Transformaciones lineales como producto de matrices y vectores

supongamos que tienes una matriz de n por n elementos que se mira algo así tienes en la primera columna el primer elemento de la primera columna es 1 y el resto de los elementos en la columna son ceros entonces tienes 10 y 000 hasta llegar al enésimo término que también es 0 ahora en la en la segunda columna tienes 0 en la primera entrada después 1 y el resto de los elementos hasta llegar al enésimo término son ceros ahora la tercera columna tiene cero en la primera entrada aquí 0 en la segunda entrada cero después uno y el resto ceros como puedes ver esta esta matriz consiste en unos en la diagonal principal ajá si llegas a la enésima columna tendrás ceros desde la primera entrada hasta la n menos una entrada y en la enésima entrada tendrás el 1 así que esta matriz tiene unos en la diagonal principal y eso eso hace que esta matriz tenga propiedades bastante interesantes las cuales ya veremos en el futuro pero tiene una en especial relacionada con transformaciones lineales y también tiene nombre tiene nombre tiene el nombre de esta matriz es la matriz identidad que se denota de esta manera y sub n porque es una matriz de n por n y sub dos por ejemplo se mirarían así con 12 en la diagonal principal y los otros elementos ceros y sub 3 sería sería 1 0 0 0 1 0 0 0 1 y creo que ya tienes la idea de lo que hablo ahora bien lo curioso de esta matriz identidad la matriz identidad es que cuando la multiplicamos por cualquier vector es decir podemos multiplicar esta matriz por un vector por un elemento de rn así que hagámoslo hagamos lo que tenemos el vector con componentes x 1 x 2 hasta x l qué va a pasar cuando lo multiplicamos por esta matriz entonces tenemos que este es el vector xy estamos multiplicando a la matriz identidad y sub n multiplicada por el vector x donde el vector x pertenece a rn tiene n componentes que voy a obtener voy a obtener 1 x x 10 x x 20 x hasta x en es cierto entonces lo que estamos haciendo es producto punto de la primera fila con el vector xy quedará de esta forma lo haré como sigue a ok entonces vas a obtener otro vector en rn donde el primer elemento es esta fila producto punto el vector x entonces solamente va a quedar x 1 ajá luego para la segunda entrada será será lo que obtengamos del producto punto de la segunda fila con el vector x entonces 0 por x 1 + 1 por x 2 + hasta 0 x x n entonces ahí simplemente va a quedar x 2 y si seguimos haciendo esto obtendremos x 3 x 4 hasta llegar a x n ahora bien si tú observas a este nuevo vector a que es igual lo impresionante de la matriz identidad es que cuando la multiplicas por cualquier vector te da el mismo vector entonces la matriz identidad multiplicada por cualquier vector en rn de hecho eso sí se define para vectores en el relleno solamente es igual a ese vector ahora otra otra cosa importante otra cosa importante las columnas de la matriz identidad estas columnas ajá la primera columna la segunda columna todas las columnas de la matriz identidad y este conjunto tiene nombre si llamamos a la primera columna 1 a la segunda columna la llamamos sub 2 a la tercera columna la llamamos sub 3 entonces el sub 12 sub 3 hasta llegar a eso en este conjunto tiene nombre el conjunto de 12 hasta llegar a n este conjunto se le llama se le llama la base estándar para rn esta es la base estándar para rn ahora tenemos la palabra base ahí así que dos cosas deben cumplirse 1 que estas columnas deben ser linealmente independientes y deben generar a rn la independencia lineal tenemos aquí este 1 por ejemplo y vale para cada uno de los unos en la en todas las entradas no pueden ser construidos a partir de él de los otros elementos como combinación lineal así que es linealmente independiente y ahora para ver qué genera es decir que puedes construir cualquier vector como una combinación lineal de estos simplemente debe debes ver que cualquier vector que quieras construir por ejemplo digamos lo voy a poner de esta manera entonces si quieres construir este vector el x no de hecho no porque eso ya lo hicimos entonces voy a poner este otro tenemos el vector a1 a2 a3 hasta a en es un elemento de rn que quieres construir entonces lo que haces es ver que la combinación lineal que te dará al vector a1 a2 hasta en es literalmente a uno por uno más a dos por dos más hasta n por n ajá lo que lo que estamos haciendo es es multiplicar este escalar por la primera columna y el segundo escalar por la segunda columna lo que te va a quedar es a uno y después puro ceros más 0 a 2 y después puro ceros más hasta puro 00 hasta n menos 1 elementos y después a n los sumas y obtienes al vector original este vector y es un poco obvio no crees porque observa que esto es lo mismo que multiplicar a nuestra matriz identidad y suben por el vector n ahora vamos a aplicar lo que ya sabemos sobre transformaciones lineales y lo que acabamos de aprender sobre la matriz identidad yo dije que puedo representar a cualquier vector de esta manera entonces lo voy a escribir en términos de x yo puedo escribir a cualquiera cualquier factor x como una combinación lineal de los elementos de la base estándar entonces x es igual x 1 x 1 x 1 + x2 x 2 más hasta x cnn solo solo recuerda que cada uno de estos vectores columnas por ejemplo en uno tiene 1 en la primera entrada y el resto son ceros y 2 tiene 1 en la segunda entrada y el resto de los elementos son 0 cn tendría 1 en la enésima entrada y el resto ceros ok ahora bueno ya con eso continuemos sabemos por definición que una transformación lineal de digamos el vector x lo voy a poner de esta manera entonces una transformación lineal de nuestro sector de nuestro vector x entonces transformación lineal de x esto es lo mismo que la transformación lineal de todo esto entonces que era transformación lineal de x 1 1 + x 12 2 de hecho lo voy a escribir de la otra forma porque esta no es la anotación que que se usa usualmente entonces así que escribo la transformación lineal del vector x es igual a la transformación lineal de todo esto sería x 11 + x 22 más hasta x n en esto son equivalentes ahora por definición de transformación lineal sabemos que la transformación de la suma es la suma de las transformaciones bonito bonito juego de palabras me encanta ahora esto entonces esto lo mismo que la transformación de x 11 más la transformación de x 2 2 + de hecho también cabe mencionar que esto esto es para cualquier transformación lineal lo voy a escribir aquí cualquier transformación y aquí seguimos debe satisfacer estas propiedades por ser transformación lineal entonces tenemos la suma hasta la transformación de x n n y también sabemos por las propiedades de transformación lineal que la transformación lineal de un vector que multiplica que multiplicado por un escalar es igual al escalar que multiplica la transformación lineal del vector entonces por la definición esto es igual a x1 que multiplica a tras la transformación lineal de 1 + x2 que multiplica la transformación lineal de 2 más hasta llegar a x en el aquí x n que multiplica la transformación lineal de n y que es esto esto lo puedo escribir de la siguiente manera la transformación lineal del vector x es igual ya sabemos que sabemos que una transformación lineal deben cumplirse dos cosas en una transformación lineal una que la transformación de la suma es la suma de las transforma y que saca escalares entonces si vemos a esto como vector columna esto es igual esto es igual a la matriz donde la primera columna es la transformación de e1 la segunda columna será la transformación de 2 y así hasta llegar a la transformación a la enésima columna que será la transformación de n esto multiplicado por el vector el vector x 1 x 2 hasta x n y ya hemos hecho esto antes iniciamos recuerda iniciamos con una transformación lineal arbitraria y acabo de mostrar que una transformación lineal arbitraria de x puede ser escrita como el producto de una matriz donde yo tomo la misma transformación lineal de cada uno de nuestros elementos en la base estándar y la multiplicó por el vector x esencialmente lo que estoy haciendo estoy estoy probando que todas las transformaciones lineales pueden ser el producto de una matriz con un vector entonces lo escribo todas las transformaciones todas las transformaciones reales pueden ser el producto el producto de una matriz con un vector y de hecho esto es algo es algo bastante común y está sencillo y verás es una operación bastante sencilla te voy a dar un ejemplo de hecho para mí a mí se me hace algo elegante sencillo y te va a gustar así que voy a intentar me alguna transformación lineal digamos que tengo una transformación que va de r2 r3 y vamos a vamos a definirla de la siguiente manera entonces las transformaciones tal que para un vector x 1 x 2 es igual a x 1 + 3 x 2 en la segunda entrada 5 x 2 menos x 1 y en la tercera entrada 4 x 1 + x 2 así vamos a definir esta transformación y también puede describirse a la siguiente manera de cualquier vector en r2 es igual la matriz así x 1 + 3 x 2 5 x 2 - x 1 y 4 x 1 + x 2 son dos formas distintas de escribir lo mismo me gusta más la segunda ahora entonces bueno te acabo de decir que que puedo representar a esta transformación como el producto de de una matriz con un vector entonces cómo hago eso lo que hago es tomar es tomar la transformación de él de esto observa observa aquí aquí tenemos que el dominio es r 2 y bajo la transformación llegamos al vector a un vector en r3 lo que haremos es iniciar con la matriz identidad y sub 2 en este caso baja porque ese es nuestro dominio entonces y sub dos es igual a 1 0 y 0 1 inició con esto y aplicó la transformación lineal a cada columna a la base estándar porque observa que esos son los elementos de la base estándar de r2 cierto 1 0 y 0 1 entonces ahí tenemos a los elementos base estándar para r2 pero por qué se le llama base estándar sucede que cuando cuando tú tomas el producto punto con cualquiera de ellos cualquier elemento entre ellos siempre son ortogonales ajá el producto punto entre ellos es siempre 0 y también tienen longitud 1 esa es una razón por la cual se le llama base estándar pero en fin a vamos a regresar aquí ya no sólo a nuestro intento por representar a esta transformación como el producto como una matriz vector columna entonces decimos qué bueno vemos que nuestro nuestro dominio sr2 iniciamos entonces con y sub 2 nuestra matriz identidad de 2 por 2 y aplicamos la transformación a cada a cada vector columna baja los cuales pertenecen a la base estándar son los elementos de la base estándar para r 2 entonces lo que haré es escribirlo así la primera columna será la transformación de 10 y la segunda columna será la transformación de 0 1 entonces aquí 01 ahora bien que es la transformación a que es igual a transformación de 10 simplemente observa cómo se define la transformación lineal como la definimos entonces la transformación de 10 es igual a 1 + 3 por 0 eso es igual a 1 aquí va uno en la segunda entrada será 5 por 0 menos uno es igual a menos uno y la tercera entrada 4 por 10 es igual a 4 entonces 4 aquí eso es la transformación para 10 ahora vamos que es la transformación de 0 1 la transformación de del vector 0 1 esto es igual a cero más 3 x 1 es igual a 3 en la primera entrada en la segunda entrada tenemos 0 menos 1 es igual a menos 1 menos uno porque no espera aquí estoy mal porque estoy mal estoy mal me estoy equivocando tenemos aquí 5 x x 2 pero x2 es igual a 1 no es igual a 0 entonces borro esto voy a borrar esto y tenemos entonces 5 x x 2 donde quizás es igual a 1 tenemos 5 x 1 - 0 es igual a 5 y 4 x 0 +1 es igual a 1 entonces lo que acabo de mostrarte es que si yo aplico la transformación lineal a cada uno de los vectores en la base estándar que obtengo que obtengo obtengo este nuevo vector veamos si yo tomo al primer el primer vector 10 y le aplicó la transformación lineal obtengo uno menos 1 y 4 y para el segundo vector 01 obtengo 3 5 y 1 y lo que acabo de hacer bueno de hecho es algo que me parece me parece algo bastante fascinante podemos ahora reescribir esta transformación como el producto de cualquier vector sí sí ok si esto si esto es a si esto es a no de hecho mejor lo voy a hacer de esa otra forma entonces podemos escribir nuestra transformación de x1 x2 puede ser escrito como el producto de esta matriz la matriz la pongo aquí esta matriz 13 menos 15 y 41 esta matriz multiplicada por el vector x 1 x 2 x 1 x 2 y eso es realmente fascinante porque porque ahora sólo debemos hacer esta multiplicación de matrices no lo sé me parece algo bastante elegante porque lo que está pasando es que es que estamos aplicando la transformación a las columnas de la matriz de 2 por 2 y obtenemos una matriz de 3 por 2 esta matriz es de 3 por 2 que sabemos cuando de la multiplicación de una matriz de 3 por 2 por un vector de r2 también este vector puedes verlo como una matriz de 2 por 1 tenemos te dará como resultado un vector en r3 entonces la primera fila por el vector te dará el primer término la segunda fila por el vector te dará el segundo término y la tercera fila por el vector te dará el tercer término entonces al construir está esta matriz de tres por dos al construirla también hemos construido un mapeo de r2 r3 y lo que me parece bueno no se me parece bastante elegante e interesante y espero también a ti te haya servido nos vemos