El vector normal a partir de la ecuación del plano

lo que quiero hacer en este vídeo es estar seguro de que estamos escogiendo bien cuál es el vector normal al plano si recibimos la ecuación para el plano así que para entender vamos a empezar con un plano por aquí comencemos así que para esto voy a dibujar aquí un plano pero recuerda que su plan infinito solamente me estoy tomando una parte del plano porque el plano crece para todos lados y aquí voy a tomarme al vector normal que va a ser de la forma x y el vector canónico más b por jota el otro vector canal y con más c porque mis vectores canónicos este es un evento normal y recuerda que este vector normal cumple una propiedad muy importante este vector normal es ortogonal a todos los vectores que están aquí en el plano y bueno a continuación me voy a tomar un punto que le voy a poner el punto x p ep y zp porque es un punto que vive en el plano xp de plano entonces es xp gps tape es este punto de aquí y bueno puedes dibujar unisex coordenadas voy a suponer que éste el eje de las setas este es el eje de la siesta este de aquí es el eje de las 10 y por aquí está en mi eje de las x déjame ponerlo mejor por aquí está en mi eje de las x perfecto ya continuación voy a dibujar un vector posición un vector en su forma estándar que cumpla una propiedad que su punto final es decir el punto dando llega este vector sea este punto x p gps tp este vector va a ser muy importante por lo tanto quiero que de una vez escribamos sus componentes sus componentes van a ser xp por el vector canónico y massieu p por el vector canónico j zp por el vector canónico k porque es un vector en posición estándar y un vector posición y bueno a este vector lo voy a bautizar con el nombre de p 1 este vector le voy a decir que el vector p 1 ip1 porque llega hasta el plano que nosotros tenemos aquí este es el bautizo de p 1 y bueno a continuación también me voy a tomar a otro punto en este plano otro punto y voy a suponer que si este es el xp gps tape a éste lo voy a llamar mucho más fácil va a ser éste aquí ya este punto le voy a llamar x jay-z más fácil que el otro y este punto equis y zeda también este del plano y también voy a dibujar un vector posición en su forma estándar que llegue hasta este punto que está aquí esto está punteado y fíjate que que ya tengo a mi vector en mi vector tiene como ecuación asociada pues sería x x y maciej por jota más se está por acá xy jz cab perfecto ya tengo aquí a mi otro vector y bueno lo que quiero que veas a continuación es algo muy importante es algo indispensable para poder darle el nombre a este plano porque si nosotros tomamos la diferencia de estos dos vectores entonces me estoy tomando un vector que existe en este plano fíjate bien yo tengo que tanto el vector p1 como el vector p ambos llegan a un punto del plano por lo tanto si yo me tomo la diferencia entre estos dos vectores que va a ser este vector de azul que voy a dibujar este vector de azul que voy a dibujar existe en este plano vamos a unir con la con cabeza y no voy a tomar de aquí a acá este vector existe en este plano que me estoy tomando aquí este vector es muy importante porque date cuenta en primer lugar es el vector p - p 1 este vector llamado p - p 1 es la diferencia de dos vectores y recuerda que es el vector que tiene como punto inicial el punto final de p 1 y como punto final el punto final de p o en su dado caso podremos decir cuál es el vector que le falta a p 1 para llegar al vector p y pues este es el vector p - p 1 ahora date cuenta que como va de 2 puntos que están en el plano este vector existe en este plano y por lo tanto va a cumplir que es ortogonal al vector normal n recuerda que todos los vectores que estaban en el plano todos eran ortogonales a este vector normal y recuerda que si dos vectores son ortogonales entonces su producto punto es igual a cero plazas eso vamos a calcular quién es p - p uno ha puesto es el vector x menos xp es decir la diferencia de sus dos primeras componentes que a su vez multiplican al vector canónico después me quedan más de siete tomándome la diferencia que multiplica el vector canónico j y por último más z menos zp que multiplica el vector canónico acá y bueno lo que yo sé es que como este vector xxi en el plano y todos los vectores que existían en mi plan no eran ortogonales al vector n entonces recuerda que en 'punto cualquier vector en el plano es igual a cero porque son ortogonales en este caso en el punto p - p uno es igual a cero y bueno quien es per - p uno podremos ya calcularlo esto lo que daría el primer componente de n por la primer componente de p - p 1 y me quedara x menos a xp más la segunda componente de n por la segunda componente de términos p uno que me queda b y btp y por último la tercera componente de n que ese que multiplica a su vez a la tercera componente del vector p - p uno me va a quedar por zeta - c por zp y recuerda que esto es un escalar el producto punto me da de resultados escalares por lo tanto todo esto de aquí es una suma de los reales y bien todo esto tiene que ser igual a cero por lo tanto a continuación lo que voy a hacer es pasar del otro lado todo lo que tenga que ver con el punto p por lo tanto me voy a quedar con x con beijing y con cz de un lado de la ecuación y del otro lado voy a pasar los signos contrarios a todo lo que tiene que ver con el punto p por lo tanto me queda a x más bella más cz esto es igual a quién bueno pues voy a pasar todo el otro lado entonces este de aquí se va a ir positivo y me va a quedar es para tejer y escribirlo por acá me va a quedar a xp positivo entonces déjenme que agarrar el color rojo para poner a xp entonces tengo a xp positivo ya esto le tengo que sumar b gp porque quiera negativo y cuando pasa del otro lado se vuelve positivo más bien p ya esto tengo que agregar zp entonces más sé zp perfecto y si te das cuenta aquí ya tengo el ecuación de un plano recuerda cumplan dos son todos los puntos de la forma x z que cumplen esta ecuación que acabo de encontrar aquí pero bueno esto ya lo sabíamos esto ya lo habíamos visto en vídeos pasados ahora lo que quiero ver es lo contrario a esto dado un plano como encuentro yo mi vector normal es decir si les doy la ecuación de un plano como puede un contrario el valor de este vector normal aquel que me sirve para definir este plano entonces supongamos que les doy a x más bella más cc está igual a d esta es la ecuación de un plano que está en r3 bueno mi pregunta es cómo encontramos la ecuación o las componentes de mi vector normal asociados a este plano y bueno para esto lo que quiero que veas es a lo que acabamos de llegar esto que acabo de escribir del lado derecho es justo esta ecuación que tenemos aquí abajo a x más bella más ez aunque sea de minúsculas y del otro lado que teníamos teníamos todo esto de aquí entonces déjame copiar perfecto entonces lo voy a poner aquí entonces lo único que hice fue escribir esta ecuación al revés para que te des cuenta de lo siguiente si ya tengo en la ecuación de un plano entonces ésta tiene que ser esta mayúscula esta minúscula tiene que ser esta vez mayúscula y esta minúscula tiene que ser esta semana y todo esto que está aquí tiene que ser de estos valores y lo sabemos porque son números reales es una operación en los nuevos reales y esto tiene que darnos el valor de de y bueno todo esto para que te lo estoy contando porque date cuenta de una cosa si nosotros ya sabemos que a minúscula es lo mismo que a mayúscula lo mismo para ver lo mismo para c entonces nuestro vector normal tenía como componentes a b y c o si te das cuenta nuestro vector normal lo podemos escribir como a y más bj más seca que en este caso va a ser a y más bj más seca en mayúsculas y así de fácil y así de sencillo podemos encontrar las componentes o la ecuación de nuestro vector normal es decir vamos a hablar un ejemplo supongamos que yo te pongo plano este plano de aquí menos 3 x déjame ponerlo por acá bar que si nos quepa menos 3x ya esto le voy a sumar la raíz de dos por james ya esto más o menos más más 7z vamos a ponerlo más 7z igual a pi no sea cualquier número no importa lo que quiero que veas es que ya sabemos cuáles son los componentes de nuestro vector normal nuestro vector normal lo podemos escribir muy sencillo porque solamente nos fijamos en qué valores aunque coeficientes están al lado de la x de la ley y de la zeta es decir nuestro vector normal nos va a quedar la forma menos 3 y más raíz de 2 por jota más 7 por acá así de fácil y así de sencillo y date cuenta que no importa qué número tengamos aquí podemos tener brillo o cualquier otro número que se nos ocurra porque al final este número nos dice en donde cortamos al eje de las setas podríamos tener por ejemplo el valor de o el valor de 100 lo que sea porque al final podemos prescindir de este valor porque este valor solamente nos dice cómo se traslada a nuestro plano pero una inclinación del plano sigue siendo la misma y cómo sigue siendo la misma entonces el vector normal sigue siendo ortogonal a todos los planos de esta forma espero que esto te haya sido bastante útil porque en el siguiente vídeo voy a utilizar estos mismos conceptos para definir la distancia de un punto afuera de un plano a ese mismo plano