Comparación/intuición del producto cruz y el producto punto

hemos visto varios vídeos acerca del producto cruz y acerca del producto punto y de hecho en uno de esos vídeos obtuvimos esta igualdad recuerdas a punto b es exactamente igual a la longitud de a que multiplica a su vez a la longitud de b y esto a su vez multiplica al coseno del ángulo que se forma entre estos dos vectores así que a ver déjame dibujar estos dos vectores este de aquí le voy a llamar el vector am este de aquí le voy a llamar el vector 20 y este va a ser el ángulo que se forma entre estos dos vectores que por cierto todo esto lo vimos en el vídeo acerca del ángulo entre dos vectores y de hecho en este vídeo nunca despejamos la teta así que sería muy bueno resolver esta igualdad para theta y que me va a quedar pues yo tengo que apuntó ven y si yo paso dividiendo la longitud de a por la longitud debe pues me va a quedar apuntó b entre la longitud de a que multiplica a su vez a la longitud de 20 y esto es igual al cose no detecta y bueno qué es lo que queremos despejar a tener y si queremos despejar de está entonces hay que pasar la función coseno con su función inversa del otro lado de la ecuación me va a quedar que teta es igual al art cuyo coste no es apuntó ven entra es la longitud de a que multiplica a su vez a la longitud de be si muy bien la longitud de a que multiplica si perfecto a la longitud debe y lo padre este asunto es que estos vectores pueden tener n componentes los componentes que tú quieras pueden vivir en un espacio de mil dimensiones si tú quieres porque al final cuando nosotros tomamos el producto punto de dos vectores lo podemos calcular y me da un número real y cuando yo hablo de la longitud de a y de la longitud debe también son números reales entonces yo podría tomar mi calculadora trabajar con las operaciones que me den esta parte de aquí y después decirle a mi calculadora que me trabaje con el arco cuyo coche no es esto de aquí o que recuerda que también esto se le conoce como el coche no en la menos uno ambas expresiones equivalen a lo mismo que es la función inversa del coche y entonces esto me daría un ángulo que precisamente va a ser el ángulo que está entre estos dos vectores y también vimos hace pocos vídeos otra igualdad importante que eran la igualdad que tiene que ver con el producto cruz y decía más o menos así la longitud del producto cruz de dos vectores es decir la longitud de la cruz ven es igual a la longitud de a por la longitud de ven ya su vez multiplicaba esto al seno del ángulo que se forma entre estos dos vectores al seno del ángulo que se forma entre estos dos vectores que por cierto es también este mismo ángulo aquí la única diferencia es que esto está definido para vectores en r3 porque recuerda que el producto cruz solo está definido para vectores en r3 no en varias dimensiones y bueno ya que tengo esta y esta igualdad que tengo aquí lo que quiero ver en este vídeo es entender perfectamente bien estas igualdades y ver cuáles son las propiedades que son parecidas en el producto punto y en el producto cruz es decir quiero ver una comparación del producto puntos del producto cruz dada estas igualdades y que por cierto en mis series de física hay un vídeo muy parecido a este donde hablamos precisamente de una comparativa entre estas dos operaciones de vectores y bueno lo primero que quiero que hagamos es entender de una forma geométrica estas dos igualdades así que lo primero que quiero hacer es dibujar estos dos vectores voy a suponer que este es mi lector y estar acá es mi vector ve que no no no me quedo muy grande lo voy a hacer un poco más pequeño este de aquí es mi vector b entonces déjame escribirlo este es mi lector de esta es mi vector am y ahora me voy a fijar en mi primera igualdad que tengo aquí para ver si puedo encontrar una forma geométrica de entender esta igualdad fíjate bien este es el ángulo que se forma entre estos dos vectores estás de acuerdo entonces esta primera de aquí va a ser la longitud del vector a y esto es una manera muy explícita dejen poner que esta es la longitud del vector a y también vamos a poner que esta de aquí abajo va a ser la longitud del vector ven lo estoy poniendo de una manera bastante gráfica y pues claramente se nota que esta es la longitud del vector am y ésta de aquí es la longitud del vector b entonces voy a poner que aquí esta es la longitud del vector b y bueno si ya tenemos de una manera gráfica que es la longitud de ahí que de longitud deben déjame escribir esto que tengo arriba de esta siguiente manera la longitud de m por la longitud de no espera espera el por lo voy a poner así porque recuerda que no quiero confundir el producto punto con el símbolo de la multiplicación de los números entonces lo voy a escribir así la longitud de b que multiplica la longitud dejada por el coche no beteta yo no me voy a preguntar quién es la longitud de a por el coche 90 y para esto me voy a acordar del show captó a su campo porque están demotecnia me ayuda a decir que el goce no del ángulo es igual al cateto adyacente entre la hipotenusa el coseno de un ángulo es cateto adyacente entre la hipotenusa así que vamos a ver este ángulo que tengo aquí vamos a calcular su cocina quién es su cocina para esto tengo que bajar otro cateto aquí para dibujar un triángulo rectángulo y entonces quién es el cateto adyacente de este ángulo pues va a ser este de aquí te das cuenta esto que voy a dibujar de rojo va a ser mi cateto adyacente a este ángulo que ojo muy importante no forzosamente tiene que ser todo el vector ven puede ser que solamente sea un pedazo de ave y de hecho vamos a suponer que su pedacito debe este es mi cateto adyacente y ahora hay que fijarnos en la hipotenusa de este ángulo pero el de porteros en este ángulo si en efecto es la longitud de a entonces el coseno de este ángulo escribir de la siguiente manera lo voy a ver como el cateto adyacente que no sé cuánto vale el cateto adyacente no es más dejenlo escribirlo de una manera más ordenada para que no se vea tan feo el cateto adyacente y éste está dividido por la longitud de a entonces deben ponerlo con su respectivo color aquí está dividido entre la longitud de a y bueno esto es lo que yo sé de él coseno de este ángulo ahora qué va a pasar si multiplico ambos lados de esta ecuación por la longitud de a entonces me va a quedar que la longitud de a que multiplica algo seno este ángulo es exactamente igual al cateto adyacente y bueno sin sustituyó aquí el catedral yacente me va a quedar que el producto punto de dos vectores es decir esto que tengo aquí es exactamente lo mismo que la longitud de b que multiplica al cateto adyacente al cateto es decente formado por este triángulo rectángulo entonces déjame ponerlo esto es el cateto adyacente que habíamos dibujado aquí lo que quiere decir que es la sombra del vector a reflejada en el vector b ahora ya podemos escribir que a punto b es la longitud del vector b o escalada lo que vale el cateto adyacente pero el cateto adyacente fíjate en el esquema que estamos haciendo el cateto adyacente es la sombra que está reflejada de la longitud del vector a en el vector b es como si tuviéramos un foco desde acá arriba y este foco proyectará la sombra de este vector a en el vector b tiene unos vídeos voy a hablar mucho más acerca de las proyecciones y es justo por eso que esto se ve así de hecho lo que nos va a medir el producto punto entre dos vectores es qué tan lejos o qué tan cerca están dos vectores por ejemplo si yo me tomo dos vectores que están más cerca el uno del otro fíjate que en este caso voy a tomar que este es el vector a y este es el vector de estos sectores están muy pegados el uno del otro por lo tanto si yo trato de dibujar aquí un triángulo rectángulo entonces fíjate que mi cateto adyacente vale casi lo que vale la longitud de b y entonces mis dos vectores están más cerca es decir entre más cerca está en mis vectores mayor producto punto vamos a tener entonces que me escribí aquí tiene un mayor producto punto en estos dos vectores porque estos dos vectores están más cerca el uno del otro o por decirlo de otra manera van más hacia una misma dirección o también podemos pensarlo como que la longitud de la sombra del vector a proyectada en el vector b es mucho más grande o mejor lo podemos pensar como la parte de a que va en la dirección debe es mayor en estos dos vectores ahora fíjate si me tomo los vectores que están más separados que estos dos que va a pasar pues entonces trazo aquí un triángulo rectángulo y entonces date cuenta que el producto punto de estos dos vectores es mucho más pequeño porque la proyección de a en b es muy pequeña o dicho de otra manera su producto punto es pequeño porque estos dos vectores no van hacia la misma dirección la parte del vector a que va en la misma dirección que el vector b es muy pequeña y pasaría lo mismo si yo me tomo el vector b y lo proyecto en el vector am me daría exactamente lo mismo por lo tanto yo puedo escribir que el producto punto de dos vectores es igual a la longitud de a que multiplica la longitud de b por el coste no detecta y eso significa uno de los vectores multiplicado por el cateto adyacente y lo que podremos decir es que el producto punto entonces nos dice que es el producto de las dos longitudes de estos dos vectores de las dos longitudes de estos dos vectores y esto a su vez lo que nos dice es que tanto van en la misma dirección en la misma dirección y no es un paréntesis son comillas muy bien es decir el producto punto lo que nos está midiendo es que tanto van estos dos vectores hacia la misma dirección y por lo tanto si yo digo que el producto punto de dos vectores es igual a cero a que me estoy refiriendo ya vimos casos en los que los vectores están muy cerca están muy alejados pero que el producto punto de los vectores sea igual a cero es un caso muy especial porque estamos diciendo que estos dos vectores si recuerdas lo que vimos hace algunos vídeos estábamos diciendo que el producto punto de los vectores es igual a cero cuando el ángulo entre ellos dos es de 90 grados o dicho de otra manera decíamos que estos dos vectores eran ortogonales y es que date cuenta que tiene todas porque si ahora en estos dos vectores proyectamos la sombra de a desde este punto en el vector b vamos a encontrar que pues no tiene sombra porque el foco está justo arriba de donde está el vector am o dicho de otra manera estos dos vectores no van para la misma dirección ni tantito y eso quiere decir que su producto punto es igual a cero como no hay ninguna parte de a que vaya en la misma dirección que el vector de y aquí se ve claramente ni siquiera podemos dibujar un triángulo rectángulo entonces estamos diciendo que el producto punto de estos dos vectores es igual a cero y bueno ahora vamos a pensar qué es lo que va a pasar el producto cruz a ver regresemos al producto groups nosotros sabíamos que si tomamos la longitud del producto cruz de dos vectores esto lo mismo que la longitud del vector ar por la longitud del vector b y esto a su vez multiplicado por el seno del ángulo que se forma entre estos dos vectores así que hagamos lo mismo vamos a dibujar dos vectores y vamos a fijarnos a que equivale esta expresión que tengo aquí este es mi vector am este voy a decir que es el vector b y entonces voy a tomar el soca tohá el shock a toa el seno de un ángulo es igual al do opuesto entre la hipotenusa está de acuerdo entonces si yo dibujo aquí mi triángulo rectángulo este de aquí va a ser mi ángulo de 90 grados este es mi ángulo teta y entonces me va a quedar que el seno de este ángulo es el cateto opuesto que es justo este que voy a poner aquí este es mi cateto opuesto en esta ocasión y que no sé cuánto vale por cierto este es mi cateto puesto entonces lo voy a poner cateto puesto entre potter nos a por el deporte de usas sigue siendo la longitud del vector no voy a poner con otro color esta es la longitud del vector a que es justo lo mismo que vimos en el triángulo pasado y bueno entonces si yo despejo de aquí al cateto opuesto me va a quedar que la longitud del vector a por el seno del ángulo es igual al cateto opuesto y bueno pues voy a hacer lo mismo que hice hace rato si de esta fórmula que tengo aquí yo la hago escribo de la siguiente manera la longitud de b por la longitud de an por el seno del ángulo que se forma entre ellos dos me voy a dar cuenta que la longitud por el seno de este ángulo es exactamente lo mismo que el cateto opuesto en ese triángulo rectángulo y qué significa tener el cateto opuesto en este triángulo bueno déjame escribirlo primero acá abajo me estoy dando cuenta que entonces si yo me tomo la longitud del producto cruz de dos vectores el cateto opuesto de este ángulo lo que me va a medir es que tanto voy en la dirección contraria al vector b es decir que parte de a va en dirección contraria a lo que va el vector b y fíjate es curiosamente lo contrario a lo que estábamos viendo con el producto punto en el producto punto nosotros hablábamos de ir en la misma dirección aquí estamos viendo que tanto vamos en direcciones opuestas y es por eso que me fijo en la longitud del vector ven ya esto lo multiplicó por el cateto opuesto de este triángulo rectángulo y el catéter puesto de ese tramo del rectángulo date cuenta que va en un ángulo de 90 grados por lo tanto fíjate bien aquí si yo tengo dos vectores que son ortogonales el uno del otro es decir forman un ángulo de 90 grados estoy diciendo que que me va a pasar me tomo la longitud del producto cruz de estos dos vectores pues esto va a ser igual a la longitud de amd por la longitud de ven por el seno de 90 grados pero cuánto vale el seno de 90 grados o depp y medios pues esto es lo mismo que 1 entonces esto se quedaría así y por lo tanto en este caso comparándolo con el producto cruz es justo lo contrario porque aquí nos topamos que esto se hace máximo cuando estamos en un ángulo de 90 grados es decir cuando nuestros vectores son ortogonales porque recuerda que el seno tiene que ser menor o igual a 1 cosa que era totalmente contraria cuando yo me tomaba el producto punto de dos vectores cuando yo me tomo el producto punto de los vectores me estoy dando cuenta que el producto punto tiene que ser igual a cero si los vectores son ortogonales y cuando el producto punto es máximo bueno el producto punto de los vectores es máximo cuando nosotros tomamos los vectores que son lineales cuando yo me tomo dos vectores que son con lineales como estos que estoy dibujando justo aquí entonces pasa lo siguiente si yo me tomo a punto ven pues va a ser la longitud de a por la longitud ya esto lo tenemos que multiplicar por el coseno de cero grados porque son ángulos con lineales pero el coche no de cero grados es uno entonces esto se vuelve completamente máximo va a depender solamente de la longitud de amd y de la longitud de b esto es lo más grande que puede valer el producto punto de dos vectores en comparación que cuando nosotros pensamos en el producto cruz bueno en la longitud del producto cruz cuando se hace máximo la longitud del producto cruz estamos pensando en que estos dos vectores son ortogonales es decir forman un ángulo de 90 grados y fíjate bien pues nosotros hablamos del producto punto decíamos que esto era 0 es decir nos daba el valor mínimo bueno aquí entre comillas pensando que el producto punto es mayor que 0 o tomándonos el valor absoluto del producto punto porque también el producto punto negativo ya ver qué va a pasar cuando yo me tomo la longitud del producto cruz de dos vectores de dos vectores que son con lineales y mediante que tengo estos dos vectores aquí el vector a y el vector b si te das cuenta el ángulo entre estos dos vectores pues es cero vamos a la misma dirección y por lo tanto si yo me tomo la longitud la cruz de esto va a ser igual a la longitud de a por la longitud de b por el seno del ángulo que se forma entre estos dos vectores pero el seno del ángulo que se forme entre estos dos vectores es cero y por lo tanto cero por lo que sea me da cero y entonces en este caso la longitud del producto cruz de dos vectores es mínimo toma el valor más chico que puede ser y si a esto mismo lo comparamos con el producto punto el producto punto curiosamente en este momento toma su valor más grande que es la longitud de a que multiplica a la longitud de b y cosa que es completamente lo contrario a cuando tenemos dos vectores que son ortogonales porque cuando son ortogonales recuerda que la longitud del producto cruz de estos dos vectores es máxima porque toma la longitud de a por él la longitud debe solamente depende de las longitudes de estos dos vectores sin embargo cuando nosotros tomamos el producto punto de estos dos vectores cuando estos dos vectores son ortogonales pues ya sabemos que el producto punto de estos vectores que son ortogonales es igual a cero y esto es porque recuerda que el coseno del cero es cero y entonces todo se cancela estamos tomando el valor más el valor mínimo de el valor absoluto del producto punto de dos vectores y bueno curiosamente lo que más cuesta trabajo es el producto cruz así que quiero ver otra interpretación del producto cruz para acabar este vídeo no voy a tomar otra vez dos vectores este vector a este vector ven y ahora lo que voy a hacer es un paralelogramo un paralelogramo que tenga sus lados paralelos estos dos vectores algo así y ahora me voy a fijar en el área de este paralelogramo y bueno tienes el área de este para él logramos sí nosotros recordamos la noción de geometría básica me vas a decir o esto es la altura por la base la altura que es justo esta que estoy dibujando aquí este es un ángulo de 90 grados ya esto de aquí le llamamos la altura entonces déjame escribirlo la altura ya esto lo multiplicamos por la base entonces el área en este caso sería la altura por la base pero la base es la longitud del vector b entonces me va a quedar la longitud del vector ven por la altura ahora recordemos que aquí tenemos un ángulo el famoso ángulo entonces vamos a ponerlo aquí y voy a pensar otra vez en quién es el seno del ángulo theta el seno del ángulo theta acordándonos es el cateto opuesto entre la hipotenusa es decir esto es lo mismo que tener la altura que pinta de rojo entre la hipotenusa que es la longitud del vector a muy bien este es el seno del ángulo y si de aquí despejo a la altura me va a quedar que la altura es igual a la longitud del vector am por el seno de este ángulo que se dibuja entre estos dos vectores y bueno ahora voy a sustituir aquí arriba que me va a quedar el área de este paralelogramo es la longitud de ven por la longitud de amd por el seno que se forman entre estos dos vectores y quién es esto esto es justo lo mismo que la longitud de la cruz b es decir la longitud del producto cruz de estos dos vectores así que ya tenemos otra interpretación del producto cruz la famosa longitud del producto cruz de dos vectores es exactamente igual que el área de este paredes logramos que estamos dibujando aquí es decir nosotros nos tomamos el producto cruz del aspecto y nos da un vector bueno pues la longitud de este vector que vamos a obtener en la longitud del vector resultante es exactamente igual al área de este para el dow gramo que tenemos aquí y bueno así ya tenemos otra interpretación de esta longitud del producto cruz de dos vectores y bueno con esto acabó este vídeo y espero que te haya servido para entender las diferencias y comparar el producto punto y el producto cruz y entender mejor estos dos conceptos