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Sumas y múltiplos escalares de transformaciones lineales

Transcripción del video

supongamos que tengo dos transformaciones lineales la primera se llama ese iba de r n r m y la segunda transformación se llama t y también va de rn r m perfecto ahora lo que voy a hacer es definir dos nuevas transformaciones a partir de ese y de t así que esto es una definición definición y es la transformación s más te noten que todo eso es una sola transformación ese máster y ese máster aplicada a un vector x simplemente es lo mismo que aplicar la s al vector x y al resultado sumarlo con t aplicada al vector x esto es lo que hace la transformación ahora bien noten que s manda un vector en rn a un vector nrm así que esto está en rm y te hace lo mismo así que esto también está en r m como x estaba en rn entonces puedo decir que ese máster es una transformación que va de rm r m perfecto también voy a definir la transformación de nuevo esto es una definición donde se es un escalar por la transformación s y está aplicada a un vector x lo que va a hacer es simplemente tomar el escalar ce y multiplicarlo por s de x de nuevo ese de x está en rm así que hace por s de x es un miembro de rm así que también sé por s la transformación se por s va de rm r m perfecto bien pues como existe son transformaciones lineales las puedo representar mediante matrices es decir s x s aplicada al vector x va a ser lo mismo que alguna matriz a por el vector x cómo se va de rn a rm entonces la matriz a tiene que ser de dimensiones m por n y esto lo puede hacer para cualquier transformación lineal eso es un hecho que ya hemos mencionado antes y hago lo mismo para ti así que puedo decir que te de equis o aplicada al vector x va a ser lo mismo que la matriz b que de nuevo como la transformación va de rm a rm va a tener dimensiones m por n y la voy a multiplicar por el vector x muy bien ahora si conozco a ive que representan a ese yate respectivamente que puede decir acerca de las matrices que representan a ese master y hace por ese pues vamos a empezar con ese máster la transformación ese máster aplicada a un vector x quien es pues sencillamente es ese aplicado a x que me da un vector en rm más de aplicado a x que me da otro vector nrm y lo sumo perfecto pues esto por esta parte de aquí es lo mismo que si digo sbx pues es lo mismo que la matriz a por el vector x y tdx es lo mismo que la matriz b por el vector x así que puedes decir algo acerca de la matriz que representa a ese master bien pues antes que nada vamos a decir que la matriz a voy a escribir como siempre escribo las matrices deberían estar un poco acostumbrados a esto es la matriz que tiene por vectores columna a1 a2 y tiene n columnas así que así se sigue hasta a n ahora bien la matriz a sm por en entradas así que cada uno de estos vectores a 1 a 2 y hasta n tienen m entradas son miembros de rm la matriz de la matriz b la voy a escribir como v 1 v 2 hasta hasta bn muy bien y de nuevo también la matriz be tiene columnas que tienen m entradas así que estos también son vectores en rm perfecto ahora el vector x vector x en donde está pues pertenece al dominio pertenece a rn entonces el vector x lo puede escribir como x 1 x 2 hasta x n es una lista de n escalares ahora bien consideremos el producto de la matriz a por el vector x en el producto de la matriz a por el vector x ya lo he dicho mil veces sería x1 por el vector a 1 + x2 por el vector a 2 más x 3 por el vector a 3 así hasta x n por el vector n así que vamos a anotar primero todo eso vamos a fijarnos en este término en el vector en la matriz a por el vector x eso me daría como decía x 1 que es un escalar por a 1 que es un vector en r m + x2 que de nuevo es una escalar por el vector a 2 que de nuevo está en r m y así voy a continuar hasta que llegue a xl de nuevo es un escalar por el vector m bien este es el primer término vamos a ponerlo entre paréntesis a eso le tengo que sumar los términos que corresponden a la matriz b por el vector x pero esos términos quienes son pues son x1 por b 1 x 1 por b 1 + x2 x b 2 que de nuevo de 1 y b2 son vectores nrm x1x dado son escalares y así me sigo hasta x n por el vector de n bien ahora como yo sé que los vectores por escalares tienen la propiedad distributiva el producto de escalares por vectores tiene la propia distributiva puedo reacomodar esto y escribirlo como x1 por el vector a uno más el vector b uno lo único que estoy haciendo es sumando este término con este término y factor izando x1 + x2 ahora asumo este con esto y factor hizo x 2 x 2 por el vector a 2 más el vector b 2 y así me sigo así me sigo hasta que llegó al término xm por el vector a m más el vector d y esto esto lo puedo pensar del siguiente modo podría pensar en una nueva matriz de una nueva matriz cuyas columnas van a ser precisamente estos vectores a uno más b uno a dos más b 2 así hasta n más bm es decir la primera columna es a uno el vector a uno más el vector b uno porque me pongo una línea aquí para que distingamos la segunda columna es a dos dedos y así y así hasta que llegó a la columna m más de m y toda esa matriz toda esa matriz la voy a multiplicar por 100 pues por el vector x x 1 x 2 hasta x n y esta expresión es equivalente a este producto de matrices que me pongo una línea aquí no vayan a confundirse pero entonces está muy padre porque a partir de la definición que di para la suma de transformaciones a partir de la definición que me dice ese máster aplicado x es ese de x + tx concluyó que está mal esta transformación debe ser representada por una matriz que se obtiene al sumar las columnas los vectores columnas correspondientes de las matrices que representan a ese y que representan a t muy bien y entonces quizás ustedes estén preguntando por qué me tomé la molestia de hacer todo esto pues resulta que a partir de esta matriz puedo hacer la siguiente definición que hará que todo sea bonito por así decirlo así que voy a definir nuevo esto es una definición a la suma de las matrices a ive como la matriz la matriz que es esto precisamente simplemente es la matriz que obtengo si sumo sus vectores columnas la primera columna sería uno más b uno y así como a caa2 más b 2 así hasta m más y esto esto es algo agradable porque entonces a partir de a partir de la definición que di para la suma de transformaciones cuando dije que ese máster aplicado a x era lo mismo que ese de x + tx nosotros vimos que esto era lo mismo que la matriz a por el vector x más la matriz b por el vector x y a partir de desarrollar todas estas definiciones y simplemente a partir de la distribución de los productos escalares con vectores entonces entonces concluí que esto era lo mismo que a más ve a la matriz a más ve por el vector x donde la matriz a más b está definida de este modo así que es algo bonito porque nos dice que la suma de transformaciones es representada por la suma de las matrices correspondientes bien ahora qué pasa con el producto de una escalarse por una transformación s con la transformación c por s bien pues la transformación se parece transformación sé por ese la definía así una escala hace por la transformación s aplicado al vector x tiene y va a ser pues si va a ser sencillamente c c por s de x y esto c por s x vamos a ponerlo entre paréntesis yo sé que esto de aquí lo que está dentro del paréntesis sbx es lo mismo que la matriz a por el vector x así que esto es lo mismo que el escalar se por por equis ahora bien quién es esto quienes estoy aquí pues esto de aquí es que no lo escribo un poquito aquí abajo esto va a hacerse por a por equis pero a por equis a lo calculamos arriba y es x 1 por el vector a 1 más x 2 por el vector a 2 y así así continuó hasta x n por el vector a n perfecto ahora sí yo aquí si yo aquí distribuyó la cee a lo largo de toda esta suma porque recuerden la se multiplica toda esta suma y la intercambio con x1 porque las dos son escalares y con x2 porque los dos son escalares puede escribir todo esto como x1 por c por a uno más x2 x c por a 2 recuerden a 1 2 a 2 y así hasta a n son vectores así que más x cn por c por el vector a n ahora bien esto aquí es una nueva matriz es una nueva matriz que matriz es bueno más bien es el esto de aquí es el producto de una nueva matriz con el vector x esto es lo mismo que se considera la matriz que tiene por columnas a c por a uno separados y así hasta port ainé es decir la matriz c por a uno luego otra columna separados otra columna separa tres y así hasta hasta c por a n y todo esto todo esto multiplicado por el vector x que es el vector el vector x 1 x 2 hasta hasta x n perfecto y de nuevo que matrices está pues esta matriz representa a la transformación se por ese así que sería bueno que fuera una matriz con un nombre definido y lo que voy a hacer es definir la voy a definir de nuevo esta es una definición la matriz sep ahora donde se es un escalar como sencillamente el resultado de multiplicar todas las columnas de a por el escalar c así que es la matriz de x a 1 separados hasta sepor a n y en efecto esto significa multiplicar todas las entradas de la matriz a por c y de nuevo esto es algo bonito porque ahora resulta que la matriz que representa a la transformación se por s es sencillamente la matriz se x a donde a representa a la transformación s bueno quizás están preguntando oye yo ya en mi clase de álgebra ya había aprendido cómo multiplicar matrices por escalar es como sumar matrices de la misma dimensión como acá arriba entonces para que para que te tomaste toda la molestia de definir la suma de transformaciones o el escalar por una transformación para que lo hiciste pues la idea es que las matrices se suman de un modo y se multiplican por escalares de un modo precisamente porque todo eso da propiedades bonitas y todas esas propiedades se conectan con el mundo de las transformaciones así que si ustedes empiezan desde las transformaciones lineales pueden recuperar todas estas propiedades bonitas que tienen la suma de matrices y la multiplicación de matrices por escalares en el próximo vídeo voy a hacer ejemplos donde multiplique matrices por escalares y sume las matrices para repasar un poco