If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:19:50

Visualizaciones del espacio nulo izquierdo y el espacio de renglones

Transcripción del video

en el video pasado comenzamos con la matriz a que era una matriz de dos por tres la matriz 2 - 1 - 3 - 4 2 6 y calculamos su espacio columna que es simplemente el espacio vectorial generado por las columnas de a que es un su espacio de rd 2 tengo dos entradas en cada columna así que vimos que éste ha generado por el vector 2 - cuatro secamos que las otras dos columnas son múltiples escalares de la primera también calculamos el espacio nulo de la matriz a es decir el su espacio de r3 que está formado por los vectores x tales que a por el vector x nos daba el vector 0 en r2 y vimos que el psuv espacio era generado por estos dos vectores después nos movimos a la transportista y encontramos el espacio nulo de la transtu ésta que también dijimos que se llamaba el espacio no izquierdo de la matriz original vimos que éste era generado por el vector 21 y finalmente calculamos el espacio de las columnas de a transpuesta el espacio columna de atrás puesta que viene a hacer lo mismo que el psuv espacio generado por los renglones de a y vimos que este era el psuv espacio generado por el vector 2 - 1 - 3 que si se fijan es simplemente el primer renglón de a lo que quiero hacer en este vídeo es visualizar estas cosas geométricamente bien pues comenzamos con la siguiente lo voy a escribir aquí para tener el espacio de abajo libre así que consideren la siguiente transformación es una transformación que a x al vector x lo manda en la matriz a multiplicada por el vector x muy bien esta transformación ya sabemos que es una transformación señal pero de dónde a dónde va pues pues va de algún rn a algún ere m la matriz a es una matriz de dos por tres eso quiere decir que para que el producto matriz vector esté bien definido tengo que multiplicar por vectores que tengan tres entradas así que te va de r 3 y r 3 a dónde pues una matriz de 2 x 3 multiplicada por un vector que lo puede pensar como una matriz de 3 x 1 es lo mismo que una matriz de 2 x 1 que puedo pensar como un vector en r2 así que te es una transformación lineal de r3 en r2 ok entonces veamos quién es mi dominio dominio obviamente estoy hablando de la transformación de pues mi dominio como decía es r3 quienes me codominio codominio micondominio simplemente a donde llegó y llegó a r2 sur r2 ok entonces sí quiero graficar estas cosas vamos a primero averiguar que su espacio de estos son sus espacios que les parece empecemos con r12 ok si empiezo con rd 2 entonces tengo que mi espacio columna de la matriz a está contenido en r2 si se fijan simplemente está generado por un vector de dos otro modo de pensar en esto es donde están las columnas de a pues cada columna como decía tiene dos entradas así que está en r2 y también si nos fijamos el espacio nulo de a transpuesta espacio nulo de atrás puesta que recuerden le llamamos el espacio no lo izquierdo dea también está contenido en r2 es un suv espacio de dos ambos son sus espacios de herreros así que bien vamos a graficar esto y bueno veamos si me pongo mis ejes coordinados esto no va a ser muy exacto pero ojalá puedan darse una idea geométrica y agarrar un poco de intuición al respecto ok ahí están es algo lógico y asimétricos pero no importa ok yemen es el espacio columna de a pues es el su espacio vectorial generado por este sector el vector 2 - cuatro haber pongamos el vector 2 - cuatro así que 12 luego bajó 4 1 234 está por aquí así que el vector 2 -4 pb se ve algo así key ahora quienes en su espacio que genera pues recuerden que el psuv espacio consiste en todas las combinaciones señales en este caso simplemente son todos los múltiplos de este vector todos los múltiplos de este vector que serían una línea recta en r2 así que es esto de aquí esto es una representación gráfica de el espazio columna de a espacio columna de a que también lo podría pensar de hecho como el espacio fila es lo mismo que el espacio fila y la de atrás puesta tiene sentido no porque las las filas los renglones de a transpuesta son simplemente las columnas vea así que estoy aquí ahora bien quién es quién es el espacio no lo de atrás pues está pues el espacio nulo de atrás pues está generado por el vector 21 así que dos y hubo uno vamos a decir que más o menos por ahí ese sería el vector 21 y genera un suv espacio genera un su espacio que son todos los múltiplos escalares de este vector y eso es una línea recta de nuevo es una línea recta en r2 se ve algo así así que estoy aquí sería la representación gráfica del espacio nulo ha transpuesto que habíamos dicho esto es lo mismo que el espacio nulo izquierdo de a espacio nulo izquierdo gerdo de a muy bien y si se fijan aquí parece que pasa algo extraño no parece que este ángulo de 90 grados parece que estos dos espacios son ortogonales y vamos a checar eso vamos a checar precisamente eso supongan se pongan que ustedes tienen un primer vector de uno de uno que pertenece a el espacio columna de a entonces qué forma tiene uno pues sí está en el espacio columna de aga y el espacio columna de a está generado por el vector 2 - cuatro entonces de uno es igual a alguna constante c1 por el vector 2 - 42 menos cuatro ok y supongan también que tengo algún vector en el espacio nulo izquierdo dea en el espacio nulo de la transtu está entonces b2 b2 está en el espacio no lo izquierdo de a o lo que es lo mismo el espacio no la está dispuesta a que yo sé que es generada por el vector 21 entonces b2 es igual a bajo c 2 hay una constante c2 por el vector por el vector 21 ok entonces si yo tomo a de uno y le hago producto punto o producto interior con b2 que resulta pues sería lo mismo que hacer c1 por el vector 2 - 4 producto punto producto punto c 2 por el rector 21 ok pero nosotros sabemos de las propiedades del producto punto producto interior que esto es lo mismo que hace uno por c 2 multiplicando a el producto punto de 2 - cuatro con 21 kilos escalares salen del producto proyecto con todo esto sería c1 por c 2 x 2 x 2 que es cuatro más menos 4 x 1 que sería menos 44 más menos 44 menos cuatro que estoy aquí es cero este último cacho digamos es cero entonces segundo por ser dos por cero pues es cero así que estos dos vectores son ortogonales y de hecho vamos a ver en algún otro vídeo que esto siempre pasa el espacio columna de a siempre es ortogonal al espacio no lo izquierdo dea y no de hecho no es tan difícil probarlo creo que sería un buen ejercicio que intentarán probar a partir de las definiciones que tenemos de producto en matrices pero bueno pasemos a r3 ok entonces comencemos con el espacio nulo de a que es el generado por estos dos vectores dibujarlo en r3 es un poco más complicado de hecho es bastante más complicado hacerlo a escala así que lo voy a hacer de forma muy general es un su espacio generado por dos vectores en r3 pero que es eso pues eso es sencillamente un plano así que déjenme que tratar de dibujar un plano está muy feo lo sé pero por favor usen su imaginación así que estoy aquí estoy aquí es el espacio nulo de a ley y algo que quizás no resulta evidente es que este sector es ortogonal a cualquiera de estos dos vectores de hecho vamos a checar eso qué pasa si tomó a este vector al vector 2 - 1 32 - 13 y le hago producto punto producto interior con el vector primero con él un medio 10 un medio 10 pues por definición es la suma del producto entra entradas y que dos por un medio es uno más o menos uno por uno que sería menos uno más tres por cero que sería cero cuando me da esto puede ser cero así que éste vectores ortogonal el primero vamos a checar ahora qué 2 - 1 32 menos 132 menos 13 es ortogonal a ortogonal a tres medios 01 de nuevo cuando el sexto dos por tres medios es sencillamente 3 - 1 x 0 es 0 3 por 1 a perón aquí me comí un signo 10 - 3 sí sí no no hubiera funcionado observan es menos tres hecho aquí también me lo comí aguas hay que tener cuidado con los signos menos tres por uno es bueno menos uno por cero a cero - tres por uno es menos 33 más o menos 30 así que este sector también es ortogonal el segundo y de hecho de hecho lo puede hacer en general esto va a ser un poco enredoso pero bueno vamos a suponer que tengo un vector b1 que está en el espacio nulo de a entonces yo sé que es una combinación de es una combinación lineal de este vector y este vector así que de uno es igual a digamos a por un medio 10 b por tres medios 0 1 ok y vamos a decir que tengo un b2 b2 que pertenece a quién pues al espacio columna de atrás puesta o lo que es lo mismo el espacio de renglones de a entonces b2 b2 qué forma va a tener pues es algún múltiplo escalar de este vector recuerdan que el espacio columna de atrás puesta está generado exclusivamente por este vector así que ve dos va a hacer de la forma de algún escalar de por el vector por el vector 2 - 1 - 3 recuerden los signos tienen que estar bien si no todo se va a reinar ok ya que tengo esto cuánto vale que usamos azul cuánto vale de uno producto punto con dedos pues esto es lo mismo que de 1era a por un medio 10 más de por tres medios 0-1 y esto lo voy a tomar producto puntocom de por escalar de por el vector 2 - 1 - 3 ok y cuando es esto pues 12 que el producto punto es distributivo sobre la suma de hecho el producto punto tiene una propiedad muy fuerte que se llama be linealidad pero no quiero hablar de eso ahorita así que bueno se distribuyó esto sobre la suma de 1 por b 2 x voy a usar el mismo color es lo mismo que a por de a por de por un medio 10 producto punto con 2 - 1 - 3 que sería este cacho por esto más ahora esté el cacho por esto b por de por por tres medios 01 producto punto con 2 - 1 - 3 ok y cuánto es esto pues estoy aquí es cero eso ya lo sabíamos luego teníamos aquí está este caso el cero y este cacho también es cero eso es de acá abajo así que todo esto es 0 +0 es cero así que cualquier vector en el espacio de el espazio fila de a o el espacio columna de atrás puesta es ortogonal a cualquier vector en el espacio nulo de a eso es muy bonito así que el espacio espacio columna de atrás pues está el espacio fila de a es en realidad una línea r3 que es ortogonal a este plan continúa tras ok recuerdo en dos cosas recuerdan que este plan no se extiende en todas direcciones gay no termina y si digamos aquí pongo los vectores que genera muy plano que son estos dos vamos a decir que uno es el sector de ahí y el otro es ese vector de y recuerden este no es un dibujo escala entonces cualquier vector digamos que el que genera al espacio columna de otra respuesta esté aquí entonces cualquier vector en el espacio columna de atrás puesto que de hecho de que me escribas y esto es lo mismo que el espacio fila de a eso es lo mismo que el espacio columna de atrás pues ésta y cualquier vector de aquí es ortogonal a cualquier lector de él espacio nulo dea y de hecho de gm también escribo esto casi no tengo espacio así que perdonen que voy a amontonar todo pero el espacio en uno de a también lo puedo pensar como el espacio nulo nulo izquierdo previa izquierdo de jan o dea sino de atrás pues está estas definiciones son simétricas y el espacio no le ha perdonado el espacio nulo de atrás puesta es igual al espacio no lo izquierdo de a entonces el espacio no lo vea es el espacio nulo izquierdo de atrás puesta pero bueno no te en que los vectores que están en el espacio fila de a siempre son ortogonales a los vectores que están en el espacio nos rodea y los los vectores que son están en el espacio nulo de atrás pues está siempre son ortogonales a los vectores que están en el espacio fila de atrás pues está de hecho de hecho no sólo son ortogonales son todos los vectores que son ortogonales eso se dice que el espacio fila de a es el complemento tobón al al espacio nulo de a es algo más fuerte y estas dos cosas son en realidad muy bonitas lo probará en el siguiente vídeo