If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:14:10

Transcripción del video

en este video lo que quiero ver es si tomarla transpuesta de una matriz afecta en algo al determinante así que vamos a empezar con el caso más sencillo que es el caso de las matrices de 2 x 2 supongan sé que tengo una matriz de 2 x 2 que qué forma tiene que tener pues tiene que ser a b c d y voy a tomar su determinante recuerden que cuando no pongo paréntesis cuadrados rodeando la matriz si no pongo estas niñas significa determinante entonces quién es el determinante una matriz de 2 x 2 pues usted lo saben es a por de a por de menos de porsche perfecto ahora qué pasa si transponga esta matriz que obtendría tengo que intercambiar renglones por columnas entonces esta matriz se convierte en aceh de té y tiene ser determinante pues de nuevo a por de menos de porsche no tenga el único que pasó al transponer fue que se intercambiaron b y c pero cómo se van a multiplicar no pasó absolutamente nada así que el caso de de matrices de dos por dos si a es de dos por dos entonces su determinante determinante idea es igual al determinante de atrás pues está muy bien ahora para ver qué se vale para todos los enteros para matriz de gm por n lo voy a hacer por inducción inducción inducción matemática y cómo funciona la inducción pues lo primero que tengo que hacer es suponer supongo supongo que funciona para todas matriz de de m por m-sport ms simbolito significa para toda matriz bdn por n el determinante debe determinante debe es igual al determinante de de transportes está ideado eso dado eso quiero usar otro color dado esto de aquí voy a probar o suponiendo esto pruebo que entonces se vale se vale para matrices matrices de enemas uno por m masum y si esto es el caso si esto es cierto sí se vale para matrices de 'por n entonces se vale para matriz tiene más uno por ende más uno entonces se acabe porque como se vale para matrices de dos por dos entonces se vale para matrices de 3 x 3 pero cómo se vale para matrices de 3 x 3 se vale para matrices de 4x4 y así sucesivamente así que habría probado que en efecto esto es válido para matrices de de m por m con en mayor o igual a 2 el caso de najwa la unes completamente trivial y se lo dejó ejercicio bien pues me pongo una matriz a siempre usaba para matrices de enemas uno por enima zoom y simplemente porque es más simple voy a llamar a este número de aquí hay más uno no puede llamar m 12m y esto va a ser m ok entonces quienes me matriz a cómo se ve pues vamos a ver la matriz a se va a ver algo así va a ser a 11 a 12 a 13 hasta hasta a 1 m recuerden que msn +1 luego segundo renglón sería a 21 a 22 a 23 hasta a 12 m tercer renglón a 31 a 32 a 33 hasta hasta a 3 m y así podría continuar no lo voy a hacer pero podrían seguir llegar hasta a m1 m2 m3 y seguirse hasta a m m así que eso de ahí es mi matriz a declaró esta columna sigue esto sigue y esto sigue y aquí también hay cosas en medio bien entonces ya que tengo a quienes ha transpuesto quienes matriz a transpuesta de nuevo va a ser de enemas uno por ende más uno o dicho de otro modo de m por m y quienes pues es el resultado de intercambiar columnas y renglones así que voy a agarrar este primer renglón y lo voy a escribir como una columna va a ser a 11 a 12 a 13 hasta a1 mh bien ahora mi segundo renglón esté aquí lo escribo como una segunda columna a 21 a 22 a 23 hasta a 12 m bien tercer renglón se convierte en la tercera columna a 31 a 32 a 33 y a 3m que no sólo escribir tanto centrados en las matrices pero en este caso creo que será útil ok entonces continúa para acá y él terminaría en la m1 m2 m3 y finalmente a m m aquí con todos lo que está en medio muy bien esa es mi transpuesta ahora bien necesito comparar el determinante de esta matriz con el determinante de esta otra matriz muy bien quién es el determinante de la matriz a usted lo sabe muy bien que por ejemplo podría desarrollar a partir del primer renglón y usar la llamada fórmula de la plaza del rey de la plaza y ella me diría que determinen determinante idea es a 11 por el determinante de la matriz que obtengo de eliminar el primer renglón y la primera columna que voy a llamar a 11 así que a 11 es ésta su matriz de aquí está su matriz de aquí esto es a 11 luego menos a 12 por el determinante de la matriz que obtengo al eliminar el primer renglón y la segunda columna y que esa labor llamar a 12 ya había usado esta anotación antes y así continúa sumando y sumando hasta que llegó a el término que corresponde a a 1m pero lleva signo menos uno a la m más uno esto quiere decir más o menos más o menos más menos hasta que llegó aquí y será menos uno se llama spar y 17 meses impar y acá sería a 1m por el determinante de la sub matriz a 1m que sería el resultado de eliminar primer renglón y primera columna me quedaría ahora con todo lo que está por acá ahora bien quién es el determinante de atrás pues está bien es determinante de ha transpuesto pues nosotros sabemos que en vez de irnos por el primer renglón también nos podríamos ir por la primera columna así que vamos a desarrollar es el determinante pero mediante la primera columna así que de nuevo tendría a 11 por el determinante por el determinante de la matriz las matrices que tengo de quitar este renglón y esta columna así que se quitó eso lo que me queda es esto de aquí pero quienes esto de aquí pues se observan estoy aquí es a 22 a 23 hasta doce menos que ahora está en una columna en vez de en un reunión luego a 32 que está aquí a 33 hasta 3m que de nuevo antes en un renglón y ahora está en una columna así que en realidad es el determinante de a 11 transpuesta menos ahora quién a 12 a 12 por el determinante de quien ahora lo que voy a hacer es quitar a mí me puede tratar de usar este color puede quitar a este renglón y esta columna y entonces lo que me queda sería la matriz que tiene a esto y que tiene a esto tienen que pegar las dos mitades de la matriz y ahora bien quién es eso pues es lo mismo a ver si aquí tachó este y tachó este entonces me quedo con esto y me quedo con esto de acá y fíjense de nuevo la primera columna de esta matricería a-21 a-23 hasta a 12 m que es el primer renglón de esta matriz el segundo renglón pero en la segunda columna de esta matriz sería el segundo renglón de esta matriz así que en realidad esto es a 12 transpuesta transpuesta y así voy a continuar voy a continuar hasta que llegué aquí a la entrada a uno en que va a llevar signo menos uno jala uno más m oa la m más uno iba a ser a 1m por el determinante de la sub matriz hijo le hizo un revoltijo de lo peor por la su matriz que contiene a todos las entradas menos las que están en la primera columna y en el último renglón así que sería estoy acá pero quién es eso pues es la transportista de la matriz que contiene a todas las entradas menos esta matriz las que están en el primer renglón o en la última columna así que estoy aquí va a ser a 1m transpuesta y perdonen un poco el relajo que se armó chip pero creo que tienen la idea el punto es que la su matriz de la que tengo que tomar el determinante siempre va a ser la transtu está de la su matriz de la entrada correspondiente en mi matriz original pues muy bien porque recuerden que estamos haciendo una inducción así que tenía la suposición de que se valía para matrices de n por m estas dos matrices de aquí está y está estas dos son matrices de enemas uno por ende más uno pero ésta ésta y ésta son matrices de n por el cne está ahí está al igual que estas dos son de en por m ésta y ésta y así en todos los casos así que me potes inductiva mi hipótesis inductiva me decía que el determinante debe donde verá cualquier matriz de gm por ende era igual al determinante de la transtu está entonces simplemente puedo cambiar todas las respuestas aquí por la matriz sin trasponer es decir esto es lo mismo que el determinante de a 11 menos a 12 por el determinante de 12 días y así hasta llegar a -1 a la m más uno por a 1m por el determinante de a 1m muy bien pero entonces esta fórmula la que está aquí abajo en morado coincide con la fórmula que está aquí en amarillo para el determinante de a así que efectivamente lo que probado es el caso de enemas 1% más uno es decir provee el determinante de a es igual a él determinante de a transpuesta si se vale sí es cierto sí es cierto para matrices para matrices de m por m pero entonces se acabe porque ya lo había probado acá arriba lo probé para matrices de dos por dos y entonces esto lo que me dices ah ok dar lo probaste prometéis de dos por dos entonces se vale para matrices de dos más uno por todo caso no sea matrices de 3 x 3 y se vale para las de tres portales se vale para las de 4x4 y así sucesivamente así que en efecto acabamos de probar esto por inducción para matriz de gm por n para cualquier en mayor o igual a 2 en resumen si aplicar la transporta el determinante no cambia