Transpuesta del producto de matrices

aquí tengo varias matrices la primera matriz es a que tiene m renglones y n columnas la segunda matrices b que tiene en renglones y m columnas y sus transpuestas que recuerden simplemente es el resultado de intercambiar renglones por columnas ok ahora la entrada que estaría aquí en la matriz a ahí ese color está mal voy a hacer este de entrada que está aquí en la matriz a sería el máximo renglón hijo teshima columna así que sería amj la entrada que estaría aquí sería el enésimo renglón y la j décima columna sí que es la bn j muy bien entonces quiero definir dos matrices nuevas quiero definir la matriz c matriz sé que va a ser el producto de la matriz a por la matriz b qué dimensiones va a tener pues primero noten que está en el número de columnas en la es igual al número de renglones en b así que el producto está bien definido y la matriz se va a tener dimensiones igual a los extremos así que va a ser una matriz de m por m va a ser matriz de m por m bien y también también quiero definir la matriz de vamos a hacerlo acá bajito que va a ser el producto de b transpuesta por a transpuesta de transpuesta por a transpuesta y que dimensiones va a tener de nuevo el número de columnas en vez transpuestas es igual al número de renglones en la transporta así que el producto está bien definido y voy a tener dimensiones o de va a tener dimensiones igual a los extremos m por m m por m muy bien noten que si la matriz ce tiene la forma general la puede escribir como se 1 1 1 2 así hasta c 1 m esa sería mi primer renglón el segundo renglón sería c 2 1 por 0 2 2 hasta c 2 y aquí bajaría hasta llegar a cm1 m2 hasta se m m ahora bien una entrada general en esta matriz una entrada se y j qué forma tiene quiero encontrar la forma de esta entrada de la entrada más general posible la entrada se y j pues la entrada se y j la entrada ce y j de la matriz se la puedo obtener como el producto interior de la décimo renglón de la matriz a este de aquí este es el vigésimo renglón de la matriz con su producto interior con la jota décima columna de la matriz b con esto de aquí entonces quién sería sería a y 1 por b 1 j ya hay 1 por b 1 j más hay 2 por b 2 j y 2 x de 2 j y así continuaría hasta y n por b n j ahora que hay de la matriz de que hay de esta matriz de pues de nuevo la matriz de la puede escribir como de 11 de de 12 así hasta de 1 m y hasta aquí llegaría hasta de m m en general lo mismo que arriba pero ahora quiero enfocarme en quién sería la entrada de j normalmente uso jota para escribir columnas y para describir renglones pero en este caso quiero hacerlo al revés así que quién sería la entrada de jota y en esta matriz de pues sería el resultado de tomar el producto interior de el décimo renglón de be transpuesta que sería estoy aquí recuerden que en este caso como esta es la matriz transpuesta de b es la matriz traspuesta eve así que los índices están al revés y de hecho esta es la matriz transpuesta de así que también los índices están al revés pero bueno la entrada de j iba a ser el producto de este renglón la matriz be transpuesta del décimo renglón con la y encima columna de a transpuesta con esta de aquí muy bien entonces cuánto es eso pues sería de 1 j por hay uno que como esos dos números como tan puede escribir como hay uno por b 1 j luego ver más b 2 j por ahí 2 de nuevo como estos dos números como tan puede escribir eso como hay 2 por b 2 j y así continuaría continuaría hasta llegar a bmj por ahí en cuando que es lo mismo hay n por b nj y aquí quizás ya se están dando cuenta de algo curioso para empezar para empezar este renglón de aquí es igual a esta columna de acá y este renglón de acá es igual a esta columna de acá así que en realidad estas dos cosas estas dos cosas son iguales así que de hecho pueden comparar aun hay uno por b 1 j hay uno por b 1 j + hay 2 por b 2 j + hay 2 por b 2 j así que en general se y j es igual a de j y esto es cierto cierto para todas las entradas para todas las entradas pero eso que me dice eso me dice que la entrada que está en la en el décimo renglón y en la décima columna en esta matriz es igual a la entrada que está en el argot en el jote ximo renglón y la y encima columna de esta matriz de eso es la definición de transpuesta así que en realidad esto me está diciendo que se es igual a de transpuesta y equivalentemente que d es igual a ser transpuesta recuerden que la matriz traspuesta simplemente es el resultado de intercambiar columnas por renglones pero bien quién era c pues se era el producto de la matriz a con la matriz b y quién era de d era el resultado de multiplicar a b transpuesta por a transpuesta así que en efecto esto me está diciendo eso me está diciendo desigual hace transpuesta así que se transporta es igual a por b transpuesta pero eso es igual a d pero el de es de transpuesta x a transpuesta así que en efecto lo que acabo de probar es que la matriz traspuesta del producto de dos matrices es el producto de las tras puestas en orden invertido es decir la matriz a por la matriz b transpuesta es lo mismo que la matriz b transpuesta por la matriz a transpuesta y en general esto se puede generalizar hacia cualquier número de matrices bastante fácilmente por ejemplo si yo quisiera escribir puedes descubrir quién es la transporta de la matriz x por la matriz por la matriz zeta si quisiera obtener la transpuesta de eso pues el resultado sería z transpuesta x de transpuesta por x transpuesta no voy a probar esto pero es un ejercicio sencillo así que se los dejo de tarea hasta la próxima