Transpuesta de un vector

ahora que entendemos muy bien cómo tomarla transpuesta de una matriz podríamos preguntarnos y no hay razón para la cual no podamos hacerlo tienes la transpuesta de un vector de un vector b que vamos a pensar es el vector de uno de dos hasta hasta de n así que bien tienes este vector transpuesto quien sería de transpuesto pues podemos pensar en este vector b como una matriz de n por uno tiene en entradas y una columna así que b transpuesta sería una matriz de uno por n y sería simplemente tomar esta columna y convertirla en un riñón así que sería la matriz o el vector de uno de dos hasta y en este sentido en este sentido de hecho ya lo he hecho lo había hecho antes podría definir una matriz a como la matriz cuyos renglones son algún vector a1 transpuesto un vector a 2 transpuesto y así así hasta un vector a m transpuesto y entonces podría hablar de los renglones de la matriz a pero bueno no quiero distraerme mucho ya que tengo esto que más puedo hacer con estos vectores pues por ejemplo podría pensar en otro vector w vamos a pensar en un vector w digamos dado por www hasta wv en este es otro vector de rn ok y podría en principio tomar el producto interior el producto punto debe con w quien sería el producto punto w pues por definición simplemente sería de 1 por w 1 más de 2 por w 2 y así así continuar sumando estas cosas hasta de n por w en la definición del producto punto simplemente es multiplicar las entradas correspondientes e irla sumando ok pero como se relaciona esto con esto que tenemos acá arriba de las trans puestas pues si yo anotó esto como o más bien si considero el producto de b transpuesto que quien sería haber transpuesto sería el vector de 1 b 2 sería la matriz perdón la matriz b1 b2 hasta en la tengo acá arriba si estaré aquí y la podría multiplicar por vamos a usar otro color vamos a usar azul no podría multiplicar por la matriz www hasta w m esto de aquí es sencillamente el vector w pues aquí tengo un producto tengo un producto de una matriz de 1 por n con una matriz de n por 1 así que como coinciden el número de columnas en esta matriz / transpuesta con el número de renglones en w este producto está bien definido y quién es pues sería una matriz de uno por uno sería una matriz de uno por uno y sería la matriz de uno por doble uno más de dos por w dos más continúa sumando hasta que llegó a b n por w n así que tengo esta matriz pero si ustedes se fijan estas dos cosas estas dos cosas realmente son lo mismo la única diferencia es que esta es una matriz pero puedo hacer esta identificación y pensar en estas dos cosas como el mismo objeto de ese modo si hago esta identificación de las matrices de uno por uno con simplemente números reales bueno matrices de uno por uno con entradas reales con números reales entonces podría decir podría decir que el resultado de tomar ave y hacerle producto interior con w que incidentalmente sería lo mismo sería exactamente lo mismo que w producto puntocom de estas dos cosas son iguales y esto lo puedo pensar como simplemente el resultado de multiplicar a la matriz be transpuesta por la matriz w así que hay un modo de relacionar el producto punto de vectores con el producto de la matriz transpuesta de un vector con el otro vector pensados como matrices así que aquí tenemos un resultado bastante bonito veamos qué más puedo hacer con las trans puestas bien pues qué pasa si ahora tengo por ejemplo una matriz anna que es una matriz de m por n y tengo un vector x tengo un vector x vamos a pensar que x es un miembro d un miembro de r y entonces puedo pensar a x como una matriz de n por 1 así que esto digamos que me da un vector zeta y qué forma va a tener zeta pues zeta z es el resultado de multiplicar estas dos matrices estoy pensando al vector x como una matriz de n por 1 entonces el resultado tendría dimensiones estas dos se cancelan y tendría m renglones y una columna así que zeta ceta se vería algo así z 1 z 2 hasta hasta z m ahí estaría z así que z puedo pensar a z qué es lo mismo qué es lo mismo que el resultado multiplicar a x por la matriz a como un elemento de r m perfecto pero entonces si tengo un elemento de rm y yo tengo otro vector nrm digamos que también está en r m entonces tendría sentido tendría bastante bastante sentido si ahora me preocupo por qué pasa si yo hago el producto interior de a por x que recuerden es receta que estén rm y le hago producto interior producto punto con quien sería esto pues a ver veamos mi definición bajo esta identificación que hicimos de vectores con matrices y bueno vectores con matrices de n x 1 y también con matrices de uno por uno con números reales esto sería lo mismo que a x x transpuesta por el vector y como producto de matrices pero nosotros sabemos que hace creo que dos o tres vídeos que si tenemos la traspuesta del producto de las matrices a y b esto es lo mismo que la transporta y ve por la transporta de a así que transponga e invierte el orden ok entonces tienes esto pues esto de aquí sencillamente se reduciría a x transpuesta x a transpuesta eso sería el primer caso y eso lo voy a multiplicar x x y el vector ahora yo sé también lo vimos hace ya varios vídeos que el producto de matrices es asociativo no importa como ponga los paréntesis así que esto también lo podría escribir como x transpuesta x a transpuesta por el vector que recuerden estoy identificando a los vectores a un vector en este caso en r m con una matriz de m por 1 y eso es lo que me permite tomar transpuestas y tratar esto como el producto de matrices muy bien pero ahora quien esa transpuesta pues la transpuesta es alguna matriz a era de m por n así que a transpuesta es alguna matriz de n por m y ya es un vector en r m así que este producto está bien definido x déjenme voy anotando las dimensiones a transpuesta es de n por m y es un vector de rm y es un vector de r m así que lo puedo pensar como una matriz de gm por 1 así que todo esto de aquí toda esta matriz sería una matriz de dimensiones se cancelan las emes y me queda n por 1 así que esto esto lo puedo pensar como miembro de rn que está perfecto porque x pertenecía a rn x pertenecía a irene entonces utilizando esta definición de acá arriba esta identificación x transpuesta por esta cosa es lo mismo así que déjenme lo pongo acá esto es lo mismo x el vector x producto interior con el vector a transpuesta por d tengo que el resultado de tomar el producto interior de a por x con un vector de es igual a el vector x producto interior o producto puntocom a transpuesta por d este resultado es bastante útil y bastante importante más adelante lo vamos a ver ok entonces déjenme anoto todas las casas que hicimos en este vídeo descubrimos dos cosas muy importantes la primera es que ve producto punto con w lo puedo pensar como de transpuesta por w pensándolo como el producto de matrices y asumo que todo esto tienen las dimensiones adecuadas para que esto esté bien definido y el otro resultado importante que descubrimos es que qué color uso amarillo es que a por el vector x producto punto con un vector de es lo mismo que x producto punto con a transpuesta por el vector y este resultado es más bien este par de resultados va a ser bastante útil en el futuro