If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:23:18

Transcripción del video

tengo aquí esta matriz de dos por tres esta matriz a y como ejercicio de repasó lo que quiero hacer es calcular tantos espacios nulos o movilidad como su espacio columna en su espacio generado por las columnas de matriz a así que bien comencemos el espacio nulo la nulidad de la matriz a es por definición el conjunto de todos los vectores x en donde pues tengo tres columnas así que todos los vectores xr3 tales que al multiplicar la matriz a por el vector x obtengo el vector 0 no tengo que comer como la matriz a es una matriz de dos por tres el vector 0 tiene que ser considerado en r2 así que bien otro modo de escribir esta misma condición de aquí es plantear la ecuación de acopio matriz a 2 - 1 - 3 - 426 es la matriz a multiplicada por por un vector en el retr es digamos x1 y x2 x 3 y esto lo tengo que igualar con esto lo tengo que igualar con el vector 0 de red oz así que con el vector 00 y tengo que resolver este sistema bien pues para resolver este sistema lo que voy a hacer es poner una matriz aumentada y matriz aumentada va a ser la primera parte va a ser igual a 2 - 1 - 3 - 4 2 6 y la voy a aumentar con esto con el 0 0 0 0 y ahora vamos a hacer operaciones elementales para llevarla a su forma escalonada reducida por renglones y eso esas operaciones no van a cambiar este lado derecho lo cual es de es en sí el argumento de por qué la forma escalonada reducida por renglones y la matriz original tienen el mismo espacio nulo pero bueno vamos allá entonces lo primero que voy a hacer va a ser dividir todo mi primer renglón por dos así que aquí tendría 1 - 1 / 12 - un medio menos 3 / 12 - tres medios 0 entre 20 y ahora lo que voy a hacer es dividir el segundo renglón entre cuatro así que aquí me quedaría menos uno de los 424 es menos 12 entre 4 es aún me dio positivo 6 entre 43 a tres medios positivos ser entre cuatro de nuevo es cero así que eso de ahí es la siguiente matriz y ahora ahora lo que voy a hacer es sumar en el primer renglón lo voy a dejar tal y como están 1 - un medio menos tres medios 0 y ahora voy a sumar este primer renglón al segundo renglón entonces uno menos más menos 10 - un medio más un medio es cero - tres medios matriz medios el 0 y 0 +0 es cero así que aquí ya tengo la forma escalonada reducida por renglones de mi matriz a pero y esto que me dice acerca de cómo tienen que ser x1 y x2 x 3 pues el modo más sencillo de averiguar qué es lo que me dice es simplemente escribir esto como el producto de la matriz 1 - un medio 3 - tres medios este 000 con el vector en el re 3 x1 y x2 x 3 este producto debe ser igual app 0 0 al vector 0 en rd 2 y aquí pues de aquí que puedo concluir si hago este producto matrices la primera entrada del vector sería uno por x1 más/menos un medio por x2 más o menos tres medios por x 3 esa sería la primera entrada de este vector -que es decir esto tiene que ser igual a cero y la segunda parte no me dan la información porque me dice 0 por algo más pero por algo más pero por algo es igual a cero así que realmente no ofrece nueva información estoy aquí esta ecuación la puede escribir como x1 es igual a un medio de x dos más tres medios de x3 y esto tiene sentido porque x1 noten que está de aquí esta es una columna pivote es una columna pivote así que corresponde a una variable dependiente y x2 y x3 que no corresponden a columnas pivote corresponden a variables libres así que como se ve mi espacio solución de esto pues mi espacio y solución sería los vectores x1 y x2 x 3 estos vectores que son de la forma pues vamos a escribir los as ii x2 x por algo por un vector más x3 por algún otro vector de nuevo x2 x 3 son mis variables libres ahora bien x1 es igual a un medio por x 2 así que un medio por equis dos más tres medios por equis tres más tres medios por x 3 x 2 es igual a 1 x x 20 x x 3 y x3 es igual a cero por equis dos más uno por x 3 así que nuestro espacio no lo es el conjunto de vectores de esta forma pero eso también lo puede escribir como el espacio anuló de la matriz a va a ser igual al psuv espacio generado por todas las combinaciones lineales de estos dos vectores es decir en su espacio generado por el vector un medio 10 y el vector tres medios 0 uno a veces también verán esto escrito como el spam de spam del vector un medio 10 y el vector tres medios 01 bien así que esto es nuestro espacio nulo qué hay del espacio columna bien pues como les decía el espacio columna es el espacio generado por las columnas de la matriz a así que el espacio columna de a va a ser igual al espacio al su espacio generado por los lectores 2 - 42 - 4 - 12 y y menos 36 ahora aquí tengo algunos vectores demás porque si se fijan estos vectores no sólo linealmente independientes de hecho nosotros sabemos que si ponemos a la matriz en su forma escalonada reducida la base del espacio columna corresponde a los vectores que se transforman en columnas pivote así que estoy aquí es lo mismo que el psuv espacio generado por el vector 2 - 4 y de hecho esto no es inesperado porque no tienen que esta segunda columna es simplemente menos un medio por la primera y esta tercera columna es menos tres medios por la primera columna y sólo para no dejarlo el rango de a recuerden que el rango de una matriz define como la dimensión de su espacio columna así que en este caso la dimensión simplemente es uno porque es el número de vectores que me generan el espacio columna bien o que ya que tenemos eso pues nosotros hemos estado trabajando con las matrices transpuestas así que ahora quiero ver qué sucede con estos espacios con la matriz a transpuesta quienes la matriz a transpuesta pues sencillamente va a ser la matriz cuyas columnas son los renglones de a así que déjenme les copio sería la primera columna sería 2 - 1 - 3 y la segunda columna sería menos otro 26 es mi matriz atrás pues está muy bien así que quién es el espacio nulo espacio nulo de toda nulidad de la matriz a transpuesta pues la matriz atrás pues está ahora es una matriz de 3 por 2 entonces el espacio nulo la nulidad de atrás pues ésta va a consistir en los vectores x en donde pues ésta es una matriz de 3 x 2 tiene dos columnas y que son los las equis en ahora en r2 tales que la matriz a transpuesta por x es igual al vector 0 ahora en r3 porque tengo tres renglones bien entonces como decíamos lo que voy a hacer es transformar esta matriz o llevar esta matriz a su forma escalonada reducida por renglones así que veamos voy a dividir el primer renglón entre dos así que obtengo 1 - 2 luego el segundo renglón lo voy a dejar así como ésta - 12 y el tercer renglón lo voy a dividir entre 3 - 1 y 6 entre 3 a 2 perfecto ahora qué más se puede hacer esta matriz pues déjenme dije me voy a dejar el primer renglón igual 1 - 2 voy a cambiar el segundo renglón por el primero más el segundo uno más menos 102 más/menos 2 0 y voy a cambiar el tercer renglón por el tercero más el primero menos uno más uno es cero y dos más menos 2 también es cero así que ya tengo aquí me matriz esta es la forma escalonada reducida por renglones affaire de la matriz ha transpuesto y noten noten que tengo sólo una columna pivote así que estoy aquí cuando hablemos del espacio columna sabremos qué es el generado por este vector pero bueno para encontrar la nulidad lo que voy a hacer es simplemente escribir lo siguiente la anualidad de atrás puerta es igual a la nulidad de su forma escalonada reducida por renglones así que vamos a escribir la ecuación uno menos 20 000 por un vector x1 y x2 eso me tiene que dar el vector 0 en el re 3000 muy bien y de aquí que concluyó pues sí resuelvo estas ecuaciones se expanda este producto matricial obtendría que x 1 - 2 x 2 es igual a cero o lo que es lo mismo x1 es igual a 2 veces x 2 de modo que en modo que la nulidad o el espacio nulo de la matriz la respuesta de a es igual a el conjunto de vectores en el reto vamos a escribir los x 1 x 2 tales que que pues necesito que x1 y x2 obedezca lo siguiente x uno tiene que ser igual a 2 veces x 2 así que dejé me pongo así voy a poner x2 aquí porque esa es muy variable libre no corresponde a una columna pivote así que x2 x x 2 x 2 veces x 2 x1 y x2 x 1 me da x2 estoy aquí o lo que es lo mismo esto es el conjunto de todas las combinaciones viñales de este vector pero eso es simplemente en su espacio vectorial generado por el vector 21 perfecto y qué hay del espacio columna de atrás pues está pues eso es el espacio en su espacio generado por las columnas de apuesta por la el vector 2 - 1 - 3 y el vector -4 26 pero sólo el primero se corresponde con una columna pivote en la forma escalonada reducida por renglones de la matriz atrás puesta así que nosotros ya sabemos que el espacio columna de atrás pues ésta va a ser generado exclusivamente por el vector 2 - 1 - 3 de hecho si se fijan la segunda columna es simplemente la primera columna por -2 y esto geométricamente es simplemente una línea en el re 3 esto genera una línea de tres y espero en otro video poder dar una interpretación genética de estos resultados ahora bien qué significa el espacio columna de a transpuesta y el espacio nulo o la nulidad de atrás pues está pues el espacio columna de atrás pues está para empezar es el generado por las columnas de atrás puesto es decir por esa que está encerrada en amarillo en verde y hasta que está encerrada en amarillo pero esas quienes son pues son precisamente son precisamente las los renglones de la matriz a original son precisamente estos dos y de hecho cuando nosotros ya sabemos que estos dos son linealmente dependientes no entonces entonces tiene sentido tiene bastante sentido pensar pensar en el espacio columna de atrás pues está como él su espacio generado por los renglones de la matriz original vamos a llamar eso el espacio fila de a así que esto es igual al espacio fila o el espacio generado por las filas los renglones de la matriz a y cómo funciona esto pues si yo tengo una matriz a que digamos ésta que está conformada por los renglones de 1 transpuesta de dos transpuesta eventualmente hablaremos de la trasposición de vectores pero simplemente es pensar en en los renglones hasta bn transpuesta si éstos son los renglones de mi matriz a los renglones motriz a entonces al transponer cada uno de éstos se convierte en una columna así que por eso tiene sentido esta definición y qué hay del espacio nulo de atrás pues está pues comencemos por considerar a una matriz a que va a ser una matriz de gm por n entonces su transporte está atrás pues ésta sería una matriz de en 'por m y el espacio nulo de la matriz la respuesta lo definimos mediante la ecuación la matriz apuesta por un vector x tiene que ser igual al vector 0 qué pasa si transponga toda esta ecuación tras pongo de ambos lados explicó transpuesta aquí y transponga el vector 0 entonces yo sé por las propiedades de la matriz transpuesta que esto es igual a x transpuesto vector x transpuesto que noten que el vector x tiene que pertenecer a rm para que este producto tenga sentido así que x transpuesto lo puedo pensar como una matriz de 1 x m por la matriz transpuesta de aaa pero a eso tengo que aplicar la transportista y eso me tiene que dar el vector 0 transpuesto ahora bien qué es esto de aquí estoy aquí simplemente sería x transpuesto por la matriz transpuesta del atlas pues está que es la matriz original a tiene que ser igual al vector 0 transpuesto en otras palabras de que melo anotó como conjuntos la nulidad o el espacio nulo de atrás puesta es igual a los vectores x en rsm los vectores x nrm tales que atrás pues está por x es igual a el vector 0 pero esto por lo que acabamos de ver es completamente equivalente a los vectores x en rm tales que x transpuesto por la matriz a es igual a el vector 0 en r n y estoy aquí estoy aquí ya está en términos de matriz original y se llama esto se llama la nulidad o más bien vamos a decirle el espacio nulo el espacio nulo izquierdo izquierdo de la matriz a de up y por qué se llama el espacio no lo izquierdo por qué pues recuerden que el espacio onu lo normal está definido mediante la ecuación eran los vectores x tales que a por x era el vector cero así que multiplica vamos por la derecha en este caso estamos multiplicando por la izquierda a y perdón aquí me comí una transpuesta es el vector 0 transpuesto bien y no temen que esto es un espacio completamente distinto es un espacio completamente distinto al espacio nulo original el espacio no lo izquierdo y el espacio nulo no son la misma cosa de hecho observemos observemos esté aquí con este color serio estoy aquí es mi espacio nulo de la matriz apuesta así que estoy aquí es mi espacio espacio nulo izquierdo izquierdo de la matriz a que tenía al principio de este vídeo y estoy acá es el espacio nulo original esto representa un plano el r3 y esto representa una línea en rd 2 así que o métrica mente también son espacios muy muy distintos ni siquiera corresponden las dimensiones en la mayoría de los casos y qué hay del espacio columna de atrás fuerza pues dijimos que eso era el espacio fila de a y era esto de aquí estoy aquí es mi espacio fila de a es el espacio columna de la matriz apuesta y es una línea en el re 3 mientras que el espacio columna de la matriz original donde está aquí ésta era estoy acá y era una línea en r2 así que de nuevo no tienen por qué ser el mismo objeto ok bueno bueno y antes de irme antes de irme me gustaría dejarles una última una última elección de este vídeo si se fijan el rango de mi matriz a que era simplemente la dimensión de ese espacio columna coincidió coincidió con la dimensión del espacio columna de a transpuesta con la dimensión de su espacio fila así que esto siempre se cumple el rango en rango de a siempre va a ser igual a el rango de a transpuesta y por qué pasa eso vamos a estudiar un poco porque se tiene ese resultado pues cuando nosotros quisimos calcular cuántos de estos vectores eran linealmente independiente cuales generaban lo que dijimos fue que cada cada vez por columna que fuera linealmente independientes y va a corresponder con una columna pivote como una columna pivote en la matriz escalonada reducida gay y cuando nos preguntamos cuántas de estas columnas son genialmente independientes pues esa pregunta es completamente equivalente como ésta es la transportista es equivalente a preguntarnos cuáles de estos renglones son linealmente independientes pero eso también lo puedo deducir a partir de la forma escalonada reducida por renglones de mi matriz original porque el número de renglones que son linealmente independientes en la matriz original pues cada uno de ellos se va a corresponder ya no con una columna pivote sino con un renglón pivote en la forma escalonada reducida por renglones de la matriz a así que como tenemos un renglón pivote en este caso sólo vamos a tener un renglón linealmente independiente pero si sólo tenemos un reglón independiente la matriz a entonces sólo tenemos una columna que es linealmente independiente en la matriz a transpuesta así que bueno ese argumento funciona en contra generalidad no pueden usar para cualquier matriz y de ese modo pueden concluir que el rango de a es igual siempre al rango de la matriz transpuesta