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Transcripción del video

en algún vídeo anterior argumente que el rango de una matriz a es igual al rango de su transportista y fue algo que dije sin demostrar lo deje como un dogma de fe porque estaba algo cansada pero lo voy a retomar porque porque es importante es un concepto de suma importancia y nos ayudarán a entender lo ya aprendido así que vamos a iniciar con esto voy a voy a iniciar primero con el rango de la transportista con esta parte entonces el rango de la transportista de una matriz es igual a la dimensión del espacio columna de la matriz transpuesta de atrás pues está esa es la definición de rango y la dimensión del espacio columna de una matriz transpuesta es igual al número de vectores en la base para el espacio columna de la transportes está entonces para cualquier su espacio que tengas averiguas cuantos vectores necesitas para formar tu base los cuentas y esa es su dimensión ajá es el número de vectores en la base para el espacio columna de una matriz transpuesta y donde esto el espacio columna es lo que conocemos como el espacio fila de a ajá las columnas de la transportista son lo mismo que las filas de a sol o simplemente cambias las filas y columnas ok perfecto ahora bien como podemos cómo podemos averiguar cuántos vectores necesitamos para la base de del espacio columna de atrás puesta o el espacio fila de a vamos a pensar en esto vamos a pensar primero en el espacio columna de a transpuesta lo que voy a hacer aquí es dibujar a la matriz a de esta manera tenemos a es una matriz de gm por n voy a poner a la matriz a como un montón de un montón de vectores columna o pila de vectores entonces tenemos aquí la fila 1 la fila 2 sería ésta es afiliados hasta llegar a la fila m ajá es una matriz de gm por n cada victoria es de elementos y tenemos de columnas y esa es la matriz a ahora para la matriz está expuesta dea se va a mirar algo así la voy a poner de esta manera a transpuesta sería esto tenemos r1 r2 hasta llegar a r m ajá atrás pues es una matriz de gm por m por lo tanto las filas de hacer en las columnas de atrás puesta y también cabe mencionar que el espacio columna de a transpuesta es igual aquí lo voy a poner el espacio columna de a transpuesta es igual al generado de r1 r2 hasta rm o equivalente esto es igual al generado de las filas de la matriz ha hecho eso lo voy a escribir aquí porque es importante entonces esto esto es igual al generado de las filas de la matriz a ajá estos son conceptos equivalentes y o que ya muy bien entonces estos son los espacios generados son todas las combinaciones lineales de las columnas o odeo de estas filas entonces si queremos las bases queremos lo que queremos hacer es encontrar un conjunto mínimo de vectores linealmente independientes que podamos usar para construir cualquiera de estas columnas o cualquiera de estas filas ahora qué sucede cuando ponemos a la matriz a en su forma escalonada reducida lo que queremos hacer es efectuar un montón de operaciones con las filas para que esté en su forma escalonada reducirá entonces eventualmente haciendo las operaciones con las pilas obtendrás la forma escalonada reducida de la matriz a ajá con algunas entradas pivote se mirará algo así la voy a dibujar con algunas entradas pivote digamos que esta es una de ellas y tendríamos aquí puro ceros después acá tenemos otra entrada pivote y digamos que ok digamos que las siguientes no son entonces ésta no es ni está centrada pivote después ceros y digamos que ésta sí es una entrada pivote lo tenemos entonces algo así se mirará en ésta en esta materia tienes algunas entradas pivote y las pilas obtienes realizando operaciones en las filas de la matriz esas operaciones pues por ejemplo tú sumar dos veces al afilados le sumas dos veces la fila 1 y ese entonces era tupí lados ahora sigue realizando operaciones obtiene es la forma escalonada reducida así que estas filas son combinaciones lineales de estas otras filas y otra manera sería por ejemplo revertir esas operaciones entonces digamos que aquí hago operaciones con filas lo voy a escribir otra vez hago operaciones con filas para obtener la matriz a boyle como el reverso otra manera de pensar en esto estos sectores ellos generan a todos estos es decir todos estos factores pueden ser representados como combinaciones lineales de las filas private obviamente tus filas no los fines que no sean pivote serán compuestos por puro ceros pero eso son irrelevantes jano no importan pero tusk y las pivotes y tomás combinaciones lineales de ellos puede revertir las operaciones y regresar a two matriz original así que todos éstos puedan ser representados como combinaciones lineales de éstos y todos y todas todas las entradas pivotes son por definición bueno de hecho casi por definición no exactamente son realmente independientes porque ve aquí yo tengo uno ni ningún otro elemento de la columna es sólo así que no puede ser presentado como combinación ideal de los otros ahora bien por qué es importante esto porque recuerda que iniciamos diciendo que queríamos encontrar una base para el espacio fila cierto queríamos un conjunto mínimo de vectores linealmente independientes que generen ahora bien todos estos pueden ser presentados como combinación lineal de estos vectores en las filas de estos vectores pivote y ya está esto en la forma escalonada reducía y todos son igualmente independientes entonces forma una base razonable así que éstas son filas vivo de aquí tenemos una acá tenemos otra aquí tendríamos la tercera y bueno tal vez haya más pero en este ejemplo es muy particular así que esto sería una base razonable para el espacio fila lo voy a recibir aquí entonces las filas pivote en la en la forma es con una reducida las filas pivote en la forma escalonada reducida de la matriz a sol una base para el espacio fila de a ajá y el espacio y la idea es lo mismo que el espacio columna de ha transpuesto entonces también lo pongo aquí o pongo o el espacio columna de a transpuesta el espacio fila de a es lo mismo que el espacio columna de atrás pues está ahora si queremos conocer la dimensión del espacio columna simplemente contamos contamos el número de filas pivote que tenemos entonces la dimensión de la de tu espacio fila lo cual es lo mismo que el espacio columna de a transpuesta será el número de filas pivote en la forma escalonada reducida o de hecho más sencillo es el número de entradas pivote que tienes baja por cada entrada pivote tiene una fila pivote podemos decir entonces que el rango de atrás puesta es igual al número de entradas pivote en la forma escalonada reducida de la matriz a en la forma escalonada reducida de a porque cada entrada pivote corresponde a una fila pivote estas filas pivote forman una base para el espacio fila cada fila es combinación ideal de estos ajá entonces así que lo que éstos generan estos generan ok ahora cuál es el rango de a cuál es el rango de la matriz a encontramos el rango de la matriz a transpuesta baja pero y el rango de a cuál es el rango de a lo voy a escribir aquí entonces el rango de a es igual es igual a la dimensión del espacio columna de a a a o lo que es lo mismo también es el el número de vectores en la base para el espacio columna de a cierto entonces si tomamos a la matriz a y en lugar de vectores fira ponemos vectores columna de esta forma entonces tenemos a sm por n y voy a poner en lugar de filas pongo columnas tenemos la columna 1 la columna 2 hasta la columna l tenemos en columnas ahora el espacio columna es esencialmente el psuv espacio generado por estos elementos aha por cada uno de estos vectores columna entonces el espacio columna de amd es igual al generado de c1 c2 hasta cn esa es la definición pero queremos saber el número de vectores en la base es cierto el número de vectores en la base a una base razonable si si esto sí esto lo convierte esa su forma escalonada reducida entonces tienes algunos algunas entradas pivote y y su columna pivote correspondiente entonces tendrías por ejemplo así algunas entradas pivote algunas no y así se miraría esto entonces tienes cierta cantidad de columnas pivote voy a usar otro color para esto cuando por operaciones llegas a la forma escalonada reducida de la matriz a aprendimos que los vectores en la base los que forman una base para tu espacio columna son las columnas que corresponden a las columnas pivote cierto a estas columnas entonces esto es una columna pivote por lo tanto éste puede ser un vector de la base y lo que quieres hacer es comparar el número de vectores que hay en la base porque date cuenta que no necesita saber quiénes son esos sectores de las bases y no sabe la cantidad de vectores que hay en la base y observa que para cada para cada columna pivote aquí tenemos un vector base que le corresponde entonces solamente contamos las columnas pivote y el número de columnas pivote corresponde al número de entradas pivote que tenemos por lo tanto podemos decir que el rango de a lo escribo el rango de a es igual es igual al número de entradas pivote en la forma escalonada reducida de la matriz a en la forma escalonada reducida de la matriz am y como puedes ver es exactamente lo mismo para el rango de a transpuesta cierto es decir la dimensión del espacio columna de a transpuesta o o lo que es lo mismo la dimensión del espacio y la dea y con esto ya hemos llegado nuestra conclusión lo que queríamos demostrar era que el rango de a es igual al rango de atrás pues está en efecto que son iguales bueno nos vemos pronto