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Transcripción del video

en este vídeo quiero ver si puedo probar más resultados interesantes acerca de las matrices transpuestas y bueno vamos a comenzar considerando una matriz e que va a ser la suma de otras dos matrices a y b así que sé es igual a ambas ve a y b tienen que tener la misma dimensión para que la suma está bien definida y se va a tener la misma dimensión que a quique ve pero bueno quien es una entrada típica en la matriz e que en esa entrada y j de la matriz eva moza denotar la porsche y j pues la suma de las matrices no definimos como la matriz que se obtiene sumando las columnas de a con las columnas correspondientes debe así que la primera columna ese sería la primera columna de amas la primera columna debe etcétera pero eso se reduce a sumar las matrices entrada entrada así que si hay j es la entrada en la en el ies simón renglón y la hotte cima columna de a entonces feijóo está se obtiene como hay j más de hijo está donde lógicamente b y j es la entrada que está en el décimo renglón hijo teshima columna debe ok ahora qué pasa si comienzo pesar en las trans puestas vamos a suponer que la matriz a la matriz acb algo así es la matriz cuya central tienen la forma y j no voy a escribir todas las entradas porque me tardó muchísimo tiempo así que bien la matriz acb algo así como se ve su tan puesta pues vamos a decir que la transtu ésta tiene entradas a prima y j esta primavera de notar que estoy trabajando en la transportista y ahora bien la transtu ésta que es pues es el resultado de intercambiar los renglones y las columnas de a así que esta entrada que que está en la posición y j que estaría en el mismo lugar que ésta no es igual a ésta en general no es igual no tiene por qué ser igual en sí esta entrada se obtienen se obtiene intercambiando los renglones y las colgó así que la entrada en la transtu ésta que está en la oposición y jota se corresponde con la entrada que está en la posición j y en la matriz original correspondería digamos con esta entrada de aquí no tiene por qué ser igual a ésta pero sí es igual a estoy acá estas dos son iguales ok y el mismo argumento lo pueda aplicar para bebé vamos a decir que ve transpuesta es igual a la matriz a la matriz cuyas entradas son de hijo está prima así que es exactamente lo mismo la prima de nota a la transportista estoy trabajando con entradas de la respuesta y quiénes son las entradas de beta prim debe prima quienes ve y j prima pues de nuevo dijo está prima va a sencillamente ser de jota y donde bj y es la entrada de la matriz ve así que bueno si tuviera aquí la entrada en la matriz la respuesta que está en la el segundo renglón tercera columna entonces se sabe el día de la entrada que está en el tercer renglón segunda columna pero bueno vamos a regresar este problema vamos a suponer que se transporta es de nuevo la matriz que se ve algo así sus entradas son de la forma se prima y j&j esa es ser transpuesta ahora bien qué forma tiene se prima y j pues sí está en la supuesta así como lo hicimos acá se prima y j es lo mismo que se j y ok y esto tienes pues esto nosotros sabemos que aquí que se j y es lo mismo que aj y más b j y es como si esto fuera una ecuación con incógnitas x y llegamos es asequible es igual a ax de más bx y aki sustituyó x x j y jie por iu entonces obtengo aj y más bj y ok y esto a su vez quienes pues yo sé que acá arriba yo sé que aj y es lo mismo que hay j prima hay j prima o a prima y j y bj y es lo mismo que ve prima y j de prima y j pero quiénes son estos nosotros ahora sabemos que esto de aquí esto son las entradas de setas puesto así que tengo que se transporta que es lo mismo que a más de atrás pues está igual a más vez la respuesta tiene entradas iguales a la suma de las entradas de la matriz a transpuesta con las de la matriz vez la respuesta sí que estoy aquí es en realidad atrás pues está más ve transpuesta así que tenemos un gran signo igual aquí tomar la transportista de la suma de matrices equivale a primero transponer y después sumar así que este resultado es bastante interesante vamos a hacer otro resultado bien pues qué pasa ahora si consideramos esto ya es aparte si consideramos que al menos uno es la inversa la matriz inversa bersa de a y recuerden que quiere decir que una matriz ya la matriz inversa de otra pues esto quiere decir que a al menos uno por a es igual a la matriz identidad de las dimensiones de a-ha tiene que ser una matriz cuadrada y la identidad tiene que tener las mismas dimensiones y además también quiere decir que a por a la inversa al menos uno también es la matriz identidad recuerden que estas dos cosas el producto matrices no es conmutativo así que estas dos cosas podrían ser diferentes ok lado eso dado eso qué pasa si tras pongo y tras pongo estas dos ecuaciones por ejemplo si tomo esta isla tras pongo obtengo que al menos uno por a transpuesta debe ser igual a la identidad transpuesta pero quienes la identidad transpuesta vamos a ver la identidad quienes pues la identidad de n por n es la matriz que tiene unos en la diagonal tiene puros 1 sobre la diagonal y ceros en todos los demás lugares pero quise roca así que si la transponga e intercambio renglones por columnas lo único que estoy haciendo es intercambiando ceros porque todo lo que está sobre la diagonal se queda igual sólo estoy cambiando es tercero por este 0 pero en si los unos se quedan igual así que la respuesta de la identidad la transportó de la identidad es la identidad por otro lado yo sé que esto y aquí la respuesta un producto es el producto de los factores trans puestos pero con orden invertido así que esto sería sería a transpuesta por al menos 1 transpuesta y eso me da la identidad pero si yo ahora tomo está en esta ecuación de aquí y la transponga que obtendría pues obtendría a por a al menos 1 transpuesta es igual a la identidad transpuesta que es igual a la identidad pero quienes estoy aquí de nuevo esto sería a al menos 1 transpuesta por a transpuesta en otras palabras qué implica esto que puedo deducir de todo estoy aquí pues estas dos cosas juntas me implican que al menos uno transpuesta es la inversa es la inversa de a transpuesta o otro modo escribir esto es al menos 1 transpuesta es igual a atrás pues está a menos uno es decir la inversa de la matriz transpuesta es sencillamente la transportista de la matriz inversa de la matriz original así que este resultado también es bastante interesante