Producto de matrices y vectores como transformaciones lineales

creo que ustedes ya tienen bastante familiaridad con los productos de matrices por vectores en este vídeo lo que quiero hacer es enseñarles cómo estos productos nos permiten definir transformaciones lineales de vectores así que bien vamos a considerar vamos a empezar considerando una matriz que va a ser la matriz cuyas columnas son de unos vectores columnas son b1 b2 así hasta bn tiene n columnas y también vamos a suponer que tiene m filas cada uno de estos vectores tiene entradas así que va a ser una matriz que va a tener m renglones y n columnas así que es una matriz de m por el ahora voy a definir una transformación t que va a ir de r m rm y la forma en la que la voy a definir es la transformación t aplicada al vector x al vector x en el dominio en rn es lo mismo que tomar la matriz qué es esta matriz que definimos acá arriba y multiplicarlo por el vector x en rn y quizás esto se vea un poco raro quizás no sea el modo usual en el que definimos las transformaciones pero vamos a ver que esto resulta en una transformación lineal así que antes que nada vamos a estudiar un poco este producto si toma la matriz y la multiplicó por un vector x y el vector x pertenece a rn el dominio entonces es lo mismo que tomar esta matriz y multiplicarla por algún vector x 1 x 2 así hasta x n bien y cuánto me da este producto pues me da x1 por b 1 me da x 1 por b 1 x 1 es un escalar y de 1 es un vector más x2 x b 2 y dos por b 2 y así hasta hasta xm por the end ahora bien cada cada uno debe uno de 2 cada columna cada vector columna hasta de n en dónde está pues estas matrices de mejor en las y que tiene m m entradas cada uno de estos vectores así que todos estos pertenecen a r m y entonces esto es una combinación lineal de elementos de rm por lo tanto por lo tanto esto está en r m ok así que efectivamente efectivamente estamos estableciendo una asociación entre rn que es nuestro dominio rm que es nuestro contra dominio en el dominio y lo que hace es al vector x el vector x en rn lo asociamos lo asociamos bajo la transformación t con el vector igual a la matriz a por el vector x que ya vimos que está en r m así que esto en realidad se conforma con nuestra definición de función y por lo tanto con nuestra definición de transformación va de un rn a rm y en realidad nm son generales pueden ser no sé 3 o 4 o 25 y 37 no me importan lo no quiero escribir en los términos más generales posibles y quizás quizás estén un poco o quizás estén pocos satisfechos porque generalmente cuando hablo de transformaciones de rn rm lo que hago es escribirlas como dt x 1 x 2 y así hasta x n lo envió a el vector algo como algo como así hasta que tenga las entradas vamos a ver que este es el caso que realmente esto toma esta forma lo voy a hacer con un ejemplo concreto muy bien vamos a considerar una matriz muy sencilla vamos a considerar la matriz de 2 x 2 b que va a ser la matriz 2 - 1 es una matriz extremadamente sencilla y voy a definir la transformación r 2 o r2 d2 en r2 mediante la transformación aplicada al vector x va a ser el resultado de multiplicar la matriz b por el vector x ahora cuánto vale eso tienes eso aquí tengo la matriz b que solo lo voy a copiar acá abajo es 2 - 1 3 4 y la voy a multiplicar por el vector x ahora el vector x está en r2 así que lo puede escribir como x 1 x 2 ok así que hay que calcular ese producto de matrices cuánto vale sería el primer renglón por el vector 2 por x 1 2 veces x 1 + menos 1 por x 2 - x 2 ahora la segunda entrada sería el segundo renglón por este vector 3 veces x 1 3 veces x 1 + 4 veces x 2 así que ese vector de ahí es la imagen del vector x1 x2 lo puede escribir de otro modo lo puede escribir de otro modo lo puede escribir como la transformación de x 1 x 2 es igual a 2 veces x 1 menos x2 coma 3 veces x 1 + 4 veces x 2 que es como estamos acostumbrados a ver las transformaciones así que en realidad en realidad esto de aquí no es un [ __ ] raro no es algo exótico es simplemente un modo distinto más compacto de escribir las transformaciones habituales y la pregunta natural ahora es siempre siempre que haga una transformación que la defina como el producto de una matriz por un vector me da una transformación lineal vamos a checar eso ahora bien pues les recuerdo les recuerdo que para que una transformación sea una transformación lineal tiene que satisfacer dos cosas para empezar la transformación de la suma de dos vectores la transformación aplicada al vector a más el vector b tiene que ser igual a la suma de las transformaciones a la transformación aplicar vector a a la transformación aplicada al vector de y la segunda condición es que si le aplicó la transformación a un factor escalar se por un vector entonces esto es lo mismo que multiplicar al escalar se después de aplicarle la transformación al vector bien estas son las dos cosas que tengo que checar vamos a hacerlo ahora bien entonces si yo tengo una matriz y la multiplicó por un vector x vamos a suponer que esto es una matriz de m por n entonces como se ve ese producto pues la matriz la matriz se puede representar mediante sus vectores columnas entre sus columnas que son vectores de uno de dos hasta m y el vector x el vector x para que este producto tenga sentido tiene que tener n componentes tiene que ser un miembro de rn así que x1 x 2 hasta x n cuanto me da este producto pues por definición por definición esto da x1 por el vector de 1 + x2 por el vector de 2 así hasta x n por el vector de n y como ya dije al principio del vídeo esto es un vector en r m sale entonces para probar esta primera propiedad lo que tengo que probar es que si tengo que la matriz a la multiplicó por el vector a + director de eso debe ser lo mismo que tomar la matriz a multiplicar la por el vector a y sumarle la matriz a multiplicada por el vector b le voy a poner un punto aquí para que no crean que esto es una función que se está aplicando a esta suma de vectores es un producto de matriz por suma de vectores ok y esto cuánto vale esto cuánto vale pues la matriz a habíamos escrito como la matriz con columnas b1 b2 así hasta b y el vector a más b va a tener entradas a 1 v 1 a 2 2 b 2 así hasta en más de simplemente se suman entrada a entrada ok ahora cuánto vale esto cuánto me da este producto pues por definición esto me da a 1 v1 por el vector de uno más a dos los dedos por el vector de dos y así continuó hasta vn por el vector n esto simplemente es sustituir a x1 por a 1 v1 a x2 x a 2 por más de 2 etc etc ok ahora bien yo sé que el producto de escalar es por vectores tiene la propiedad distributiva ese es uno de los axiomas de espacio vectorial así que esto es lo mismo que a uno por b uno más por de uno a 2 por de dos más de dos por dedos y así así hasta por bm más bm por n ok y ahora ahora lo que voy a hacer es agrupar todos los términos que tengan que ver con nada juntarlos y escribirlos al principio así que esto se convierte en uno por b uno más a dos por b 2 y hasta a m por the end todo esto y ahora hago lo mismo hago lo mismo pero con los términos que corresponden con este con este y con éste y lo asumo no tendría b 1 por b 1 de 2 x de 2 así hasta ahí no va a caber bn por de en duras penas ok y esto esto cuanto vale pues esto es sencillamente la matriz por el vector a1 a2 hasta de m qué es el vector más la matriz am por el vector de uno de dos hasta de m qué es el vector de así que esto es lo mismo que a por el vector a más a por el vector de y por lo tanto la primera propiedad se vale afortunadamente la siguiente propiedad es mucho más sencilla si tengo la matriz y la multiplicó por el escalar sé por el vector esto es lo mismo lo mismo que tomar la matriz cuyas columnas son b 1 2 así hasta n y multiplicar la por el vector sepor a uno separados y así hasta por a y eso cuánto es pues de nuevo por la definición del producto de matrices con vectores esto es sepor a uno por el vector de uno más separados por el vector de dos y así si hasta se por n por el vector de n pero pero de nuevo el producto de escalar es con vectores tienen la propiedad distributiva así que puedo escribir esto factorizar la cee y escribirlo como a uno por b uno más dos por de dos o más bien perdón c por a uno por fue uno más a dos por de dos más todos hasta a por d pero esto de aquí esto de aquí yo sé que es a la matriz a por el vector a así que esto 3 me das cuentas esto es lo mismo que sé por la matriz o por el vector y de este modo de este modo acabamos de probar la segunda propiedad muy bien y como se valen estas dos propiedades entonces estamos listos para el gran resultado este vídeo que es qué el producto producto de matrices con vectores vectores siempre siempre transformación lineal este es el resultado que estamos esperando lo que nos dice que realmente las transformaciones que definimos al definir una transformación como el producto de una matriz por un vector realmente nos da una transformación bueno y sólo para hablar un poco acerca de las aplicaciones imagínense que ustedes tienen su playstation a su xbox o lo que quieran y entonces lo que tienen son juegos que tienen gráficos en tercera dimensión de modo que si ustedes están parados aquí y digamos vuelven hacia acá o se mueven hacia acá entonces este cubo quizás no se vea o más bien así o dibujando lo siento pero el punto es que cambia la perspectiva y entonces todos estos juegos todos este tipo de cambios se dan como transformaciones lineales que veremos que realmente sólo son productos de matrices así que realmente realmente cuando tienes este tipo de cosas tienes procesadores de gráficos procesadores gráficos cuyo único trabajo es multiplicar matrices estas cosas son son calculadoras cuya única función es multiplicar matrices porque si tienes un chip normal un procesador normal pues entonces tendrías que programar la la multiplicación de matrices estas cosas lo hacen automáticamente y es lo que permite que tengamos todos estos juegos bonitos y divertidos en el playstation en el xbox o en lo que quieran pero bueno esta es una aplicación interesante de esto de los productos de matrices y de las transformaciones lineales hasta luego