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Transcripción del video

creo que ya hemos hecho bastantes vídeos hablando del producto punto de dos vectores y nosotros ya dominamos perfectamente el producto punto es hora entonces de pensar en lo que definimos como el producto cruz y es que el producto cruz es también otra forma de multiplicar dos vectores recuerda que hace tiempo te había dicho que había varias formas de multiplicar dos vectores pues el producto cruz es la segunda y seguramente ya has visto cómo obtener el producto cruz porque es algo muy intuitivo y que tarde o temprano llegaste ver el producto punto lo que nosotros habíamos visto es un producto que estaba definido para dos vectores en rn en cualquier dimensión tomamos dos sectores a y b y para estos dos vectores el producto punto estaba bien definido sin embargo ahora que pensamos en el producto globes tenemos una limitante el producto cruz solamente está definido para vectores en 93 solamente estamos viviendo en r3 ahora otra de las diferencias importantes es que el producto punto cuando nosotros realizamos nos daba una escala recuerdas el producto punto nos daban a escalar un numerito un número real mientras que si nosotros pensamos en el producto cruz éste no nos va a dar resultado en escalar nos va a dar resultado un vector y bueno cuál es el vector resultantes del producto cruz pues vamos a ver vamos a definirlo y seguramente te vas a hacer memoria y te vas a acordar que estoy alguna vez lo habías visto entonces el producto plus de dos vectores voy a tomarme dos vectores aquí en r3 abad el director cuyas componentes va a ser a 1 a 2 y a 3 y ahora me voy a tomar otro vector otro vector b director de también están r3 y sus componentes van a hacer la b1 b2 y la b3 tenemos tres componentes porque estamos en el retr es perfecto y ahora quienes a cruz b o dicho de otra manera quién va a ser a productor bruce com ve bueno pues vamos a definirlo y eso tiene que ver bastante con como hacíamos operaciones con matrices y determinantes y bueno de hecho creo que no hemos definido ni matriz determinantes alguna vez lo vimos cuando hablamos acerca de ecuaciones lineales o método desarrollos que se yo fíjate bien tenemos que tener tres componentes porque esto también va a vivir en 93 tres componentes la primer componente la vamos a sacar tachando estos dos y fija no solamente en a 2 b 2 a 3 ib3 y para obtener esto va a ser a dos por b 3 y a esto le vamos a quitar a tres por b 2 eso es muy importante a 2 b 3 - a tres b 2 así es como vamos a definir la primer componente de a cruz b ojo quitamos las primeras componentes y sacamos el determinante por así decirlo de la matriz a 2 de 2 a 3 bet 3 y no te compliques la vida tal vez no sea tan difícil como lo piensas ahorita simple y sencillamente todos para abajo - todos para arriba en este primer componente a dos por b 3 bajamos en diagonal ya eso le vamos a quitar a tres por veloz y nos olvidamos de las primeras componentes dejan escribirlo a 2 b 3 ya esto le voy a quitar a tres por b 2 - a tres por b2 y ojo el signo del medio siempre es menos siempre es negativo ahora como sacó la segunda componente de a cruz b bueno pues eso también es muy fácil lo único que hay que hacer es eliminar estas dos que tenemos aquí y seguramente va a decir ah pues aún o por b 3 - a tres por b 1 pero ojo solamente en esta ocasión cuando te hablamos de la segunda componente del producto cruz lo que va a pasar es lo siguiente vamos a voltear el orden primero van a hacer para arriba - los de abajo es decir a tres porque uno menos a uno por vez tres volteamos el orden de los humanos va a ser a tres porque uno primero todos para arriba y después - todos paraba a tres porque uno ya esto le vamos a quitar la multiplicación de la diagonal hacia abajo es decir menos a uno por vez 3 y este es el caso especial del producto cruz recuerda que la segunda componente el producto cruz pasa algo extraño en la componen de tres pues nos olvidamos por un rato cancelamos la tercer componente estos dos vectores y me va a quedar a uno por b 2 normal todos para abajo menos todos para arriba ya esto le voy a quitar menos a dos por de uno a dos por de uno y así está definido a cruz b el producto cruz de dos vectores y bueno este producto que los tienen propiedades muy importante es que justo y te vamos a ver pero antes de eso quiero que vayamos practicando la idea de producto cruz y para esto voy a utilizar un ejemplo y van a ver que no es tan difícil aprender de todo esto que tenemos aquí arriba voy a tomarme el vector 1 - 71 ya éste le voy a calcular su producto cruz con el vector 524 y que nos va a quedar bueno recuerda que el producto cruz en su primer componente lo que tenemos que hacer es ignorar o tal vez como que olvidarnos un poco de las dos primeras componentes y solamente fijarnos en los componentes dos y tres de mis lectores anteriores me va a quedar menos 7 por 4 -7 por 4 de kaman chris rock y -7 por cuatro ya esto hay que quitarle menos 1 x 2 - 1 x 2 y después llegamos a la segunda componente la importantísima segunda componente es la componente bizarra porque recuerdan que realmente lo que tenemos que hacer es una componente además de olvidarnos por un rato de las segundas componentes anteriores es multiplicar las diagonales al revés es decir vamos a multiplicar uno por cinco ya esto lo vamos a quitar uno por cuatro y después llegamos la componente número 3 y la componente número tres es normal primero para abajo y después para arriba y nos olvidamos por un rato de las terceras componentes de los dos sectores anteriores y simple y sencillamente me queda uno por dos y después a esto hay que quitarle menos 7 por 5 dejan poner un paréntesis -7 que multiplica a cinco déjame ver si lo estoy poniendo bien éste por éste y es menos 7 por 5 y bueno solamente que se las correspondientes cuentas lo que tenemos aquí vamos a ver - siete por 428 -7 por 428 menos dos me va a quedar abc ejemplo del equipo esto es menos 28 después -2 y del resultado me queda menos treinta o treinta negativo después tengo uno por cinco es uno menos cuatro apoyos éstos 11 menos es uno por 55 menos 41 positivo y después para finalizar tengo uno por dos que es 2 - por menos me da más en dos me quedan dos más 35 ó 2 - -35 lo cual me da 37 perfecto ya tengo mi lector resultado de a cruz b y seguramente te estás preguntando bueno y para que ver el producto cruz de dos vectores en r3 que chiste tiene este producto cruz y es que el vector cruz cumple una propiedad muy importante y es que el vector resultante del producto cruz ya sea el numérico o el abstracto cumple que es un vector ortogonal ojo es un vector ortogonal tanto a como avn es decir es un vector que eso toman al ave y ya recuerda que en el video pasado estábamos hablando acerca de cómo encontrar la ecuación de un plano dado un punto y un vector bueno pues si ahora tenemos dos vectores entonces ya podemos encontrar la cuestión de un plano porque si nosotros tenemos o dos vectores que va a pasar con sus lectores bueno si los dos vectores no son lineales así que voy a dibujar para cabe en este stand éste acabe ojo estoy pidiendo que los dos vectores no sean lineales entonces el espacio vectorial generado por dos vectores es un plano entonces déjame poner aquí alta lo que nos va a quedar de nuestro espacio vectorial generado por estos dos vectores es todo este de kim y a continuación lo que nos vamos a dar cuenta es que a cruz b es decir el producto cruz de dos vectores me va a quedar un vector que es ortogonal a estos dos o es ortogonal plano por lo tanto éste va a ser a cruz b y seguramente te estás preguntando por qué me estoy tomando a éste como a los ven porque no estoy tomando cualquier otro vector o puede ser tal vez un vector que sea para arriba ahorita vamos a hablar de las magnitudes de la cruz b pero lo que quiero que veas que por qué no me estoy dibujando un vector que vaya hacia abajo un vector que va hacia abajo también es ortogonal y bueno la respuesta de esto es que estoy utilizando la regla de la mano derecha y como es la regla de la mano derecha bueno déjame intenta dibujar una mano derecha por aquí y vas a decir que qué ocurrencias me sacó y que que bizarro pero esto que estoy dibujando aquí voy a suponer que es mi mano derecha este es mi dedo índice mi dedo índice va a apuntar siempre a dónde apunta el vector a entonces este dedo índice que estoy dibujando aquí va a apuntar hacia dónde va el vector a y después tengo que poner al vector b y para eso voy a utilizar a mi dedo del medio mi dedo del medio apunta donde está el vector b y los demás dedos pues no hacen nada y mi pulgar me va a decir a dónde va a cruz ven cuando yo asumí pulgar mi pulgar me va a decir dónde va a cruz b y si podemos decir que eres anatómicamente similar a mi hija bueno realmente entonces el vector am aquí lo voy a dibujar aquí también me voy a tomar al vector ven y entonces estoy diciendo que a cruz ve siempre va a apuntar hacia arriba o hacia dónde vaya mi pulgar en mi mano derecha tu pulgar no está colgando aquí abajo por lo tanto creo que sí puede funcionar bastante la regla de la mano derecha para pensar en la cruz b y bueno ya que estamos en el contexto de platicarles acerca de los vectores ortogonales cuál era la definición de un vector ortogonal a otro que tenía que cumplir pues déjame ponerlo aquí abajo si dos vectores eran ortogonales entonces pasaba los siguientes de acuerdo ortogonales estamos diciendo que iverson ortogonales si pasaba lo siguiente apuntó b es igual a cero recuerdas si pasaba esto es que eran ortogonales y el producto punto de dos vectores es igual a cero con plantes ortogonales entonces yo estoy diciendo que haya clubes ortogonal a y también es ortogonal ave entonces quiere decir que su producto punto tiene que ser igual a cero y bueno eso es lo que cumplían dos vectores quedan ortogonales ahora déjame mostrarte que en efecto a cruz b es ortogonal tanto a como b sería muy bueno probar lo estás de acuerdo de hecho creo que traería más insatisfacción probar esto así que me voy a poner un poco por la cam y la verdad no tengo ganas de escribir otra vez a cruz b por lo tanto lo voy a cortar ok cortar y ahora lo voy a pegar entonces lo que opera a pegar aquí lo voy a exponer polaca secreta de los que dan un poco de cosas raras pero bueno tú entiendes que éstos a cruz bien y ahora lo que quiero hacer es el producto punto de cruz b con primero con la vamos a ver a el vector a-1 a-2 a-3 y ahora vamos a calcular el producto punto de a cruz b por a y si esto me da cero es que son ortogonales así que vamos a intentarlo esto me queda a uno que multiplica a la primera componente de la cruz b es decir a uno por a 2 b 3 - a uno que va a multiplicar a tres dedos y a esto le tengo que sumar recuerda cómo estaba definido el producto punto eran sumas a eso lo tengo que sumar a dos que va a multiplicar la segunda componente de este vector a cruz bien me queda a dos por a tres por b uno menos a dos por a 1 b 3 y bueno ahora tengo que hacer lo mismo un gran tercer componente a 3 que va a multiplicar al tercer componente de a cruz b y me queda a 3 que multiplica a un novedosos ya esto le voy a quitar a 3 que multiplica a todos por de uno y yo sé que lo hice aquí abajo tal vez te confunda un poco todo esto pero date cuenta que al final estos dos primeros términos que tengo aquí salieron de multiplicar las dos primeras componentes estos dos términos salieron de multiplicar las segundas dos componentes y por último estos otros dos términos salieron de multiplicar las terceras componentes y vamos a ver qué nos queda del todo esto me queda a 1 a 2 b 3 pero estos positivos de acuerdo y por acá tengo a 2 a 1 b 3 negativo y si el orden de los factores no afecta al producto entonces éste y éste se cancela vamos a ver nuestro siguiente sumando me queda menos a uno a tres dedos y aquí tengo más a 3 a 12 se cancelan también que amigos y vamos a ver entonces qué pasa con el último sumando me queda a 2 a 3 a 1 y aquí me queda menos a 3 a 2 b 1 es lo mismo por lo tanto también se cancelan y qué crees si todo se va entonces el producto punto de estos dos me va a dar cero lo que quiere decir que a cruz punto el vector a es igual a cero y entonces estos dos son vectores ortogonales ahora voy a calcular lo mismo para ver igual y para ver los normales entonces voy a calcular a cruz b punto b y lo voy a poner aquí y aquí voy a poner todo esto punto b pero el sector b es el vector de 12 b 3 así que vamos a calcular cuánto es acn los ve punto b y entonces me va a quedar de las primeras componentes me queda b1 que multiplica a 2 b 3 - b 1 que va a multiplicar a 3 d 2 b 1 que va a multiplicar a 3 que su vez la multiplicará b2 y bueno ahora voy a multiplicar las segundas componentes y me queda b2 que va a multiplicar a todo esto de aquí b2 que multiplica a 3 b 1 dejando ponerlos y esto me va a quedar de 2 b2 que va a multiplicar a éste ya éste es que si no lo hago me confundo y recuerda que un errorcito y todo sale mal entonces b2 que multiplica a 3 d 1 - b2 que multiplica a a 1 b 3 ok y por último modificado las terceras componentes y las voy a multiplicar también sumando le queda b3 que multiplica a a 1 b 2 - b3 que multiplica a a2 b1 y vamos a ver qué se cancela con que o se cancela o si no se cancela entonces hasta aquí creo que vamos bien solamente utilizamos la definición del producto punto me queda de 1 a 2 b 3 y aquí abajo me queda donde está donde está aquí abajo me queda de 3 a 2 b 1 y entonces uno positivo y uno negativo se van y me quedan menos de uno a tres dedos y aquí tengo más de 321 exista de dos a tres veces uno positivo y no negativo y entonces también se cancelan estos dos también se van y para finalizar tengo uno negativo que es de dos a uno ve tres y uno positivo que es de tres a un 92 y por lo tanto estos dos también se cancelan y esto quiere decir que el producto punto de across b punto bm de acero o dicho de otra manera eso está genial porque llegamos a lo que queríamos es decir nos acabamos de dar cuenta que el vector resultante de a cruz b es ortogonal al vector ve que al final es justo lo que queríamos ver si a y b eran ortogonales al lector a cruz b y bueno espero que todo esto de sido bastante útil porque lo vamos a utilizar en los siguientes videos donde vamos a ver más propiedades acerca del producto plus