If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:12:34

Transcripción del video

supongamos que tengo una matriz a que es una matriz de n porque tiene n renglones y k columnas así que a se ve así vamos a decir que sus columnas son a1 a2 hasta hasta que esas son las columnas de a muy bien vamos a suponer además que estos las columnas de a son vectores linealmente independientes a 1 a 2 hasta hasta acá son vectores linealmente independientes recuerden l y significa linealmente independientes y qué significa eso pues significa que si yo escribo una combinación lineal x 1 a 1 + x2 x a 2 más si hasta xk por acá donde cada equis y es un escalar y digo que esto tiene que ser igual al vector cero el único modo de que esto pase es si sólo si cada xy es igual a cero al escalar cero otro modo de decir lo mismo es decir que el producto de la matriz a por el vector cuyas entradas son x1 y x2 hasta xk este producto es igual a cero si y sólo si si y sólo si o más bien que la única solución a esto la única solución única solución solución que el vector x que es este vector de aquí sea igual al vector 0 bien y de otro modo aún decir esto o para ir resumiendo todo esto es que las columnas y las columnas las columnas son linealmente independientes esto me implica que el espacio nulo o la nulidad de esta matriz es igual al conjunto que sólo contiene al vector 0 esto esto de aquí es exactamente lo mismo que decir que la única solución a esta ecuación de aquí es el vector 0 ahora bien a es una matriz de n por acá y no sé bien cuáles sean sus dimensiones así que en particular no sé si a es una matriz cuadrada por lo tanto no puedo decir nada acerca de si a es invertirle pero a partir de a puedo construir una matriz que veremos que si es invertible vamos a considerar la matriz a transpuesta por a y como a es una matriz de n por acá entonces a traspuesta es una matriz de k por n de modo que el producto de estas dos matrices tendría dimensiones k porque así que es una matriz cuadrada esta de aquí es una matriz cuadrada a transpuesta x a y entonces yo sé yo sé que si tengo una matriz cuadrada matriz cuadrada cuadrada que además tiene con columnas linealmente independientes columnas linealmente independientes entonces entonces qué sucede pues si yo la llevo a su forma escalonada reducida por renglones la forma escalonada reducida por renglones de a va a tener no tiene cada columnas pivote cada columnas pivote así que esto esto sucede la forma escalona reducida de a tiene columnas pivote y por lo tanto esta debe ser la matriz identidad de acá por acá y esto esto ya me dice esto de aquí ya me dice que por lo tanto es invertible así que lo que me estoy preguntando es si esta matriz de aquí es invertible que en realidad esto es una pregunta es invertible la matriz a transpuesta por up y bueno aquí quizás no debí de haber usado así no otra letra porque lo voy a checar para transpuesta por a ok así que lo que voy a checar es que las columnas de transpuesta por a que es una matriz cuadrada son linealmente independientes y entonces todo esto me dirá que la matriz a transpuesta x a es invertible así que como le voy a hacer pues voy a empezar considerando un vector b que va a pertenecer al espacio nulo de a transpuesta por a entonces esto qué quiere decir pues quiere decir que a traspuesta por a por el vector b es igual al vector 0 esa es la definición de que un vector esté en el espacio nulo de una matriz pero ahora bien yo puedo multiplicar toda esta ecuación de ambos lados por el vector b transpuesta a la derecha perdón por la izquierda así que sería de transpuesta x a transpuesta por a por el vector b es igual a de transpuesta por el vector 0 ahora bien yo sé yo sé que cuando tengo el producto de dos matrices más vamos a hacerlo directamente con el vector yo sé que detrás pues está por a transpuesta si lo considera como el producto matrices ya vimos que esto es lo mismo que por d ver todo eso transpuesto así que yo voy a sustituir esto de aquí por a por the transpuesta y escribir esto como por haber transpuesto por a por d es igual a de transpuesta por 0 recuerden esto identificando matrices perdón a está identificando vectores con matrices de acá por 1 ok entonces también nosotros sabemos de algún vídeo anterior que si tengo un vector y consideraron consideró ya transpuesta porque esto es lo mismo que el producto punto o producto interior consigo mismo ok siempre que tengo un vector y lo transponga y lo multiplicó por otro vector es lo mismo que tomar el producto punto de los dos vectores así que bueno esto me diría esta cosa de aquí me dice que me transpuesta por el vector 0 es igual a esto es lo mismo que de producto punto con el vector 0 pero ve el producto punto con el vector 0 es sencillamente cero así que por un lado tengo eso y acá que tengo esto de a por detrás a por be transpuesto por ave es igual a cero así que si vuelvo a aplicar esta identidad de aquí obtendría que a por be producto interior producto punto consigo mismo contra por b es igual a cero pero ahora fíjense quién es esto de aquí quién es esto pues esto es la norma de a por b al cuadrado y eso es igual a cero así que cuál es el único vector que tiene normas cero pues es precisamente el vector cero esto me implica que a x b es igual al vector 0 bueno pero ahora qué pasa entonces esta ecuación de aquí me diría esto de aquí me dice que ve pertenece al espacio nulo de la matriz ok pero entonces vamos a juntar todo lo que tenemos teníamos que d estaba en el espacio nulo a ver déjenme lo escribo así que estaba en el espacio nulo d transpuesta por a y a partir de eso concluimos que b tenía que estar en el espacio nulo de a así que este conjunto de aquí está contenido en está contenido en el espacio nulo de la matriz a pero éste simplemente consistía en el conjunto que sólo tiene al vector cero esa era una de las consecuencias de que las columnas de fueran linealmente independientes así que qué sucede pues entonces entonces de tiene que ser igual al vector 0 y otra forma de decir esto es la única solución por lo tanto estos tres puntitos significan por lo tanto la única solución única solución solución a la ecuación a transpuesta x a por un vector x es igual al vector 0 x igual al vector 0 pero eso que me dice pues es el mismo argumento que hicimos acá arriba solo que al revés eso me diría entonces a las columnas las columnas de a transpuesta por a son son linealmente realmente independientes independientes perfecto ahora bien que me dice eso pues qué es lo que tenía ahora tengo una matriz cuadrada a transpuesta x cuyas columnas son linealmente independientes así que entonces por estar acá la forma escalonada reducida por renglones de la matriz a transpuesta por a es sencillamente la identidad de cada porque pero eso que me dice pues me dice que me lo pongo con otro color me dice que a transpuesta por a es invertible es invertible así que tenemos este resultado bastante bonito porque partimos de una matriz cuyas columnas eran linealmente independientes pero cuyas dimensiones quizás no la no le permitían a esa matriz ser invertible porque quizás no era una matriz cuadrada y a partir de ella construimos esta matriz a traspuesta por a que ahora sí podemos decir no preguntarnos si es invertible sino afirmarlo es invertible es invertible así que que las columnas de una matriz sean igualmente independientes me permite construir la matriz a transpuesta por a que a fuerzas tendrá que ser una matriz invertible