Transpuesta de sumas e inversas

en este vídeo quiero ver si puedo probar más resultados interesantes acerca de las matrices transpuestas y bueno vamos a comenzar considerando una matriz ce que va a ser la suma de otras dos matrices a y b así que se es igual a b a y b tienen que tener la misma dimensión para que la suma está bien definida y se va a tener la misma dimensión que a y que ve pero bueno tienes una entrada típica en la matriz sé quién es la entrada y j de la matriz se vamos a derrotarla por 6 j pues la suma de las matrices la definimos como la matriz que se obtiene sumando las columnas de a con las columnas correspondientes de b así que la primera columna ese sería la primera columna de además la primera columna debe etcétera pero eso se reduce a sumar las matrices entrada entrada así que si hay jota es la entrada en la en el décimo renglón y la hotte sima columna de a entonces se y j se obtiene como ay j y j donde lógicamente b y j es la entrada que está en el vigésimo renglón hijo teshima columna debe ok ahora qué pasa si comienzo a pensar en las trans puestas vamos a suponer que la matriz a la matriz se ve algo así es la matriz cuyas entradas tienen la forma hay j no voy a escribir todas las entradas porque me tardo muchísimo tiempo así que bien la matriz a se ve algo así como se ve su transpuesta pues vamos a decir que la transporta tiene entradas a prima y j esta prima va a denotar que estoy trabajando en la transporta y ahora bien la transpuesta que es pues es el resultado de intercambiar los renglones y las columnas de a así que esta entrada que aquí está en la posición y jota que estaría en el mismo lugar que ésta no es igual a esta en general no es igual no tiene por qué ser igual en si esta entrada se obtiene se obtiene intercambiando los renglones y las columnas de así que la entrada en la transporta que está en la posición y jota se corresponde con la entrada que está en la posición j y en la matriz original se correspondería digamos con esta entrada de aquí no tiene por qué ser igual a esta pero si es igual a esta de acá estas dos son iguales ok y el mismo argumento lo puedo aplicar para ver vamos a decir que b transpuesta es igual a la matriz a la matriz cuyas entradas son de i j prima así que es exactamente lo mismo la prima de nota a la trans presta estoy trabajando con entradas de la trans puesta y quiénes son las entradas de beta print debe prima quien es b y jota prima pues de nuevo de y j prima va a sencillamente ser de jota y donde bj y es la entrada de la matriz b así que bueno si tuviera aquí la entrada en la matriz transpuesta que está en la en el segundo renglón tercera columna entonces esa vendría de la entrada que está en el tercer renglón segunda columna pero bueno vamos a regresar a este problema vamos a suponer que se transporta es de nuevo la matriz que se ve algo así sus entradas son de la forma se prima y j y j por qué esa es ser transpuesta ahora bien qué forma tiene se prima y j pues sí está en nuestras puestas así como lo hicimos acá se prima y jota es lo mismo que se j y ok y esto tienes pues esto nosotros sabemos de aquí que se j y es lo mismo que a j más de jota y es como si esto fuera una ecuación con incógnitas xy ya digamos es x es igual a x v x y xi aki sustituyó x x j deport y entonces obtengo aj y bj ok y esto a su vez quienes pues yo sé que acá arriba yo sé aj allí es lo mismo que hay jota prima prima prima y j y bj y es lo mismo que ve prima y j de prima y j pero quiénes son estos nosotros ahora sabemos que esto de aquí esto son las entradas de este transporte así que tengo que ser transpuesta que es lo mismo que a más b transpuesta es igual a más b transpuesta tiene entradas iguales a la suma de las entradas de la matriz a transpuesta con las de la matriz b transpuesta así que esto de aquí es en realidad a traspuesta más b transpuesta así que tenemos un gran signo igual aquí tomar la transpuesta de la suma de matrices equivale a primero transponer y después sumar así que este resultado es bastante interesante vamos a hacer otro resultado bien pues qué pasa ahora si consideramos esto ya esa parte si consideramos que a la menos uno a la inversa la matriz inversa versa y recuerden que quiere decir que una matriz ya la matriz inversa de otra pues esto quiere decir que a la menos uno por a es igual a la matriz identidad de las dimensiones de a a tiene que ser una matriz cuadrada y la identidad tiene que tener las mismas dimensiones y además también quiere decir que a por la inversa por al menos uno también es la matriz identidad recuerden que estas dos cosas el producto de matrices no es conmutativo así que estas dos cosas podrían ser diferentes ok dado eso dado eso qué pasa si atrás pongo si atrás pongo estas dos ecuaciones por ejemplo si tomo esta isla atrás pongo obtengo que a la menos uno por a transpuesta debe ser igual a la identidad transpuesta pero quién es la identidad transpuesta vamos a ver la identidad quién es pues la identidad de n por n es la matriz que tiene unos en la diagonal tiene puros uno sobre la diagonal y ceros en todos los demás lugares pero aquí 0 acá así que si la trans pongo e intercambio renglones por columnas lo único que estoy haciendo es intercambiando ceros porque todo lo que está sobre la diagonal se queda igual sólo estoy cambiando este 0 por este 0 pero en si los unos se quedan igual así que la respuesta de la identidad la transpuesta de la identidad es la identidad por otro lado yo sé que esto de aquí la transpuesta de un producto es el producto de los factores tras puestos pero con orden invertido así que esto sería sería transpuesta por al menos 1 transpuesta y eso me da la identidad pero si yo ahora tomo está en esta ecuación de aquí y la atrás pongo que obtendría pues obtendría por al menos 1 transpuesta es igual a la identidad transpuesta que es igual a la identidad pero quienes estoy aquí de nuevo esto sería a al menos 1 transpuesta por a transpuesta en otras palabras qué implica esto que puedo deducir de todo esto de aquí pues estas dos cosas juntas me implican que a al menos 1 transpuesta es la inversa es la inversa d transpuesta u otro modo de escribir esto es a la menos 1 transpuesta es igual a a transpuesta a la menos 1 es decir la inversa de la matriz transpuesta es sencillamente la transpuesta de la matriz inversa de la matriz original así que este resultado también es bastante interesante