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Transcripción del video

fue en el video pasado que hablamos acerca de la desigualdad de koji swaps y en esta ocasión quiero recordar la desigualdad de koji swartz y además ver la famosa desigualdad del triángulo pero antes de eso vamos a recordar que decía la desigualdad de coches y swaps y de ahí vamos a partir de cía tomemos los dos vectores x y gem y estos vectores van a existir en rn son dos factores que exceden a rehenes y recordemos que ninguno de los dos tenía que ser el vector 0 en vectores no nulos y bueno entonces la desigualdad de por sí swatch me decía lo siguiente si yo me tomo el valor absoluto del producto punto de estos dos vectores esto es menor o igual que la multiplicación de sus longitudes vamos a escribirlo si yo me tomo el valor absoluto de x punto y en esto es menor o igual que tomarme la longitud del vector x ya está multiplicarla por la longitud del vector bien y es que al final recuerda que estamos comparando dos valores escalares porque tanto el producto punto te da resultado un escalar como la longitud quedaba de resultado en escalar y si nosotros tomamos el valor absoluto no escalar pues sigue siendo una escalar imagínate que tienes un vector de 50 componentes un vector que existe en el 50 si nosotros calculamos su longitud sigue siendo número escalar podrá darnos por ejemplo 3 y bueno en fin también hablábamos de cuando se cumplía la igualdad y la igualdad se cumple cuando uno de los dos vectores es un múltiplo escala del otro por ejemplo aquí x es igual a cbs llegue y se cumple la propiedad de que no era cero porque si se fuera a cero pues qué chiste tendrían entonces se es no cero y estamos diciendo que estos dos vectores son con lineales al igual que los vectores solamente que se es una escalada y entonces decimos que en este momento justo en esta ocasión y solamente en este caso se cumplía la igualdad es decir que x punto gem en valor absoluto es exactamente lo mismo que la longitud de x multiplicada por la longitud de hielo la longitud del doctor x multiplicada por la longitud del vector jam y esto es lo que decía la desigualdad depósito arts y bueno también la igualdad por situarse en el caso en el que los dos vectores serán lineales y bueno a partir de aquí quiero empezar el video de hoy y lo que quiero empezar a ver es tomarme dos vectores y sumarlos y después tomarme la longitud de esta suma de dos vectores recuerda que la suma de dos vectores también es un vector y a esta longitud elevarla al cuadrado así que a escribirlo la longitud de la suma de dos vectores elevada al cuadrado y la estoy llevando al cuadrado porque recuerda que eso era exactamente lo mismo que tomarme el producto punto del vector que está dentro de la longitud punto el mismo fíjate que estos vectores se dan un vector y entonces esto lo podamos escribir de la misma forma que x massieu punto equis más bien es justo la primera propiedad que vimos en el primer vídeo de esta serie entonces x maye punto equis magem y bueno recuerda también que vivimos ya varias propiedades del producto punto como que es conmutativo o como quiera distributivo y de hecho justo esta es la propiedad que quiera utilizar ahorita el producto punto es distributivo así que voy a aplicar las mismas reglas para abrir este producto punto y bueno tal vez en el video pasado hice un poco rápido y no quiero que te confundas al final el producto punto se comporta como si tuviéramos dos binomios multiplicándose entonces para qué no te confundas otra vez dejan de tomar un nuevo color y voy a poner la multiplicación o cómo se abre el producto punto por la distributiva y dad de una manera bastante clara voy a poner x más bien en los primeros humanos de color amarillo x magem punto equis mayer y bueno utilizando la propiedad distributiva precisamente el producto punto eso me quedaría como x punto equis magem ya esto le tengo que sumar ye punto equis mayer pero éste ya amarillo déjame ponerlo de color amarillo para que no nos perdamos es que éste llegue el sumando amarillo punto equis magia en lo único que estoy haciendo es abrir el producto punto de estos dos mandos que yo tengo aquí lo único que hice fue para el producto punto tanto para el primer sumando como para el segundo sumando y bueno utilizando otra vez la misma propiedad si yo saco el producto punto de x punto es más bien pues es lo mismo que x punto x mas x punto ya dejamos que lo que bajo estos justo lo mismo que x punto equis la x de amarillo la otra x que es de color azul más x punto y en la x amarillo punto la aie de color azul ya esto le tengo que agregar ye punto equis imagen pero de igual manera si se cumpla es tributo y vida del producto punto aquí me va a quedar ye punto equis más de punto y en 10 de color amarillo punto equis de color azul más ye punto hoy en día de color amarillo punto y es de color azul y bueno a continuación no voy a ir un poquito más rápido porque lo que quiero recordar es algo que ya vimos varias veces x punto equis quienes x punto x es lo mismo que la longitud del vector x elevado al cuadrado esto ya lo habíamos utilizado aquí arriba x punto x es exactamente lo mismo que la longitud del lector x elevada al cuadrado así que déjame escribirlo la longitud del vector x aquí voy a ponerlo la longitud del vector x elevado al cuadrado ya no importa el color la longitud del factor x elevado al cuadrado ya esto le tengo que agregar a quien le tengo que crear pues tengo una vez x punto gem más otra vez le punto equis pero también sabíamos que el producto punto era conmutativo por lo tanto x punto y el punto x es justo lo mismo y si yo sumo dos cosas iguales pues me quedan dos veces esa misma cosa es decir que estos dos se pueden simplificar en 2 veces x punto y en 2 que multiplica ax punto y en que al final esto es una escala ya esto le voy a sumar 10 puntos jem pero hoy en punto gem también sabemos qué es exactamente lo mismo que la longitud de ye elevada al cuadrado la longitud de gem elevada al cuadrado que por cierto date cuenta que aquí sigue obteniendo un valor escalar fíjate que tengo una escala más no escalar más una escala lo cual me da una escala bueno esto es en primera parte también quiero recordar otra cosa que arriba si yo tengo el valor absoluto de un número esté siempre va a ser mayor al que este mismo número estás de acuerdo y si yo aplico esto mismo vectores me quedaría lo siguiente que x.org iem es menor o igual que el valor absoluto de x.org gem porque fíjate bien x punto y es una escala pero x punto le puede tomar un valor negativo imagínate que x todas las componentes de x son positivas y todas las componentes de diestros negativas x punto ye sería un valor negativo ser un escalador negativo y esto es menor o igual que si tomáramos este mismo valor pero en valor absoluto por lo tanto esta desigualdad se cumple un número siempre es menor o igual que ese número en valor absoluto fíjate bien aquí tenemos el valor absoluto de x punto y mh entonces aquí puedo agregar otra pequeña desigualdad no va a quedar que x punto gem es menor o igual que el valor absoluto de x punto gem que es justo lo que acabamos de ver aquí abajo y esto a su vez es menor o igual que la longitud de x x la longitud de jem y esto por la propiedad de la desigualdad de consensuar y perfecto porque esto lo voy a utilizar aquí abajo esto me va a servir para ya casi finalizar la famosísima desigualdad del triángulo fíjate bien lo que tenemos aquí abajo tenemos dos veces x punto gem que pasase a continuación poco que esto es menor o igual que lo que tenemos aquí arriba la desigualdad de coches y swaps esto es menor o igual que fíjate bien voy a poner las dos actitudes al cuadrado iguales y en lugar de poner 2 veces x punto gem voy a utilizar la desigualdad de kochi swartz entonces me va a quedar la longitud de x elevada al cuadrado más dos veces déjame ponerlo aquí más dos veces y ahorita vamos a ver qué ponemos aquí y al final me queda más la longitud de ye elevada al cuadrado y aquí el médium voy a reemplazar x punto jem por la longitud de x multiplicada por la longitud de ye porque yo sé que esto se cumple la longitud de x por la longitud de yes mayor o igual que x punto y en y entonces sustituyó a esto aquí me va a quedar que esto es mayor o igual que lo que teníamos anteriormente dos veces la longitud de x que multiplica am a la longitud de jem y ahora si me vas a poder creer perfectamente esta desigualdad de cabo de escribir y bueno todo esto que tenemos aquí arriba todo esto de aquí es exactamente lo mismo que la longitud de el vector x maye elevado al cuadrado con esto fue justo con lo que empezamos por lo tanto dejan escribir aquí todo esto era lo mismo que esta expresión que tenemos aquí arriba con esta expresión fue con la que empezamos y entonces me queda que la longitud del vector x mas he elevado al cuadrado es menor o igual que todo esto que tenemos aquí la derecha y bueno ahora fijémonos en qué es lo que pasa que la derecha se te das cuenta tenemos agua al cuadrado más dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado y sabemos que la longitud nos da escalares entonces vemos una escala elevado al cuadrado más dos veces una escalar por otro escalar más el segundo escalar elevada al cuadrado y éstos justo un binomio al cuadrado perfecto un binomio cuadrado perfecto que habla de que el primer término y el segundo término son la longitud de x y la longitud de ella es decir que esto lo puedo escribir como la longitud de x más de longitud de jett todo esto elevado al cuadrado y bueno esto es lo mismo que tenemos aquí la derecha por lo tanto equipo poner menor o igual que la longitud del vector x mahé elevado al cuadrado fíjate que se cumple el cuadrado del primero más dos veces el primero por el segundo más el cuadrado del segundo y bueno no vamos a olvidar la parte izquierda de esta desigualdad la longitud del vector x más elevada al cuadrado es menor o igual que estoy aquí la longitud del vector x más elevada al cuadrado es menor o igual que la longitud de x más de longitud eye elevada al cuadrado y bueno qué pasa si toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación me va a quedar que la longitud del vector x más bien es menor o igual que la longitud del vector xmas la longitud del vector yen y a esto justo a esto es a lo que se le conoce como la desigualdad del triángulo cuando yo les hablo de la desigualdad del triángulo me estoy fijando en longitudes en que la longitud es la longitud del vector x majem ya esto lo estoy comparando la longitud de x más la longitud de jem y para recordar que es la desigualdad el triángulo recuerda que la longitud del vector x mas ya es menor o igual que la longitud de cada uno de los vectores del vector x más la longitud del vector gem así que ahora me voy a transportar al mundo del papel de las gráficas y ya que tengo aquí las gráficas ahora sí voy a dibujar el vector x voy a dibujar el vector jem y vamos a ver esta desigualdad de una manera gráfica imagínate que éste es mi vector x no estoy tomando un vector así al azar no importa pero vamos a llamarle a este vector el vector x y entonces no voy a tomar ahora el vector jem y como me quiero tomar la suma de x magem entonces voy a poner aie que en vez de justo en el punto final del vector x por lo tanto voy a decir que esta es mi victoria en sin pérdida y de generalidad estoy tomando un vector también aquí cualquiera y ahora sí tiene es el vector x magem si nosotros acordamos el vector x magem es aquel sector que empieza en el punto inicial de xvii que termina en el punto final de gem así definimos la suma de dos vectores así que éste de kim va a ser director x más bien y bueno la desigualdad del triángulo lo que me dice es que me fijé en las longitudes de todos estos vectores así que vamos a fijarnos si yo pongo la longitud del vector x magem me desigualdad el triángulo dice que esto debe ser menor o igual que la longitud de x más la longitud de jem y si estamos hablando del plan cartesiano derredor esta desigualdad es muy clara porque si yo quisiera ir de un punto a otro la distancia más corta que hay un punto al otro es firme en línea recta y no pasar por un punto intermedio porque aquí estamos yendo a otro lugar antes de llegar al punto en el que queríamos acabar nuestro destino y ahora si pensamos en cuando se cumple esta igualdad vamos a pensar en que los vectores también son con lineales fíjate bien imagínate que yo me tomo a éste como el vector x y ahora a continuación le sumó un vector ya que es colineal es de aquí va a ser director james que es co lineal y además está encima del vector x esté aquí es mi vector bien y bueno si te das cuenta 7 factor x y es un director gem la suma de x majem es exactamente lo mismo hablando de longitud es que la longitud x más de longitud y él y bueno si esto nos hace pensar que estos dos sectores son lineales vamos a ver si las matemáticas nos concuerdan así que déjame quitar de nuevo todo esto que tengo aquí vamos a quitar los llanos castellanos y vamos a trabajar con las matemáticas para ver si realmente se cumple la igualdad del triángulo en el dado caso en el que estamos hablando de vectores con lineales así que fíjate bien voy a suponer otra vez que x es igual hace veces llegué es decir que uno de los dos vectores es un múltiplo escala del otro dejan escribir joaquim el vector x es igual a cbc es el vector ye es igual a cbc es el vector jem y bueno ahora yo lo que quiero fijarme es qué pasa con este 2 veces x punto gem yo lo que sabía por la desigualdad de bolsillo arts es que se cumple la igualdad cuando me tomo el valor absoluto de x punto y en y claro utilizando que los vectores son lineales se cumplía esta igualdad fíjate bien aquí dice que el valor absoluto de x punto y es lo mismo que la longitud de x por la longitud de jem y aquí tengo a x punto y no tengo el valor absoluto de que es punto jem por lo tanto me faltaría saber si realmente x punto y es positivo y no forzosamente es positivo habíamos dicho que un producto punto puede ser que sea negativo sin embargo si yo me tomo a la constante esta constante que tengo aquí como una constante positiva con un número escalar positivo entonces si se cumple que esto es lo mismo que el valor absoluto fíjate bien si yo tuviera x punto gem utilizando que x es igual a cbc es el vector llegue entonces esto me va a quedarse veces el lector qué punto el vector jem y bueno ye punto y es lo mismo que la longitud de ye elevada al cuadrado la longitud de ye elevada al cuadrado y toda la longitud de un vector es positiva o igual a cero entonces para que esto sea positivo necesitamos que se sea positivo y si tomamos hace positivo entonces si en efecto se cumple que x punto y es lo mismo que él valora fruto de x.org iem y el justo lo que queríamos porque si yo tengo dos veces x punto llegue y estoy tomando ax igual a una constante positiva porque entonces me queda que esto es lo mismo que dos veces el valor absoluto de x.org y y si además recordamos que la desigualdad de kojic me dice que si los vectores son lineales se cumple entonces esto es igual a la distancia de x por la distancia del yen entonces me va a quedar que dos veces x punto ya que si se es positiva es exactamente lo mismo que dos veces la longitud de x que multiplica a la longitud de hiel ojos recuerda que me estoy tomando la constante positiva y sims retomando la constante positiva entonces estoy diciendo que esta expresión que yo tengo aquí y esa expresión que yo tengo acá son iguales 2 veces x punto gem tiene que ser igual a dos veces la longitud de x por la longitud de jem y si te das cuenta este a lo único que nos faltaba para que se cumpliera la igualdad por lo tanto estas dos expresiones sean iguales y terminaríamos diciendo que en este caso la longitud de x magi es exactamente igual a la longitud de x más la longitud de jane y ojo recuerda que todo esto lo estamos construyendo tomando en cuenta una cosa bastante importante que los vectores además de ser co lineales es decir que un vector son múltiples que la del otro tienen que cumplir que la constante por la cual está multiplicada el vector llegue sea positiva si pasa esto entonces se da la igualdad y si se da la igualdad entonces pasa esto sí y sólo sí que si te acuerdas en los planos cárcel a los que yo había dibujado hace rato era exactamente lo mismo que el segundo ejemplo que habíamos visto la longitud de x magia es exactamente igual a la longitud de x magnitud eye cuando teníamos un vector encima del otro y bueno ya casi te estoy escuchando me estás diciendo sal es que el álgebra lineal parece ser un poco bomba porque al final todo esto ya lo había visto en alguna clase de secundaria de preparatoria o es más por simple ilusión yo sé que si yo quiero llegar de un punto a otro de una manera mucho más rápida la manera más rápida de llegar de un punto a otro de la línea recta pero bueno todo esto lo estamos viendo gráficamente en rd sin embargo lo que yo quiero que piense si es que pasa tenemos vectores en rn es decir imagínate que agarramos un espacio de 50 10-20 100 dimensiones lo que sí sé es que estos vectores tanto el doctor x como el vector gem puedan tener en el componente siendo puede ser 100 puede estar viviendo en el recién por ejemplo y si nosotros pensamos en vectores con 100 componentes ya no es tan fácil observar esta desigualdad del triángulo y sin embargo lo importante del álgebra lineal es que todos estos resultados los está generalizando para cualquier en el que tú te tomes puede ser en cualquier espacio dn dimensiones y aunque no hemos visto la definición formal de dimensión estoy seguro que ya te estás imaginando lo que es y también por ello es la importancia que tiene esta desigualdad del triángulo claro contando esto que está aquí que no podemos olvidar y de hecho en el siguiente video yo quiero pensar acerca del ángulo entre dos sectores mediante que nos tomamos un ángulo de dos vectores narrados y tomarse decir a aprender de 12 es muy sencillo por ejemplo puede tomar este ángulo que está aquí pero si yo te digo que pensemos en definir un ángulo entre dos sectores de el de componentes ya no se pone tan sencillo y esto es justo lo que quiero ver en el siguiente vídeo