Transformaciones lineales

en el vídeo pasado definimos lo que era una transformación que era simplemente una función que operaba en vectores ahora vamos a hablar de un caso especial de las transformaciones vamos a hablar de las transformaciones lineales transformaciones lineales después de todo esto es álgebra lineal y ya hemos hablado acerca de combinaciones lineales así que tiene sentido que hablemos de algo como las transformaciones lineales y que son pues si tenemos una transformación t que tiene dominio rm y que va a rm entonces qué es una transformación lineal que es una transformación lineal sí solo sí si solos y qué pasa pues si tenemos dos vectores y tenemos dos vectores en nuestro dominio el vector a y el vector b rm que es nuestro dominio entonces vamos a pedir que la transformación aplicada a la suma de a y debe la transformación del vector que resulta de hamás b sea lo mismo que tomar la transformación y aplicarse la a y al resultado sumarle la transformación aplicada al vector d que estas dos cosas sean iguales recuerden que estos dos son vectores en rn y se pueden sumar y estos dos son vectores en r m y se pueden sumar ok y también voy a pedir también voy a pedir que si yo multiplico al vector a por una escalar c por un número real c entonces esto o sea lo mismo que multiplicar hace por el resultado de aplicarle la transformación a a si estas dos condiciones se cumplen para una transformación te decimos que es una transformación lineal bien ahora vamos a ver si podemos utilizar estas condiciones para determinar cuando una transformación es lineal así que vamos a suponer vamos a suponer que tengo una transformación t que va de r 2 r2 y que está definida mediante la transformación de x 1,2 es sencillamente la pareja o el par ha ordenado x 1 + x 2,3 veces x 1 y por supuesto también podría escribir esto en notación vectorial porque en este caso estoy usando la anotación como una pareja ordenada pero también podría escribir esto como la transformación aplicada al vector x 1 x 2 es sencillamente el vector el vector x1 más x 2 y segunda entrada 3 veces x 1 así que esto es lo mismo que esto y de hecho otro modo escribir lo que ya había usado en el vídeo pasado y en algunos vídeos anteriores de hecho es decir que t te funciona mediante la regla de correspondencia y al vector x1 x2 no envía lo transforma en nuevo note en esta línea vertical de aquí en el vector x1 más x2 y segunda entrada 3 veces x 1 muy bien pues vamos a checar que esto vamos a checar si esto es una transformación lineal muy bien entonces queremos ver queremos saber si t es una transformación lineal entonces lo que vamos a hacer es checar que se cumplan estas dos condiciones o que no se cumplan esas condiciones así que necesito dos vectores en mi dominio mi dominio es r 2 así que vamos a considerar a a entre 2 como el vector como el vector a1 a2 y vamos a considerar también un vector b r2 que va a ser b1 b2 ok en este caso cuánto vale a más ve quién es el vector además ve pues por definición la suma de vectores es sumarlos entra de entrada así que primera entrada más primera entrada a 1 más b 1 sería a 1 v1 y hacer mi primera entrada y mi segunda entrada es a 22 a dos dedos ok entonces cuánto vale la transformación aplicada al vector más de cuánto vale la transformación aplicada la suma del vector con el vector b pues esto es lo mismo que tomar la transformación de el vector lo que vamos a encontrar es aún no más de uno y a 2 b 2 más veloz quiero encontrar la transformación de ese vector pues eso que me dice la regla de correspondencia me dice toma la primera entrada y sumarla con la segunda así que sería uno más b 1 todo eso es mi primera entrada más a 2 + b 2 a dos dedos que es mi segunda entrada y luego tres veces la primera entrada así que tres por uno más de uno si quisiera podría distribuir al 3 pero vamos a dejarlo así ok muy bien este fue el resultado de sumar los vectores y aplicarles la transformación ahora voy a aplicarle la transformación a cada vector y sumar el resultado así que primero necesito averiguar cuánto vale la transformación aplicada al vector a cuánto vale td a pues eso es lo mismo que la transformación aplicada al vector a1 a2 y eso cuánto vale pues aquí sólo tengo que sustituir x 1 por a1 y x2 por a 2 y el resultado sería a uno más a dos y segunda entrada tres veces a uno y que debe pues si le aplicó la transformación ab es algo enteramente análogo es el mismo procedimiento y obtendría b1 b2 tres veces ve uno muy bien y ahora el momento la verdad cuánto vale la transformación aplicada a más la transformación aplicada a b pues tengo que sumar este vector con este vector la primera entrada es a uno más a dos más b1 y b2 y la segunda entrada sería tres veces a uno más tres veces b 1 ahora esto es igual a esto pues resulta que sí si aquí como estos son números reales los puedo conmutar los puede intercambiar y escribir esta suma como a uno más de uno más a dos más b2 y aquí abajo puedo factorizar el 33 por uno más de uno y esto es igual a esto así que la suma la transformación aplicada a la suma es lo mismo que la suma de las transformaciones muy bien y que hay de esta condición la condición que me dice que aplicarle la transformación a una escala por el vector es lo mismo que multiplicar el escalar después de aplicar la transformación pues vamos a checar esa condición vamos a checar esa condición así que nuestro vector a de nuevo va a ser el vector a1 a2 y entonces cuánto vale sep ahora pues se x a él simplemente c por el vector a1 a2 y por la definición del producto por un escalar esto simplemente es ser por a1 separados muy bien entonces cuánto vale la transformación aplicada al vector sep ahora pues eso es aplicarle la transformación a este vector y eso la regla de correspondencia me dice suma las dos entradas así que será uno más separados y hasta tres veces la primera tres veces por año muy bien ok y ahora cuánto vale esto pues puedo factorizar la c sepor a uno más a dos y abajo simplemente escribirlo como c por tres veces aún no recuerden que ese es un número real así que conmuta con el 3 bien y ahora esto es lo mismo que c x a uno más a dos tres veces a uno pero quién es esto pues este cacho de aquí este vector es la transformación aplicada así que esto es en realidad se porte de a esto ya lo hemos calculado acá arriba acá lo tenemos donde está aquí está muy bien así que la segunda condición la segunda condición también se cumple de modo que esto es una transformación lineal es transformación lineal muy bien y quizás estén pensando que entonces todas las transformaciones son lineales pues vamos a ver un ejemplo de una transformación que no es lineal bien entonces para entrar encontrar una transformación una transformación que no sea lineal vamos a considerar t de r2 en r2 definida como del vector x 1 x 2 sencillamente va a ser tomar la primera entrada y elevarlo al cuadrado y la segunda entrada siempre va a ser cero vamos a considerar esta transformación y vamos a ver que no es lineal si nos tomamos un vector genérico en r2 que como sería pues de nuevo sería la forma a 1 a 2 cualquier vector se puede expresar en esta forma así que es un vector genérico representante de la forma más general posible ok entonces en este caso para esta transformación de cuánto vale de d de la transformación del vector a puede simplemente tomamos la primera entrada y le elevamos al cuadrado así que a 1 al cuadrado y la segunda entrada es 0 ok eso estuvo fácil ahora bien cuánto vale una escalarse por nuestro vector pues ya vimos esto arriba esto es separa 1 x 2 y entonces cuánto vale cuánto vale la transformación de por el vector toma mi primera entrada y la elevó al cuadrado por 1 al cuadrado sepor a 1 al cuadrado es que al cuadrado por a 1 al cuadrado al cuadrado por a 1 al cuadrado como esto es un escalar acuérdense es un número real y aún no también la segunda entrada simplemente es cero y esto cuanto después puedo factorizar laxe cuadrada y obtengo a 1 al cuadrado recuerden que sea el cuadrado por cero es cero así que no pasa nada pero este caso aquí este cacho de aquí este vector quién es pues acabamos de ver que es la transformación aplicada al vector así que esto es lo mismo se al cuadrado porte de el vector bien entonces tenemos un problema puesto que la transformación aplicada hace por el vector es igual hace al cuadrado por la transformación del vector a entonces como tengo este cuadrado tengo este cuadrado de aquí no puede ser una transformación lineal pues si fuera una transformación lineal debería ser sólo c no sé al cuadrado así que la segunda condición la segunda condición no se cumple y entonces entonces puedo afirmar puedo afirmar que esto de aquí no transformación transformación lineal y bueno esto es esto es algo interesante porque entonces podemos darnos cuenta que generalmente las transformaciones lineales son aquellas cuyas entradas que mandan a vectores cuyas entradas son combinaciones lineales de las entradas de el vector original y en general en general cuando empiezan a aparecer cosas como el producto de las entradas otros exponentes de las entradas ya no se trata de transformaciones lineales esto no es una regla 100% certera pero da una buena noción de cuando alves una transformación lineal y de hecho esto va a ser bastante útil en el próximo vídeo nos vemos entonces