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Contenido principal
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Transcripción del video

supongamos que tengo una matriz a que es una matriz de n por acá tiene en renglones ica columnas así que acb así vamos a decir que sus columnas son a 1 a 2 hasta hasta a ca esas son las columnas de a muy bien vamos a suponer además que estos las columnas de a son vectores linealmente independientes a1 a2 hasta hasta acá son vectores linealmente independientes recuerden el ley significa linealmente independientes y qué significa eso significa que si yo escribo una combinación lineal x uno a uno más x2 x a dos más si hasta xk por acá donde cada equis y es un escalar y digo que esto tiene que ser igual al vector 0 el único modo de que esto pase es si sólo si cada equis y es igual a cero al escalar 0 otro modo de decir lo mismo es decir que el producto de la matriz a por el vector cuyas entradas son x1 y x2 hasta xk este producto es igual a cero sí y sólo sí sí y sólo sí o más bien que la única solución a esto la única solución única solución solución es que el vector x que este vector de aquí sea igual al vector 0 bien y de otro modo aún decir esto o para allá y resumiendo todo esto es que las columnas y las columnas las columnas son linealmente independientes esto no implica que el espacio nulo o la nulidad de esta matriz es igual al conjunto que sólo contiene al vector cero esto esto de aquí es exactamente lo mismo que decir que la única solución a esta ecuación de aquí es el vector 0 ahora bien es una matriz de gm por acá y no sé bien cuáles sean sus dimensiones así que en particular no sé si a es una matriz cuadrada por lo tanto no puedo decir nada acerca de cia es invertible pero a partir de a puedo construir una matriz que veremos que sí es invertible vamos a considerar la matriz a transpuesta por a y como a es una matriz de gm por acá entonces a transpuesta es una matriz de acá por m de modo que el producto de estas dos matrices tendría dimensiones acá por acá así que es una matriz cuadrada está de aquí es una matriz cuadrada a transpuesta porá y y entonces jobs yo sé que si tengo una matriz cuadrada matriz cuadrada cuadrada que además tiene con columnas linealmente independientes columnas linealmente independientes entonces entonces qué sucede pues sí yo la llevo a su forma escalonada reducida por renglones la forma escalonada reducida por renglones de a va a tener obtiene cada columnas pivote cada columnas pivote así que esto esto sucede la forma escalonada reducida de a tiene k columnas pivote y por lo tanto ésta debe ser la matriz identidad de cap por acá y esto esto ya me dice estoy aquí ya me dice que por lo tanto a invertirle así que lo que me estoy preguntando es si esta matriz de aquí es invertible que en realidad esto es una pregunta es invertirle la matriz ha transpuesto por hora y bueno aquí quizás no debía haber usado a sino otra letra porque lo voy a checar para atrás puesta por a ok así que lo que voy a checar es que las columnas de atrás puesta por a que son una matriz cuadrada son linealmente independientes y entonces todo esto me dirá que la matriz a transpuesta por ahora es invertible así que cómo le voy a hacer pues voy a empezar considerando un vector ve que va a pertenecer al espacio nulo de a transpuesta por a entonces esto qué quiere decir pues quiere decir que a transpuesta por a por el vector b es igual al vector 0 esa es la definición de que un vector esté en el espacio nulo de una matriz pero ahora bien yo puedo multiplicar toda esta ecuación de ambos lados por el vector de transportes está por la derecha perdón por la izquierda así que sería de transportes está por atrás pues está parada por el vector b es igual a de transportes está por el vector 0 ahora bien yo sé yo sé que cuando tengo el producto de dos matrices más vamos a hacerlo directamente con el vector yo sé qué detrás puesta por atrás pues está si lo considera como el producto matrices ya vimos que esto es lo mismo que a por b b todo eso transpuesto así que yo voy a sustituir estoy aquí por a por detrás puesta y escribir esto como a por b transpuesto por a por b es igual a de transporte está por cero recuerden está identificando matrices perdón está identificando vectores con matrices de acá por uno ok entonces también nosotros sabemos de algún vídeo anterior que sí tengo un vector llegue y consideró consideró ya transpuesta porque esto es lo mismo que lle producto punto producto interior consigo mismo ok siempre que tengo un vector y lo transponga y lo multiplicó por otro vector es lo mismo que tomar el producto punto de los dos vectores así que bueno esto me diría esta cosa de aquí me dice que está dispuesta por el vector cero es igual a esto es lo mismo que ve producto punto con el vector 0 pero de producto punto con el vector cero es sencillamente cero así que por un lado tengo eso ya que tengo esto de a por detrás a por b transpuesto por ave es igual a cero así que si vuelvo a aplicar esta identidad de aquí obtendría que a por b producto interior producto punto consigo mismo con nada por b es igual a cero pero ahora fíjense quienes estoy aquí quienes esto pues esto es la norma de a por b al cuadrado y eso es igual a cero así que cuál es el único vector que tiene norma cero pues es precisamente el vector 0 esto implica que a por b es igual al vector 0 bueno pero ahora qué pasa entonces esta ecuación de aquí me diría estoy aquí me dice que ve pertenece al espacio nulo de la matriz a ok pero entonces vamos a juntar todo lo que tenemos teníamos que de estaba en el espacio nulo haber de gm lo escribo así de estaba en el espacio nulo de a transpuesta hora y a partir de eso concluimos que ve tenía que estar en el espacio no lo vea así que este conjunto de aquí está contenido en está contenido en el espacio nulo de la matriz a pero éste simplemente consistía en el conjunto que sólo tiene al vector 0 esa era una de las consecuencias de que las columnas de afuera linealmente independientes así que qué sucede pues entonces entonces de tiene que ser igual al vector 0 y otra forma de decir esto es la única solución por lo tanto estos tres puntos significan por lo tanto la única solución única solución solución a la ecuación a transpuesta por a por un vector x es igual al vector cero es x igual al vector 0 pero eso que me dice pues es el mismo argumento que así hicimos acá arriba solo que al revés eso me diría que entonces a las columnas las columnas de atrás puesta por app son son linealmente realmente independientes independientes perfecto ahora bien qué me dice eso pues qué es lo que tenía ahora tengo una matriz cuadrada ha transpuesto por a cuyas columnas o linealmente independientes así que entonces por estar acá la forma escalonada reducida por renglones de la matriz a transpuesta por ahora es sencillamente la identidad de cada por acá pero eso que me dice pues me dice que me lo pongo con otro color me dice que ha transpuesto está por a es invertible invertible así que tenemos este resultado bastante bonito porque partimos de una matriz cuyas columnas eran linealmente independientes pero cuyas dimensiones quizás no la no le permitían a esa matriz ser invertible porque quizás no era una matriz cuadrada y a partir de ella construimos esta matriz atrás puesta para que ahora sí podemos decir no preguntarnos si es invertible sino a firmarlo es invertible es invertible así que que las columnas de una matriz ya linealmente independientes me permite construir la matriz ha transpuesto por a que a fuerzas tendrá que ser una matriz invertible