Visualizaciones del espacio nulo izquierdo y el espacio de renglones

en el vídeo pasado comenzamos con la matriz a que era una matriz de dos por tres la matriz 2 menos 13 426 y calculamos su espacio columna que es simplemente el espacio vectorial generado por las columnas de a que es un sub espacio de r2 tengo dos entradas en cada columna así que vimos que este era generado por el vector 2 menos 4 checamos que las otras dos columnas son múltiplos escalares de la primera también calculamos el espacio nulo de la matriz es decir el sub espacio de r3 que está formado por los vectores x tales que a por el vector x nos daba el vector 0 en r2 y vimos que ese sub espacio era generado por estos dos vectores después nos movimos al ha transpuesto y encontramos el espacio nulo de la trans puesta que también dijimos que se llamaba el espacio nulo izquierdo de la matriz original vimos que éste era generado por el vector 2 1 y finalmente calculamos el espacio de las columnas de a transpuesta el espacio columna de a transpuesta que viene a ser lo mismo que el sub espacio generado por los renglones de a y vimos que este era el sub espacio generado por el vector 2 - 1 - 3 que si se fijan es simplemente el primer renglón de lo que quiero hacer en este vídeo es visualizar estas cosas geométricamente bien pues comencemos con lo siguiente lo voy a escribir aquí para tener el espacio de abajo libre así que consideren la siguiente transformación es una transformación que x al vector x lo manda en la matriz a multiplicada por el vector x muy bien esta transformación ya sabemos que es una transformación lineal pero de dónde a dónde va pues pues va de algún rn a algún r m la matriz a es una matriz de 2 x 3 eso quiere decir que para que el producto matriz vector esté bien definido la tengo que multiplicar por vectores que tengan 3 entradas así que te va de r3 r3 a donde pues una matriz de dos por tres multiplicada por un vector que lo puedo pensar como una matriz de tres por uno es lo mismo que una matriz de dos por uno que puedo pensar como un vector en r2 así que te es una transformación lineal de r3 en r2 ok entonces veamos quién es mi dominio dominio obviamente estoy hablando de la transformación de pues mi dominio como decía es r3 tienes mico dominio co dominio mikko dominio simplemente a donde llegó y llegó a r2 r2 ok entonces sí quiero graficar estas cosas vamos a primero averiguar qué subespacios de estos son sub espacios qué les parece empecemos con r2 ok si empiezo con r2 entonces tengo que mi espacio columna de la matriz a está contenido en r2 si se fijan simplemente está generado por un vector de re 2 otro modo de pensar en esto es donde están las columnas de a pues cada columna como decía tiene dos entradas así que está en r2 y también si nos fijamos el espacio nulo de a transpuesta el espacio nulo de a transpuesta que recuerden le llamamos el espacio no lo izquierdo de a también está contenido en r2 es un sub espacio de r2 ambos son y sub espacios de herreros así que viene vamos a graficar esto y bueno veamos y me pongo mis ejes coordinados esto no va a ser muy exacto pero ojalá puedan darse una idea geométrica y agarrar un poco de intuición al respecto ok ahí están mis ejes algo chicos y asimétrico esperando importa ok quien es el espacio columna de a pues es el sub espacio vectorial generado por este vector el vector 2 menos 4 a ver pongamos el vector 2 menos 4 así que 1 2 y luego bajo 4 1 2 3 4 está por aquí así que el vector dos menos cuatro se ve bueno se ve algo así ok ahora quién es el sub espacio que genera pues recuerden que el sub espacio consiste en todas las combinaciones lineales en este caso simplemente son todos los múltiplos de este vector todos los múltiplos de este vector que serían una línea recta en r2 así que es esto de aquí únicamente esto es una representación gráfica del espacio columna de a el espacio columna de a que también lo podría pensar de hecho como el espacio fila es lo mismo que el espacio a fila de a transpuesta tiene sentido no porque las las filas los renglones de atrás puestas son simplemente las columnas de a así que es esto de aquí ahora bien tienes tiene es el espacio nulo de a transpuesta pues el espacio nulo de a transpuesta está generado por el vector 21 así que dos y subo uno vamos a decir que más o menos por ahí ese sería el vector 21 y genera un sub espacio genera un sub espacio que son todos los múltiplos escalares de este vector y eso es una línea recta de nuevo es una línea recta en r2 se ve algo así así que esto de aquí sería la representación gráfica del espacio nulo de a transpuesta que habíamos dicho esto es lo mismo que el espacio nulo izquierdo de a espacio nulo izquierdo izquierdo de a muy bien y si se fijan aquí parece que pasa algo extraño no parece que este ángulo es de 90 grados parece que estos dos espacios son ortogonales y vamos a checar eso vamos a checar precisamente eso supongan se pongan que ustedes tienen un primer vector de uno de uno que pertenece a el espacio columna de a entonces qué forma tiene de uno pues si está en el espacio columna de a y el espacio columna de a está generado por el vector dos menos cuatro entonces v 1 es igual a alguna constante c 1 por el vector 2 - 42 menos 4 ok y supongan también que tengo algún vector en el espacio nulo izquierdo de a en el espacio nulo de la trans puesta entonces de 2 v2 está en el espacio nulo izquierdo de a o lo que es lo mismo el espacio nulo la transporta que yo sé que es generada por el vector 21 entonces b 2 es igual a debajo c2 alguna constante 0 2 por el vector por el vector 21 ok entonces si yo tomo a b1 y le hago producto punto o producto interior con b 2 que resulta pues sería lo mismo que hacer se uno por el vector dos menos cuatro producto punto producto punto c 2 por el vector 2 1 ok pero nosotros sabemos de las propiedades del producto punto producto interior que esto es lo mismo que se uno por c 2 multiplicando el producto punto de 2 - 4 con 2 1 los escalares salen del producto pero esto con todo esto sería 1 x 2 x 2 x 2 que es 4 más menos 4 x 1 que sería menos 44 más menos 4 o 4 menos 4 que pues estoy aquí es cero este último cacho digamos es cero entonces segundo por ser dos por cero pues es cero así que estos dos vectores son ortogonales y de hecho vamos a ver en algún otro vídeo que esto siempre pasa el espacio columna de a siempre es ortogonal al espacio nulo izquierdo de a y nos de hecho no es tan difícil probarlo creo que sería un buen ejercicio que lo intentarán probar a partir de las definiciones que tenemos de producto de matrices pero bueno pasemos a r3 ok entonces comencemos con el espacio nulo de a que es el generado por estos dos vectores dibujarlo en r3 es un poco más complicado de hecho es bastante más complicado hacerlo a escala así que lo voy a hacer de un modo muy general es un sub espacio generado por dos vectores en r3 pero qué es eso pues eso es sencillamente un plano así que déjenme yo tratar de dibujar un plano está muy feo lo sé pero por favor usen su imaginación así que esto de aquí esto de aquí es el espacio nulo de a ok y algo que quizás no resulte evidente es que este vector es ortogonal a cualquiera de estos dos vectores de hecho vamos a checar eso qué pasa si tomo a este vector al vector 2 - 13 2 - 1 3 hago producto punto producto interior con el vector primero con el un medio 10 un medio 10 pues por definición esa es la suma del producto entrada entrada así que dos por un medio es uno más menos uno por uno que sería menos uno más tres por cero que sería cero cuánto me da esto pues es cero así que este vector es ortogonal el primero vamos a checar ahora qué 2 - 13 2 - 1 3 2 - 13 es ortogonal a es ortogonal a tres medios 0 1 de nuevo cuánto es esto dos por tres medios es sencillamente 3 menos 1 por 0 es 0 3 por 1 a perdón aquí me como un signo que es menos 36 y no me hubiera funcionado observen es menos 3 hecho aquí también me lo comí aguas hay que tener cuidado con los signos ok menos tres por uno es bueno menos uno por cero es más 0 - 3 por 1 es menos 3 30 - 30 así que este vector también es ortogonal al segundo y de hecho de hecho lo puede hacer en general esto va a ser un poco enredado pero bueno vamos a suponer que tengo un vector b 1 que está en el espacio nulo de a entonces yo sé que es una combinación de es una combinación lineal de este vector y este vector así que ve uno es igual a digamos a por un medio 10 más ve por tres medios 0 1 ok y vamos a decir que tengo un b2 un b2 que pertenece a quien pues al espacio columna de a transpuesta o lo que es lo mismo el espacio de renglones de a entonces b 2 v2 qué forma va a tener pues es algún múltiple escalar de este vector recuerden que el espacio columna de a transpuesta está generado exclusivamente por este vector así que de 2 va a ser de la forma de algún escalar d por el vector por el vector 2 - 1 - 3 recuerden los signos tienen que estar bien si no todo se va a arruinar ok ya que tengo esto cuánto vale que usamos azul cuanto vale de un producto punto con v2 pues esto es lo mismo que de 1era a x un medio 10 más de por tres medios 0 1 y esto le voy a tomar producto puntocom de por el escalar de por el vector 2 - 1 - 3 ok y cuánto es esto pues yo sé que el producto punto es distributivo sobre la suma de hecho el producto punto tiene una propiedad muy fuerte que se llama be linealidad pero no quiero hablar de eso ahorita así que bueno si distribuyo esto sobre la suma de 1 por b 2x voy a usar el mismo color es lo mismo que aporte a x de x un medio 10 producto punto con 2 - 1 - 3 que sería este caso por esto más ahora este caso por esto depor de x tres medios 01 producto punto com 2 - 1 - 3 ok y cuánto es esto pues esto de aquí es cero eso ya lo sabíamos luego teníamos algo de aquí está este cacho de cero y este cacho también es cero eso es de acá abajo así que todo esto es 0 0 es cero así que cualquier vector en el espacio de el espacio fila de a o el espacio columnas de a transpuesta es ortogonal a cualquier vector en el espacio nulo de a eso es muy bonito así que el espacio el espacio columna de a transpuesta el espacio fila de a es en realidad una línea en r3 que es ortogonal a este plano y continúa tras ok recuerdo en dos cosas recuerden que este plano se extiende en todas direcciones y no termina y si digamos aquí pongo los vectores que generando mi plano que son estos dos vamos a decir que uno es ese vector de allí y el otro es ese vector de allí recuerden este no es un dibujo escala entonces cualquier vector digamos que el que genera al espacio columna de a transpuesta es este de aquí entonces cualquier vector en el espacio columna de a transpuesta que de hecho déjenme lo escribo así esto es lo mismo que el espacio fila de a eso es lo mismo que el espacio columna de a transpuesta y cualquier vector de aquí es ortogonal a cualquier vector de el espacio nulo de a y de hecho déjenme también escribo esto casi no tengo espacio así que perdonen que voy a amontonar todo pero el espacio no lo deja también lo puedo pensar como el espacio nulo nulo izquierdo sobre viera izquierdo de jan o de a sino de a transpuesta estas definiciones son simétricas si el espacio nulo de a perdón el espacio nulo de a transpuesta es igual al espacio nulo izquierdo de a entonces el espacio no lo es el espacio nulo izquierdo de a transpuesta pero bueno noten que los vectores que están en el espacio fila de a siempre son ortogonales a los vectores que están en el espacio nulo de a y los los vectores que son están en el espacio nulo de atrás pues estás siempre son ortogonales a los vectores que están en el espacio fila de a transpuesta de hecho de hecho no sólo son ortogonales son todos los vectores que son ortogonales eso se dice que el espacio fila de a es el complemento ortogonal al espacio nulo de a es algo más fuerte y estas dos cosas son en realidad muy bonitas lo probaré en el siguiente vídeo