó en este segmento de acá y si hiciera lo mismo puedo hacer lo mismo de hecho para por ejemplo el 2 y n 1 l 1 era el segmento que tenía x 1 con x 2 así que se va a transformar en el segmento que une a x1 a la transformación aplicada x 1 con la transformación aplicada a x2 para transformar en esto de aquí déjenme les pongo nombres esto es l 1 y esto acá abajo estoy aquí fuera l 0 y tdm 2 era el segmento que unía x2 con x0 así que se va a transformar al ser en el segmento que une a la transformación de x0 y la transformación de x2 así que se transforma en eso sí está muy chico se transforma en ese segmento de recta eso sería de l 2 y en resumidas cuentas lo que estamos haciendo es si lo que quiero es encontrar la transformación aplicada a todo el conjunto ese que era todo el triángulo pues lo que nos da es este triángulo inclinado de acá así que en conjunto estos tres segmentos nos dan la transformación aplicada al conjunto s bien esto es una gran moraleja de este vídeo la idea de que para encontrar a dónde se va este segmento no tengo que encontrar punto a punto a dónde se va el segmento no tengo que decir ah bueno este punto se transforma en tal otro punto o así solo tengo que encontrar en dónde están las imágenes en donde se transforman los extremos del segmento por ejemplo este punto de aquí que está en el segmento que 1 x 0 con x2 sé que se va a transformar algún punto de este segmento si no me importa realmente cuál es la posición sino simplemente que se transforme en que el segmento se transforme en este segmento entonces realmente es algo muy bueno y esto es sobre todo útil si quieren hacer cosas como programación de videojuegos o así y existe una terminología para ello podemos pensar podemos pensar que la línea l repintó aquí con naranja vamos a pensar que el segmento l se está transformando en otra cosa la transformación nos está dando su imagen nos está diciendo cómo se ve el segmento bajo los ojos de la transformación de así que de hecho decimos que l 0 donde l 0 era el segmento que ya habíamos discutido desde l 0 estoy aquí eso de allí se llama o es la imagen la imagen de él es cero bajo la transformación de bajo y de hecho eso es cierto para cualquier conjunto por ejemplo podría decir que se considera el triángulo ese triángulo de aquí entonces también puedo decir que tves es la imagen la imagen s bajo y simplemente lo que quiere decir es aplicarle la transformación a cada elemento de este conjunto pero bueno esto es muy muy útil cuando haces programación de videojuegos porque como la perspectiva cambia digamos como que puedes pensar en que este triángulo si te mueves de cierto modo se vería ahora si la imagen sería esto así que pueden ver porque es muy útil en el próximo vídeo lo que haremos es considerar qué pasa cuando el conjunto ese es todo el dominio todo r n