Distancia entre planos

si la distancia entre el plano a x2 y c está igualada y el plano que contiene las líneas esta línea de aquí y esta otra línea de aquí estas dos igualdades claramente una línea es raíz de seis estamos hablando de la distancia entonces el valor absoluto de es y bueno vamos a pensar este problema un poco me dicen que la distancia entre este plano y el plano que contiene estas dos líneas rectas entonces estoy refiriendo a la distancia entre dos planos que tienen que ser paralelos es decir dos planos que no se intersectan porque si los planos se interceptaran pues la distancia mínima pues sería cero entonces para hablar de distancia entre dos planos y que me digan que raíz de seis me estoy pensando en que son dos planos paralelos así que vamos a dibujarlos el primer plano es este de aquí que por cierto tenemos la ecuación su ecuación es a x menos 210 más z igual a d por otra parte tenemos a otro plano que es paralelo me voy a dibujar a este de aquí este de colgará azul en el cual habitan dos líneas así que voy a poner dos líneas una que va a ser esta de aquí entonces déjenme tomar un color y llamar a esta línea de color verde esta va a ser una de mis líneas que evitan este plano y otra línea que va a ser esta de camps que también habitan plano quien se ve como sean pero sé que las dos viven en este plano y bueno también sé que la distancia entre estos dos planos es la raíz de 6 ahora cómo encuentro el valor de de y bueno el menú para resolver este problema lo que se me ocurre es pensar primero que este plano el plano de azul tiene que tener una ecuación muy parecida a este plano de rojo que tenemos aquí si nosotros encontramos la ecuación del plano de azul te vas a dar cuenta que lo único que van a diferir es en el valor de t porque todos planos de la misma inclinación y lo único distinto es por donde pasa cada uno de ellos así que una vez que tenemos la ecuación del plano de azul lo que voy a hacer es usar la fórmula de distancia de un punto a un plano para que con un punto que viva en el plano azul yo pueda utilizar todos los datos que tenga y sacar mi valor de d así que lo primero que podemos es encontrar la ecuación de este plano de azul que tengo aquí y para esto tengo dos rectas y bueno estas dos rectas las voy a utilizar para encontrar puntos en este plano y entonces yo pueda encontrar dos vectores en este plano y con esto trabajar el producto cruz y así me puedo encontrar un vector normal a este plan a ver vamos por partes voy a encontrar dos puntos de esta línea recta que tengo aquí y para esto lo que voy a hacer es igualar cada una de estas igualdades a cero a su vez y entonces si esto es igual a cero me queda que x tiene que valer 110 tiene que valer 2 iceta tendría que valer 31 menos 102 menos 203 menos 30 y bueno qué pasa si a continuación igualó todo esto a 1 pues me quedaría que x tiene que valer 3 después me quedaría 3 x 1 + 2 me quedan 5 ya tiene que valer 5 porque 5 menos 2 entre 3 es lo mismo que uno y si esto es igual a 1 se también tendré que quedar 4 3 es decir 77 menos 3 entre 4 me da 1 aquí ya tengo dos puntos que viven en esta línea recta si yo consigo otro punto con esta otra línea recta que no hemos usado entonces ya voy a poder encontrar dos vectores que vivan en este plano y bueno a ver vamos a igualar esto a cero y me quedaría el punto 2 3 menos 4 es decir voy a utilizar mi segunda línea recta para encontrar otro punto para que yo pueda encontrar sus vectores posición y después encontrar dos vectores que vivan en este plano bueno igualando esta cero me va a quedar el punto 234 este punto de amarillo este vive en esta línea que habíamos dicho que era de color magenta entonces vamos a ponerlo aquí este punto de aquí un pequeño punto de color amarillo para que no nos vayamos perdiendo ahora lo que vamos a hacer es tomarme dos puntos que viven en esta línea recta para que cuando yo me fijé en la diferencia de su vector exposición pueda encontrar un vector que viva en el plano voy a definir al vector am como aquel vector que está en una línea recta por si te das cuenta estos dos primeros puntos están en una línea recta por lo tanto este vector tiene que existir en esta línea recta y para esto me voy a tomar la diferencia en 3 valores 3 - 12 que multiplica el vector canónico y 5 -2 me da 3 que a su vez multiplica el vector canónico jota y 73 me da 4 que multiplica el vector canónico cam y aquí ya tengo un vector que vive en el plano es un vector que está encima de esta línea recta porque estos dos puntos vivían en esta línea recta de verde aquí tengo a mi vector a y a continuación no voy a tomar la diferencia de los vectores posición de otros dos puntos pero ahora tengo que tomarme un punto que está en la recta de verde y otro punto que está en la recta de morado por lo tanto ahora me voy a tomar un vector que esté también al plano pero que no esté en ninguna de estas dos rectas y bueno a este vector lo voy a definir como ve de que va a ser bueno me voy a tomar la diferencia entre las coordenadas y multiplicando por mis lectores canónicos dos menos uno me da 11 y tres menos dos me da 11 jota y 4 menos tres la edad también acá entonces ya tengo a otro vector que también vive en este plano y es el vector y mascota de máscara y este vector va de un punto debilidad de verde otro punto de mi línea magenta y bueno a continuación lo que mueve a tomar es el producto cruz de ahí ve porque el producto cruz de ahí ve me va a dar un vector que es normal a estos 2 es decir con ello voy a obtener un vector normal al plano que es justo lo que necesito así que vamos a tomarnos la definición del producto cruz pongo y jk después los valores de las componentes de a 2 3 y 4 y después los valores de los componentes debe es decir 1 1 1 y ahora si dice me olvidé de estas dos columnas y me queda tres por una es 3 menos 4 por 13 menos 4 me da menos 1 y menos 1 x el vector y me da menos y después voy a olvidarme estas dos columnas pero recuerda que aquí es menos intercaló el signo o me olvido de estas dos columnas y me quedan dos por unas 2 menos la multiplicación de 4 por 1 recuerda que no le hacemos caso a esta columna 4 por unas 4 es decir 2 menos 4 del cual me da menos 2 pero menos por menos me va a dar más j y por último camps cada dispositivo intercala los signos y me queda 2 por 12 menos 32 menos 3 me da menos 1 y esto multiplicado por el vector canónico que me da menos campo es decir mi vector normal este vector que es ortogonal al plano va a ser mi vector menos y más 2 j menos acá y perfecto ya tengo un vector en este plano y ya tengo un vector que es normal a este plano entonces ya puedo encontrar la ecuación de este plano si yo calculo el producto punto con un vector muy especial recuerdas nosotros lo primero que hacemos era tomarnos un punto en este plano así que supongamos que me tomo un punto aquí pero este punto cumple la propiedad de que era un punto cualquiera de este plano por lo tanto voy a poner que es el punto x 10 z y de aquí me tomaba su vector posición después me fijaba en otro punto que si supiera que estuvieran en plano y también me tomaba su vector posición y después me tomaba la diferencia entre estos dos vectores posición para que me dieran un vector que existiera en el plano por ejemplo aquí si me tomo este vector que va desde el punto de la línea que estaba es decir este de aquí a este punto eficiencia también que me quedaría pues me quedaría un vector cuyas componentes son las siguientes x 3 x por el vector canónico y más de 5 por el vector canónico jota más z menos 7 por el vector canónico que aquí ya tengo un vector cualquiera que existe en este plano de azul que yo tengo aquí pero además es un vector muy importante porque es un vector visto desde una forma bastante general y bueno lo que yo tengo que hacer para encontrar la ecuación de este plano es tomarme el producto punto del vector n con este vector que acabo de encontrar es decir en el punto x menos 3 x y más o menos 5 por jota más z menos 7 por el vector canónico acá y recuerda que como estos dos vectores son ortogonales mi producto punto tiene que ser igual a cero esto era muy importante para encontrar la ecuación de un plano y recuerda que estos dos vectores son ortogonales porque el vector en esa ley del producto cruz de dos vectores que están en este plano lo que me está dando un vector que es ortogonal al plano y por lo tanto esto cero porque el vector que acaba de construir ese si existe en este plano del cual quiero sacar la ecuación entonces me va a quedar menos 1 por x menos 33 x lo único que hice fue voltear los signos después 2 porque menos 5 es lo mismo que dos y menos 10 2 porque estoy en menos 5 por 2 es menos 10 y después nos queda menos 1 que multiplica la componente z menos siete y entonces hay que cambiar los signos y me queda 7 menos zeta y esto tiene que ser igual a 0 y bueno ahora todos los números los voy a pasar de un lado de la ecuación y todo lo que tengan que ver con x y z lo voy a dejar del otro lado de la ecuación y me queda menos x más 2 james z esto es igual a paso el 3 del otro lado con signo contrario víctor se vuelve menos 3 después pasó en menos 10 con signo contrario o dicho de otra manera agregó 10 de ambos lados y me queda más 10 y por último paso el 7 del otro lado de la ecuación y me queda menos 7 y si te das cuenta menos 3 7 10 es lo mismo que 0 - 3 más 10 menos 7 es lo mismo que 0 por lo tanto me quedan menos x + 3 menos de igual a cero y que crees esta ya es la ecuación de mi plano de azul del cual era necesario sacar la ecuación de este plano de azul ya tengo se cuestiona su ecuación es menos x más 2 y menos zeta igual a 0 y esto nos dice bastante porque como estos dos planos son paralelos quiere decir que tienen la misma inclinación por lo tanto los coeficientes de x de jay-z tienen que ser iguales pero aquí está pasando algo raro porque si te das cuenta tengo menos 27 y aquí tengo más 2 james z por lo tanto lo que ves es multiplicar toda esta ecuación x menos 1 y que me va a quedar pues multiplicar por menos 1 solamente es cambiar los signos x menos 2 en maceta igual a 0 lo único que estoy haciendo es multiplicando ambos lados de la ecuación por menos 1 y entonces esta ecuación ya se parece mucho más a la ecuación que yo tenía del plano de rojo y además me está dando de una manera explícita el valor de amd porque si estos dos planos son paralelos los coeficientes tienen que ser los mismos el menos 2 day está al lado del -2 de y el z tiene como coeficiente 1 también aquí se trataría como coeficiente 1 y por lo tanto x aquí tiene con coeficiente 1 y aquí tiene como fin a am lo que quiere decir que tienes que ser forzosamente uno entonces este plano de rojo su ecuación no quedaría x menos 2 maceta igual a de una vez que encontré la ecuación del plano de azul ya encontrar cuánto vale a es muy sencillo porque recuerda que los coeficientes tienen que ser iguales pero bueno no vamos tras el valor de amd lo que queremos es saber cuánto es el valor del valor absoluto de de esa es realmente nuestra pregunta de este problema y bueno para esto lo que voy a hacer es tomarme un punto en este plano aquí tengo varios ejemplos de puntos en este plano y no voy a fijar en la distancia de este punto a este plano rojo que tengo aquí y para esto voy a utilizar la fórmula de la distancia me voy a fijar en la distancia que hay de un punto en este plano al plano de rojo para que yo sepa cuál es el valor de de y la idea es bastante sencilla es decir voy a buscar esta distancia de kim y bueno para esto lo que quiero recordar es cuál es la fórmula de la distancia además tome en cuenta que aquí nos dan un dato muy importante nos dan que la distancia es lo mismo que la raíz de 6 pero bueno ahorita utilizo eso lo que quiero fijarme es que la fórmula de la distancia tomamos esta ecuación de tu plano y en esta ecuación de tu plano lo que vas a hacer es sustituir este punto el 123 en sus respectivos valores de x y z de la ecuación de tu plano y después restar el valor de de que recuerda que es justo atrás lo que vamos tras el valor absoluto de de ojo me estoy tomando este punto de aquí y entonces me queda x que vale uno menos dos veces siempre oye vale dos entonces menos cuatro y después a esto hay que agregarle z pero se está vale tres más tres y después ponemos menos de que de hecho es esta de que tengo aquí nuestra fórmula de la distancia decía que hay que pasar a ésta desde el otro lado restando y todo esto hay que dividirlo entre la raíz cuadrada de a cuadrada más b cuadrada más de cuadrada pero a veces son los coeficientes que están al lado de la x y z es decir entre la raíz cuadrada de 1 al cuadrado menos 2 al cuadrado me da cuatro entonces es uno más cuatro y después a esto hay que sumarle uno 1 al cuadrado y bueno esto ya lo podemos simplificar un poco 1 - 4 3 se cancela todo esto me da 0 entonces esto se va y me queda simple y sencillamente la parte de arriba menos de mientras que en la parte de abajo me queda uno más cuatro más uno lo cual me da 6 es la raíz cuadrada de 6 pero ojo aquí es donde voy a utilizar el último dato que me dan en el problema el problema dice que la distancia que hay de un plano a otro es la raíz cuadrada de 6 es decir esta distancia de aquí es lo mismo que la raíz cuadrada de 6 y bueno creo que todo está bastante a su lado por lo tanto sería bastante bueno ponerlo con otro color este dato que me dan esta raíz de 6 que es la distancia que hay de un plano a otro es justo esta distancia que estoy buscando es decir la distancia del punto al plano y bueno de aquí ya puedo despejar a menos de porque que me queda si yo multiplico ambos lados por raíz de 6 me queda que 6 es igual a menos de aunque t es igual a menos 6 y ojo no me están pidiendo el valor de de me están pidiendo el valor absoluto de d es decir lo único que tengo que hacer es sacar valor absoluto de ambos lados esta igualdad pero ya casi estoy acabando este problema esta de que no hay que confundir con la de distancia lo que me está diciendo es justo donde está el otro plano y bueno para esto entonces tengo que sacar el valor absoluto de de que es lo mismo que el valor absoluto de menos 6 que es 6 y ya con esto encontré la solución de este problema que por cierto nos piden el valor absoluto porque si te es positivo entonces este plano está arriba del plano de azul y si te es negativo entonces este plano de naranja está abajo del plano de azul y bueno espero que hayas encontrado todo esto bastante útil