If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:23:18

Transcripción del video

tengo aquí esta matriz de 2 x 3 esta matriz a y como ejercicio de repaso lo que quiero hacer es calcular tanto su espacio nulo sonoridad como su espacio columna el sub espacio generado por las columnas de mi matriz a así que bien comencemos el espacio nulo la nulidad de la matriz es por definición el conjunto de todos los vectores x en donde pues tengo tres columnas así que todos los vectores x en r3 tales que al multiplicar la matriz a por el vector x obtengo el vector 0 noten que como como la matriz a es una matriz de 2 x 3 el vector 0 tiene que ser considerado en r2 así que bien otro modo de escribir esta misma condición de aquí plantear la ecuación de carme copia mis matriz a 2 - 1 - 3 - 426 ésta es la matriz a multiplicada por por un vector en r3 digamos x 1 x 2 x 3 y esto lo tengo que igualar con esto lo tengo que igualar con el vector 0 de r2 así que con el vector 0 0 y tengo que resolver este sistema bien pues para resolver este sistema lo que voy a hacer es poner una matriz aumentada y mi matriz aumentada va a ser la primera parte va a ser igual a 2 - 1 - 3 - 4 2 6 y la voy a aumentar con esto con el 0 0 0 0 y ahora vamos a hacer operaciones elementales para llevarla a su forma escalonada reducida por renglones y eso esas operaciones no van a cambiar este lado derecho lo cual es de esencia el argumento de por qué la forma escalonada reducida por renglones y la matriz original tienen el mismo espacio nulo pero bueno vamos allá entonces lo primero que voy a hacer va a ser dividir todo mi primer renglón por 2 así que aquí tendría uno menos 1 / 2 es menos un medio menos 3 entre 2 es menos 3 medios pero entre dos es cero y ahora lo que voy a hacer es dividir el segundo renglón entre cuatro así que aquí me quedaría menos uno en los 4 24 es menos 12 entre 4 es aún medio positivo 6 entre 43 medios positivos 0 entre 4 de nuevo es 0 así que esa de allí es la siguiente matriz y ahora ahora lo que voy a hacer es sumar bueno el primer renglón lo voy a dejar tal y como están 1 - un medio menos 3 medios y ahora voy a sumar este primer renglón al segundo renglón entonces uno menos más menos 10 menos un medio más un medio es cero menos tres medios más tres medios es cero y 0 +0 es cero así que aquí ya tengo la forma escalonada reducida por renglones de mi matriz pero y esto que me dice acerca de cómo tienen que ser x 1 x 2 y x 3 pues el modo más sencillo de averiguar qué es lo que me dice es simplemente escribir esto como el producto de la matriz uno menos un medio 3 - 3 medios este 0 0 0 con el vector en r 3 x 1 x 2 x 3 este producto debe ser igual 0 0 al vector 0 en r2 y de aquí pues de aquí que puedo concluir si hago este producto de matrices la primera entrada del vector sería 1 por x 1 + menos un medio por x2 más menos 3 medios por x 3 esta sería la primera entrada de este vector es decir esto tiene que ser igual a 0 y la segunda parte no me da una información porque me dice 0 por algo más 0 por algo más pero por algo es igual a cero así que realmente no ofrece nueva información esto de aquí esta ecuación la puede escribir como x 1 es igual a un medio de x 2 + 3 medios de x 3 y esto tiene sentido porque x1 noten que esta de aquí ésta es una columna pivote es una columna pivote así que corresponde a una variable dependiente y x2 y x 3 que no corresponden a columnas pivote corresponden a variables libres así que como se ve mi espacio a solución de esto pues mi espacio y solución sería los vectores x 1 x 2 x 3 estos vectores que son de la forma pues vamos a escribirlos así x2 x por algo por algún vector más x 3 por algún otro vector de nuevo x 2 y x 3 son mis variables libres ahora bien x 1 es igual a un medio por x2 así que un medio por x2 más 3 medios por x 3 más 3 medios por x 3 x 2 es igual a 1 por x 20 x x 3 x 3 es igual a 0 por x 2 más 1 por x 3 así que nuestro espacio nulo es el conjunto de vectores de esta forma pero eso también lo puede escribir como el espacio nulo de la matriz a va a ser igual al sub espacio generado por todas las combinaciones lineales de estos dos vectores es decir el sub espacio generado por el vector un medio 10 y el vector tres medios 0 1 a veces también verán esto escrito como el spam d el spam del vector un medio 10 y el vector tres medios 0 1 bien así que este es nuestro espacio nulo que hay del espacio columna bien pues como les decía el espacio columna es el espacio generado por las columnas de la matriz a así que el espacio columna de a va a ser igual al espacio al sub espacio generado por los vectores 2 - 4 2 - 4 - 1 2 y menos 36 ahora aquí tengo algunos vectores de más porque si se fijan estos vectores no son linealmente independientes de hecho nosotros sabemos que si ponemos a la matriz en su forma escalonada reducida la base del espacio columna corresponde a los vectores que se transforman en columnas pivote así que esto de aquí es lo mismo que el sub espacio generado por el vector 2 menos 4 y de hecho esto no es inesperado porque noten que esta segunda columna es simplemente menos un medio por la primera y esta tercera columna es menos tres medios por la primera columna y solo para no dejarlo el rango de a recuerden que el rango de una matriz se define como la dimensión de su espacio columna así que en este caso la dimensión simplemente es 1 porque es el número de vectores que me generan el espacio columna bien ok ya que tenemos eso pues nosotros hemos estado trabajando con las matrices transpuestas así que ahora quiero ver qué sucede con estos espacios con la matriz a transpuesta quien es la matriz a transpuesta pues sencillamente va a ser la matriz cuyas columnas son los renglones de a así que déjenme los copió sería la primera columna sería 2 - 1 - 3 y la segunda columna sería menos 4 2 esa es mi matriz a transpuesta muy bien así que quién es el espacio nulo el espacio nulo de la nulidad de la matriz a transpuesta pues la matriz a transpuesta ahora es una matriz de tres por dos entonces el espacio nulo la nulidad de a transpuesta va a consistir en los vectores x en donde pues ésta es una matriz de tres por dos tiene dos columnas así que son los las x en ahora en r2 tales que la matriz a transpuesta x x es igual al vector 0 ahora en r3 porque tengo tres renglones bien entonces como decíamos lo que voy a hacer es transformar esta matriz o llevar a esta matriz a su forma escalonada reducida por renglones así que veamos voy a dividir el primer renglón entre dos así que obtengo uno menos 2 luego el segundo renglón lo voy a dejar así como está menos 12 y el tercer renglón lo voy a dividir entre 3 - 1 y 6 entre 3 es 2 perfecto ahora qué más se puede hacer esta matriz pues déjenme me voy a dejar el primer renglón igual uno menos dos voy a cambiar el segundo renglón por el primero más el segundo uno más menos uno es 0 2 más menos 2 es cero y voy a cambiar el tercer renglón por el tercero más el primero menos uno más uno es cero 2 más menos 2 también es 0 así que ya tengo aquí mi matriz esta es la forma escalonada reducida por renglones la fehr de la matriz a transpuesta y noten noten que tengo solo una columna pivote así que esto de aquí cuando hablemos del espacio columna sabremos que es el generado por este vector pero bueno para encontrar la nulidad lo que voy a hacer es simplemente escribir lo siguiente la nulidad de a transpuesta es igual a la nulidad de su forma escalonada reducida por renglones así que vamos a escribir la ecuación 1 - 20000 por un vector x 1 x 2 eso me tiene que dar el vector cero en r 3000 muy bien y y de aquí que concluyó pues si resuelvo estas ecuaciones o si expande este producto matricial obtendría que x1 menos 2 x 2 es igual a 0 o lo que es lo mismo x1 es igual a 2 veces x 2 de modo que de modo que la nulidad o el espacio nulo de la matriz transpuesta de a es igual a el conjunto de vectores en r2 vamos a escribir los x 1 x 2 tales que pues necesito que x 1 x 2 obedezcan lo siguiente x1 tiene que ser igual a dos veces x2 así que déjenme lo pongo así voy a poner x2 aquí porque esa es mi variable libre no corresponde a una columna pivote así que x2 x x 2 x 2 veces x 12 son x1 y x2 x 1 me da x2 es esto de aquí o lo que es lo mismo esto es el conjunto de todas las combinaciones lineales de este vector pero eso es simplemente el sub espacio vectorial generado por el vector 2 perfecto y que hay del espacio columna de a transpuesta pues eso es el espacio el sub espacio generado por las columnas de a transpuesta por el vector 2 - 1 - 3 y el vector menos 4 2-6 pero sólo el primero se corresponde con una columna pivote en la forma escalonada reducida por renglones de la matriz a traspuesta así que nosotros ya sabemos que el espacio columna de a transpuesta va a ser generado exclusivamente por el vector 2 - 1 - 3 de hecho si se fijan la segunda columna es simplemente la primera columna por menos 2 y esto geométricamente es simplemente una línea en r3 esto genera una línea en r3 y espero en otro vídeo poder dar una interpretación geométrica de estos resultados ahora bien qué significa el espacio de columna de a transpuesta y el espacio nulo o la nulidad de a transpuesta pues el espacio columna de la trans pues está para empezar es el generado por las columnas de a transpuesta es decir por esa que está encerrada en amarillo en verde y esta que está encerrada en amarillo pero esas quiénes son pues son precisamente son precisamente las los renglones de la matriz a original son precisamente estos dos y de hecho bueno nosotros ya sabemos que estos dos son linealmente dependientes entonces entonces tiene sentido tiene bastante sentido pensar pensar en el espacio columna de a transpuesta como el sub espacio generado por los renglones de la matriz a original vamos a llamar eso el espacio fila de ar así que esto es igual al espacio fila o el espacio generado por las filas los renglones de la matriz y cómo funciona esto pues si yo tengo una matriz que digamos está que está conformada por los los renglones de 1 transpuesta de 2 transpuesta eventualmente hablaremos de la transposición de vectores pero simplemente es pensar en los renglones hasta bn transpuesta si estos son los renglones de mi matriz son los renglones de matriz y entonces al transponer cada uno de estos se convierte en una columna así que por eso tiene sentido esta definición y qué hay del espacio nulo de a transpuesta pues comencemos por considerar a una matriz a que va a ser una matriz de m por n entonces su transpuesta a transpuesta sería una matriz de n por m y el espacio nulo de la matriz transpuesta lo definimos mediante la ecuación la matriz transpuesta por un vector x tiene que ser igual al vector cero qué pasa si trans pongo toda esta ecuación atrás pongo de ambos lados explicó transpuesta aquí y trans pongo el vector cero entonces yo sé por las propiedades de la matriz transpuesta que esto es igual a x transpuesto vector x transpuesto que noten que el vector x tiene que pertenecer a rm para que este producto tenga sentido así que x transpuesto lo puedo pensar como una matriz de 1 por m por la matriz transpuesta de a pero a eso le tengo que aplicar la transporta y eso me tiene que dar el vector 0 transpuesto ahora bien qué es esto de aquí esto de aquí simplemente sería x transpuesto por la matriz transpuesta de la tras puesta que es la matriz original a tiene que ser igual al vector cero transpuesto en otras palabras de que me lo anotó como conjuntos la nulidad o el espacio nulo de atrás puesto es igual a los vectores x en rn los vectores x en rm tales que a transpuesta x x es igual a el vector 0 pero esto por lo que acabamos de ver es completamente equivalente a los vectores x en r m tales que x transpuesto por la matriz a es igual a el vector 0 en r n y esto de aquí estoy aquí ya está en términos de mi matriz original y se llama esto se llama la nulidad o más bien vamos a decirle el espacio nulo el espacio nulo izquierdo izquierdo de la matriz a de a y por qué se llama el espacio no izquierdo porque pues recuerden que el espacio nulo normal está definido mediante la ecuación eran los vectores x tales que da por x era el vector cero así que multiplica vamos por la derecha en este caso estamos multiplicando por la izquierda y perdón aquí me comí una transpuesta es el vector cero transpuesto bien y noten que esto es un espacio completamente distinto es un espacio completamente distinto al espacio nulo original el espacio nulo izquierdo y el espacio nulo no son la misma cosa de hecho observemos observemos este de aquí con este color vamos a hacerlo este de aquí es mi espacio nulo de la matriz a transpuesta así que estoy aquí es mi espacio espacio nulo izquierdo izquierdo de la matriz a que tenía el principio de este vídeo y estoy acá es el espacio nulo original esto representa un plano en r3 y esto representa una línea en r2 así que geométricamente también son espacios muy muy distintos ni siquiera corresponden las dimensiones en la mayoría de los casos y que hay del espacio columna de a transpuesta pues dijimos que eso era el espacio fila de a y era esto de aquí esto de aquí es mi espacio fila de a es el espacio columna de la matriz transpuesta y es una línea en r3 mientras que el espacio columna de la matriz original donde está aquí está ahora estoy acá y era una línea en r2 así que de nuevo no tienen por qué ser el mismo objeto ok bueno bueno y antes de irme antes de irme me gustaría dejarles una última una última lección de este vídeo si se fijan el rango de mi matriz que era simplemente la dimensión de ese espacio columna coincidió coincidió con la dimensión del espacio columna de a transpuesta con la dimensión de su espacio fila así que esto siempre se cumple el rango el rango de siempre va a ser igual a el rango transpuesta y por qué pasa eso vamos a estudiar un poco por qué se tiene ese resultado pues cuando nosotros quisimos calcular cuántos de estos vectores eran linealmente independientes cuales generaban lo que dijimos fue que cada cada vector columna que fuera linealmente independiente se iba a corresponder con una columna pivote con una columna pivote en la matriz escalonada reducida ok cuando nos preguntamos cuántas de estas columnas son linealmente independientes pues esa pregunta es completamente equivalente como esta es la transporta es equivalente a preguntarnos cuáles de estos renglones son linealmente independientes pero eso también lo puedo deducir a partir de la forma escalonada reducida por renglones de mi matriz original porque el número de renglones que son linealmente independientes en la matriz original pues cada uno de ellos se va a corresponder ya no con una columna pivote sino con un renglón pivote en la forma escalonada reducida por renglones de la matriz a así que como tenemos un renglón pivote en este caso solo vamos a tener un renglón linealmente independiente pero si sólo tenemos un renglón independiente en la matriz a entonces sólo tenemos una columna que es linealmente independiente en la matriz a transpuesta así que bueno ese argumento funciona con toda generalidad lo pueden usar para cualquier matriz de ese modo pueden concluir que el rango de a es igual siempre al rango de la matriz transpuesta