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Definir el ángulo entre vectores

Introducción a la idea de un ángulo entre dos vectores. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

hace algunos vídeos atrás nosotros introducimos la idea de longitud de un vector y esto era una idea genial porque estamos acostumbrados a la longitud de cosas en dos o tres dimensiones pero se vuelve bastante abstracto cuando nosotros llegamos a n dimensiones si por ejemplo tenemos un vector de 100 componentes por lo menos para mí es bastante difícil visualizar el vector en 100 dimensiones pero en realidad hemos definido su noción de longitud y nosotros vimos que esto en verdad es un valor escalar es sólo un número en este vídeo quiero intentar definir la noción de ángulo entre vectores como se puede ver estamos construyendo esta matemática de los vectores desde la base y no podemos decir simplemente yo sé que es un ángulo porque pues todos sabemos lo que es un ángulo o incluso longitudes si solo lo aplicamos a vectores de dos o tres dimensiones es decir a un espacio vip o tridimensional pero en todo el estudio del álgebra lineal consiste en extraer estas ideas a un espacio multidimensional y bueno ni siquiera ha definido todavía lo que es una dimensión pero creo que ya tiene una idea hasta cierto grado de lo que esto eso creo que tenemos una buena idea de qué es una dos o tres dimensiones y bueno a continuación lo primero que voy a hacer es tomarme dos vectores que existan en rn que existen en rn y que están vectores que no son cero así que vamos a escribirlo me voy a tomar dos vectores mi vector am y mi vector b tales que existan en rn es decir pueden existir en un espacio con n dimensiones pero lo que voy a pedir es que ni a ni b sean el vector 0 así que bueno para hacer esto un poco más didáctico voy a suponer que están en r 2 o que al menos podemos visualizar a estos dos vectores por lo tanto voy a dibujar aquí el vector am y esto de aquí va a ser mi vector ven ojo estamos visualizando estos dos vectores y bueno este vector que tengo aquí si pensamos en colas y cabezas es a menos vemos y lo podemos revisar porque es el vector al cual si nosotros le agregamos b me da el vector a es decir el vector de más el vector a menos bm da el vector am y creo que aquí lo podemos ver con mucha claridad ahora bien lo que voy a hacer es construir un triángulo muy parecido a este triángulo de vectores que tengo aquí pero este triángulo va a tener en lugar de vectores medidas y es que recuerda que estos vectores no forzosamente tienen que estar en r2 pueden ser bestias que estén en en las dimensiones lo único que estoy tomando es una visualización de ellos cada uno de ellos podría tener no sé por ejemplo 100 componentes pero para ayudarme a tomarme la definición de ángulo entre vectores lo que voy a hacer es un triángulo muy parecido a este tenemos lo que tenía aquí pero con una gran diferencia en lugar de estar construido por vectores lo voy a construir con la longitud de estos vectores es decir con una medida escalar aquí no voy a tomar la longitud de amd aquí no voy a tomar la longitud de a menos ven a menos ve a menos ven o menos a perdón y aquí también voy a tomar la longitud de ve y date cuenta que como las longitudes son números escalares son números entonces puedo construir este triángulo y es que este triángulo me va a servir bastante para que yo pueda definir lo que es un ángulo entre vectores pues este triángulo hasta lo puedo dibujar en un papel y bueno lo que sería muy importante saber es qué condiciones necesito para que este triángulo system es decir qué condiciones son necesarias para que yo pueda construir este triángulo dados mis tres vectores y bueno se me ocurre que para responder a esta pregunta puedo pensar en la pregunta contrario las razones para las cuales no se podría construir no se podría construir este triángulo que tengo aquí y bueno se me ocurre que no se puede construir un triángulo si alguno de los lados es mayor que la suma de los otros dos es decir supongamos que me tomo el lado cuya longitud es la longitud de ver si la longitud de b es más grande que la longitud de a más la longitud de a menos b entonces este trago no no se podría construir te imaginas un triángulo que tenga un lado enorme y el otro otros dos chiquitos no se podría construir un triángulo al cual le pasará esto si uno de los lados es mucho más grande que la suma de los otros dos pues entonces no puedo construir un triángulo y bueno esto también pasa si me tomo cualquiera de los lados y de hecho creo que sería bastante bueno juntarlo si yo me tomo que uno de los lados es la longitud de b y que ésta sea mayor que la longitud de a más la longitud de a menos b pues podría pasar lo mismo 100 lado en el que me estoy fijando es el lado que tiene la longitud de a el lado cuya longitud es la longitud de afuera más grande que la suma de las otras dos longitudes es decir la longitud de a menos ver más la longitud de b si pasara esto no se podría formar un triángulo y de igual manera si nosotros nos sumamos la longitud de menos b y esto es más grande que la longitud de up más la longitud de b tampoco podríamos construir un triángulo con estas dimensiones con estas longitudes recuerda que si pasa alguna de estas tres desigualdades nos estamos refiriendo un triángulo con un lado enorme y los otros dos lados muy pequeños es decir un triángulo que no se puede construir y bueno cómo podemos asegurar que no va a pasar esto si yo me tomo vectores en r 100 o en r 1000 y bueno para demostrar que no pasa esto no voy a tomar la desigualdad del triángulo la famosa desigualdad del triángulo así que vamos a recordar que decía la desigualdad del triángulo me decía si yo tomo la suma de dos vectores y me tomo la longitud de esta suma de dos vectores esto siempre es menor o igual que la longitud del primer vector la longitud del segundo vector y esta desigualdad del triángulo le aprobamos hace algunos vídeos es bastante útil y ahorita nos va a resolver este problema porque fíjate bien así yo me tomo por ejemplo la longitud de a y vamos a ver si la longitud de a puede ser que sea más grande que la longitud de a menos vemos la longitud de b pero bueno aquí lo importante es que te fijes que el vector a lo podemos ver como el vector de más el vector a menos vedad de cuenta que estos dos son exactamente lo mismo el vector es lo mismo que tomarme el vector b ya esto sumarle el vector a menos b hasta donde hemos definido operaciones con vectores la suma de estos dos vectores me darían el vector así juntamos cola con cabezas y bueno entonces si yo lo separa ahora con los paréntesis y utilizo en la desigualdad del triángulo me queda que esto es menor o igual que tomarme la longitud de ven fíjate la desigualdad del triángulo me estoy tomando la longitud de b más la longitud del vector a menos ven y perfecto porque esto es justo lo contrario lo que tenemos aquí arriba me acabamos de dar cuenta que la longitud del vector a 100 es menor o igual que la longitud del vector b más la longitud del vector a menos b y por lo tanto esto no puede pasar por eso lo estoy tachando porque esto nunca va a pasar y me encantan las matemáticas porque me refiero al siempre de los siempre es ahora vamos a ver si es posible que pasa que la longitud de b sea más grande que la longitud de a más la longitud de a menos b y para esto voy a utilizar la misma trampa no voy a fijar en b y lo voy a construir de la siguiente manera como el vector a ya este vector de voy a sumar otro vector pero date cuenta que no va a ser el vector a menos b porque el vector a menos b tiene la dirección contraria entonces me voy a tomar el vector que vaya en la dirección que me es favorable para esta construcción y es el vector a menos b negativo es decir el vector de menos a recuerda que para cambiarle la dirección a un vector lo único que hacía era multiplicarlo por menos 1 y bueno ya con esto podemos usar la desigualdad del triángulo otra vez y esto me va a quedar menor o igual a la longitud del vector a más la longitud del vector de menos a y en este momento es cuando más a decir jajaja pero es que estas dos cosas no son iguales yo lo que quiero ver es que él o sea mayor que el vector a más el vector b sin embargo lo que quiero que te des cuenta es que el vector de menos a y el vector a menos b tienen la misma longitud fíjate bien si me toma el vector de menos a esto es lo mismo que menos 1 por el vector a menos b recuerda que para cambiarle la orientación de un vector lo único que había que hacer era multiplicarlo por menos 1 y si ahora me tomo la longitud de ambos lados de esta igualdad qué creés me va a quedar que la longitud de menos a es igual a menos 1 por la longitud del vector a menos b que si hablamos de longitud es la longitud del vector a menos b es lo mismo que la longitud del vector b - y hasta sería un buen ejercicio que tú probarás esto el cambio de orientación no cambia la longitud que te des cuenta que dos vectores el cual uno lo podemos ver como menos una vez el otro tienen la misma longitud lo único que cambia es el sentido y por lo tanto ya puedo cancelar esta otra desigualdad porque la longitud debe menos a es exactamente la misma que la longitud de a menos b y entonces esta desigualdad se me va y solamente me falta probar el caso de la longitud de a menos b ahora lo que quiero que veas es que el vector am lo podemos escribir la siguiente manera como el vector a más el vector menos b es decir lo que voy a hacer es cambiarle de dirección a b y en lugar de ir para acá ahora va a ir en sentido contrario y entonces si nosotros empezamos en el rector menos b y le sumamos a entonces nos da el vector a menos ven y bueno esto me da pie a que pueda utilizar la desigualdad del triángulo la cual nos va a dar justo lo que queremos además recuerda una cosa que acabamos de ver que es muy importante la longitud del vector b es exactamente la misma que la longitud del vector menos 20 y por lo tanto si aplicamos la desigualdad del triángulo me queda que la longitud del vector a menos b es menor o igual que la longitud de a más la longitud del vector b porque estas dos longitudes son iguales la longitud del vector menos b y la longitud del vector b y perfecto con esto también podemos quitar el tercer caso que teníamos de las razones para las cuales no podíamos construir este triángulo que necesitábamos es decir fíjate lo importante que te estoy diciendo si yo me tomo dos vectores en rn dos sectores que no sean cero entonces yo puedo construir siempre un triángulo con estos dos y nunca me va a quedar un triángulo de forma con un lado más grande que otro y es más vamos a volver a ponerlo aquí porque el triángulo que me voy a tomar es un triángulo muy importante si yo aquí me tomo el vector am y aquí me tomo el vector de este de aquí es mi vector a menos de este que va de aquí acá es mi vector a menos b y bueno lo que yo hacía era fijarme en la longitud de a en la longitud de b y en la longitud de a menos b y con esas tres longitudes voy a construir un triángulo que ahora ya sé que siempre voy a poder construir este triángulo este triángulo siempre lo voy a poder construir justo por lo que acabamos de ver y justo por lo que acabamos de probar este triángulo va a tener como un lado la longitud debe como otro lado la longitud de amd y como el tercer lado la longitud de a menos b y darte cuenta que este triángulo ya está en r2 es un triángulo que podemos dibujar porque acuérdate que las longitudes son escalares y por lo tanto yo ya puedo trabajar con este triángulo ahora para que tanto construir un triángulo porque los triángulos tienen ángulos y entonces fíjate bien la forma en la que voy a definir un an entre dos vectores y ojo este es el ángulo que quiero definir va a ser de la siguiente manera voy a definir un ángulo entre dos vectores de una manera muy sencilla lo voy a definir como el ángulo que se forma en el triángulo cuyos lados son estos y que además se forma entre el lado que tiene la longitud de a y el lado que tiene la longitud debe o podemos decir el ángulo que es opuesto al lado que tiene la longitud de a menos b justo así voy a definir el ángulo entre dos vectores pero fíjate la importancia de lo que acabo de decir imagínate dos vectores en r 100 ya que los tenemos en el recién es muy fácil entonces encontrar o pensar en el ángulo entre dos vectores lo que hay que fijarme es en el ángulo que se forma entre estos dos lados en el triángulo que se forma con la longitud de estos vectores que buena onda la forma de definir un ángulo es con un ángulo pero bueno realmente esto es bastante útil y nos va a servir bastante en los siguientes vídeos pero bueno para esto qué relación tiene todo esto que estamos viendo bueno voy a relacionar este ángulo con la famosa ley - espero que recuerde sus clases de trigonometría y si no sería bastante bueno que le eches un ojo a la lista que tienen que ver con trigonometría de los vídeos de khan academy y bueno que decía la ley de ccoo se nos dice que si tenemos un triángulo cuyos lados son abc entonces se cuadrada es igual a cuadrada más b cuadrada menos dos veces a b por el coche no del ángulo que es opuesto a ese lado y si te das cuenta es casi un teorema de pitágoras solamente que su teorema de pitágoras degenerado porque el teorema de pitágoras sirve para triángulos que son rectángulos mientras que la ley de ccoo se nos sirve para todos los triángulos y bueno para que estoy diciendo toda esta ley de cosenos porque si te das cuenta voy a hacer la misma analogía de la ley de cosenos con este triángulo que tengo aquí con este triángulo de azul me voy a aplicar en sus lados y en este ángulo que acabo de definir porque entonces nosotros vamos a tener la siguiente relación me queda que este lado el que es opuesto a este ángulo que quiero definir que por cierto es la longitud de a menos b va a cumplir que propiedad bueno la longitud de a menos b al cuadrado es igual a la longitud de a elevado al cuadrado lo único que estoy haciendo es aplicando la ley de cosa a este triángulo de azul que me acabo de encontrar la longitud debe elevada al cuadrado más la longitud de ha elevado al cuadrado ya esto le voy a quitar dos veces a por b es decir la longitud de b por la longitud de a o la longitud de a por la longitud de ven es lo mismo menos dos veces la longitud de up por la longitud de b por el coseno del ángulo que se forma entre los lados y b o dicho de la misma manera por el coseno del ángulo que es opuesto al lado cuya longitud es la longitud del vector a menos b y es que esto ya está perfecto porque ya tengo una relación de los lados con este ángulo que acabo de definir ahora vamos a recordar una propiedad bastante importante que hemos visto varias veces si yo tengo la longitud de un vector elevada al cuadrado pues es lo mismo que tener este vector punto ese mismo vector es decir si yo tengo la longitud de a menos b al cuadrado pues esto es lo mismo que tomarnos a menos b punto al menos 20 esto ya lo hemos visto varias veces y bueno si yo desarrollo el producto punto que me va a quedar vamos a distribuir el producto punto entre estos dos binomios de vectores y entonces que obtengo apuntó a después nos va a quedar menos y después a esto yo tengo que quitar este punto este punto am vamos a notar lo menos b punto y por último que nos queda me tengo que tomar menos por menos más y punto b lo único que hice fue distribuir este producto punto porque ahora lo que nos va a quedar es algo sorprendente fíjate muy bien yo tengo aquí en primer lugar apuntó a pues esto es lo mismo que la longitud de a elevada al cuadrado justo la misma propiedad y después tengo menos apuntó ve menos ve punto a pues esto es exactamente lo mismo que tomarme menos dos veces apuntó b menos dos veces apuntó ven y bueno a esto le voy a agregar punto me pero por la misma propiedad de punto b es lo mismo que la longitud de b elevada al cuadrado muy bien y todo esto para que porque todo esto es lo mismo que la longitud de a menos b elevado al cuadrado todo esto fue aplicar una propiedad de la longitud de un vector elevada al cuadrado pero además nos dice que esto es igual a toda la parte derecha de esta igualdad es decir esto es igual y voy a hacer trampa voy a agarrar todo esto de aquí lo voy a copiar y después lo voy a pegar así que vamos a seleccionar todo esto y esto es para que nos ahorramos tiempo y pueda yo escribir todo esto de una manera rapidísima así que seleccionemos copiar y seleccionemos pegar y perfecto aquí tengo una igualdad y bueno estoy haciendo todo esto por una razón porque si te das cuenta aquí voy a poder cancelar varios términos del lado izquierdo está una longitud de a elevada al cuadrado del lado derecho y también vámonos estos dos se cancela del lado izquierdo tengo la longitud de b elevada al cuadrado del lado derecho también vámonos y después simple sencillamente me va a quedar que menos 2 y fíjate aquí tengo menos 2 y los menos 2 a ver si también lo puedo cancelar este y éste se van porque son la misma operación voy a tener menos 2 multiplicando del lado izquierdo y menos 2 multiplicando del lado derecho se cancelan también y simple y sencillamente me voy a quedar con apuntó b es decir me estoy tomando el producto punto de dos vectores a punto b esto va a ser igual a quién y fíjate la importancia de lo que estoy diciendo me estoy tomando la longitud de dos vectores por otra parte me estoy tomando al ángulo entre estos dos vectores y además me estoy tomando el producto punto entre estos dos vectores y entonces voy a obtener que a punto b es exactamente igual que la longitud de a por la longitud de b por el coseno del ángulo que se forma entre estos dos vectores recuerda como acabamos de definir un ángulo con un ángulo este ángulo de aquí es el ángulo que habíamos definido como el ángulo entre dos vectores es decir recuerda que el ángulo que se forma entre los lados que tienen a la longitud de ahí a la longitud de ven es el ángulo que está entre estos dos vectores el ángulo que se forma entre estos dos vectores entre ellos y aquí está tenemos ya una relación que tiene que ver con el producto punto de dos vectores y con la longitud de estos dos vectores y el coseno del ángulo que se forma entre estos dos vectores y entonces si yo tengo dos vectores pues yo puedo calcular ya su longitud podemos tener calcular de una manera explícita su producto punto y entonces ya puedo saber qué ángulo tienen estos dos vectores y ya no importa si los vectores estén multidimensional puedes dar en el recién esto también es válido pero bueno esta definición no se acaba aquí también si yo tengo que es igual hace veces ven y ojo estoy tomando me hace positiva entonces quiere decir que el ángulo entre ellos es igual a cero me estoy tomando dos vectores que son con lineales si van a la misma dirección entonces por definición el ángulo es igual a cero y si estos dos vectores son con lineales pero van en sentido contrario es decir se es negativa entonces por definición el ángulo que se forma entre ellos es de 180 grados en el primer caso tengo dos vectores que van a la misma dirección pero son vectores co lineales y bueno si te das cuenta aquí el ángulo que se forma entre ellos dos por 60 grados no hay ningún ángulo entre estos dos vectores y en el segundo caso me estoy tomando dos vectores que son co lineales pero que van en la dirección contraria es decir que éste es negativo y pues claramente el ángulo que se forma entre ellos es de 180 grados y esto tiene toda la lógica del mundo porque si nosotros nos regresamos a nuestra idea del triángulo que se forma con estos vectores pues nos vamos a dar cuenta que dos sectores que son con lineales no forman ningún triángulo forman una línea pero un triángulo no lo forman y bueno además de todo esto esto nos da pie a pensar en un concepto muy importante en lo que se definen como dos vectores perpendiculares o dos vectores ortogonales y esto nos va a servir bastante en los siguientes vídeos yo voy a definir perpendicularidad entre dos vectores a ver déjame ponerlo aquí definición sean dos vectores perpendiculares perpendiculares esto quiere decir que el ángulo que se forma entre ellos es de 90 grados y ojo me estoy diciendo que el ángulo que se forma entre ellos es de 90 grados porque nosotros ya podemos calcular con estos dos vectores el vector ay y el vector de su producto punto la longitud de estos dos vectores y entonces si el ángulo que me sale entre estos dos vectores es de 90 grados voy a decir que estos dos vectores son ortogonales o son vectores perpendiculares y bueno para encontrarnos este ángulo de 90 grados lo único que habría que hacer es sustituir en esta fórmula que tenemos aquí o claro claro y eso también es muy importante porque esto me da pie a pensar que es necesario de dos vectores que no sean el vector nulo o el vector cero porque imagínate si tuviéramos el vector cero nos meteríamos en un grave problema nosotros tendríamos por una parte nos tendremos que tomar el producto punto de un vector con el vector cero el producto punto de un vector con el vector cero pues me da cero y por otra parte tengo la longitud del vector cero que es cero por lo que sea lo cual me da cero y entonces me quedaría algo de la forma cero es igual a cero por el coseno del ángulo que se forma entre ellos dos y si desde aquí quiero despejar el ángulo que se forma entre ellos dos me va a quedar que el coseno de este ángulo es decir el coseno del ángulo teta es igual a cero entre cero lo cual es indefinido es decir si yo pienso en un vector que es igual al vector nulo entonces me voy a meter en un problema de que no tengo nada definido es por eso que es necesario que el vector y el vector b sean vectores distintos de cero pero bueno regresemos a la idea de perpendicular dos vectores distintos de cero son perpendiculares si el ángulo entre ellos es de 90 grados a veces vamos a pensar eso porque esto nos va a dar pie algo muy importante fíjate bien me voy a tomar dos vectores que sean perpendiculares es decir el ángulo entre ellos es de 90 grados por lo tanto qué va a pasar déjame escribirlo por acá me voy a tomar de esta misma fórmula la idea de que el ángulo de 90 grados por lo tanto tengo dos vectores perpendiculares y entonces me va a quedar que a punto b es lo mismo que la longitud de an por la longitud de bem por el coseno del ángulo que se forma entre ellos dos pero el ángulo que se forme entre ellos dos es 90 grados y cuánto vale el cociente de 90 grados pues el corte nuevamente a grados es 0 si haces memoria con tu círculo trigonométrico o con la gráfica del coseno base recordar que el concepto de 90 grados es igual a cero entonces me va a quedar que a punto ave es igual a cero porque 0 por lo que sea es 0 y esto nos da pie algo importantísimo fíjate bien me tumbé dos vectores perpendiculares y acabamos de obtener que dos vectores perpendiculares me dan el producto punto igual a cero abel perpendiculares implican que a punto b es igual a cero y esto es bastante importante pero ten mucho cuidado porque el regreso no se cumple esto no es un sí y sólo sí porque si yo me tomo dos vectores que su producto punto sea igual a cero que no sean perpendiculares y el caso más sencillo es pensar en el vector 0 fíjate bien si yo me tomo el vector 0.4 otro vector pues esto es igual a 0 justo por cómo está definido el producto punto y que dijimos del vector 0 que el vector 0 no está definido en toda esta teoría que acabamos de crear cuando nosotros pensamos en el vector 0 no hay ningún ángulo entre ellos por lo tanto no puedo ver o no puedo pensar en un ángulo de 90 grados entre estos dos vectores entonces hay que tener mucho cuidado si tengo dos vectores perpendiculares esto implica que a bs igual a cero a punto b igual a cero no implica forzosamente que sean dos vectores perpendiculares pero ojo y esto es muy importante si los vectores son vectores distintos de cero entonces si se cumple el sí sólo si hay b distintos de cero cumplen que son perpendiculares si a punto es igual a cero y se apuntó veces igual a cero y los vectores son distintos de cero entonces hay veces son perpendiculares esto es un si y sólo si cuando hablamos de vectores distintos de cero y bueno vamos a seguir con todo esto si yo pienso en a punto b igual a cero a punto b igual a cero esto me va a implicar una cosa muy importante lo que podemos decir y lo podemos decir por definición el producto punto de dos vectores igual a cero me dice que estos dos vectores son ortogonales son ortogonales y el producto punto de estos dos es igual a cero y muchos llaman perpendicular a ortogonal pero no forzosamente es lo mismo porque hay un caso muy importante que estaríamos olvidando el caso donde el vector uno de ellos sea el vector cero dos vectores son ortogonales si su producto punto es igual a cero esto puede ser o que sean perpendiculares si son distintos de cero o que uno de ellos el vector cero y por lo tanto el vector cero es ortogonal a cualquier vector que esté en nuestro espacio de dimensiones inclusive a él mismo el welter ser súper gracioso porque es ortogonal hasta el mismo ojo aquí es muy importante no confundir estos dos conceptos son muy parecidos pero hay una gran diferencia entre ellos dos vectores son perpendiculares si su producto punto es igual a cero pero recuerda que no podemos hablar de perpendicularidad con el vector cero porque no está definido el ángulo de dos vectores cuando uno de ellos es el vector cero así que por primera vez en su carrera matemática podemos ver la importancia de usar bien las definiciones porque en geometría o en trigonometría perpendicular y ortogonal es lo mismo son sinónimos pero en el lenguaje de álgebra lineal aquí es importante mencionar las distinciones entre estas dos palabras porque ahora estamos usando matemáticas de las grandes ligas y es muy importante tener cuidado con las palabras que usamos y muy precisos con nuestras definiciones porque si no lo hacemos así podemos construir un bonche de matemáticas hacer demostraciones importantes crear teoremas grandes y que todo se caiga por no ser precisos en nuestras definiciones bueno así que ya puedes ir corriendo con tu profesor de matemáticas y decirle que ya sabes la diferencia entre ortogonal y perpendicular y además de paso puedes presumir de que ya sabes cómo se define el ángulo entre dos vectores pero bueno de cualquier manera aquí está la definición del ángulo entre dos vectores y espero que te sea bastante útil