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Transcripción del video

vamos a tomarnos dos vectores no nulos me voy a tomar el vector x y me voy a tomar el vector jem y más electores que existan en rn es decir que tengan en el componentes y recuerda que lo que estoy pidiendo estos dos sectores que no sean cero que no sean el vector 0 y bueno yo lo que quiero construir con estos dos vectores es la siguiente desigualdad fíjate bien me voy a tomar el valor absoluto de x punto iem el valor absoluto de x punto ya y si te das cuenta cuando calculamos el producto punto de dos vectores nos da un número real por lo tanto puedo calcular el valor absoluto de un número real y esto va a ser menor o igual que la longitud de x multiplicada por la longitud de jem y de hecho esta igualdad se cumple es decir quitamos la desigualdad en la siguiente ocasión solamente cuando ocurre lo siguiente así que vamos a escribirlo el valor absoluto de x puntos james es igual a la longitud de x por la longitud de gem es decir que lo que vamos a buscar es cuando se cumple esta igualdad cuando quitamos la desigualdad entonces el valor absoluto de expulsión es igual a la longitud de x por la longitud de gem si pasa lo siguiente y es sí y sólo sí sí pasa que uno de estos dos vectores es un múltiplo escala del otro y si recuerdas eso significaba que uno de los dos vectores era con línea al otro o dicho de otra manera que podemos ver a uno de los vectores como c veces el otro sin pérdida de generalidad voy a decir que x es igual aceves es el vector bien y bueno a todo esto que tenemos aquí se le conoce como la desigualdad de koji swaps la famosa desigualdad de kochi swaps y es que justo lo que quiero en este vídeo es probar esta desigualdad nosotros no podemos dar nada por sentado sería muy bueno que con todas las herramientas que hemos construido hasta ahorita podamos demostrar esta desigualdad y para esto no voy a tomar una función que tal vez parezca un poco artificial no es una función que me va a ser muy útil para poder demostrar la desigualdad de kochi swaps y la función que me voy a tomar es la siguiente bt es igual a la longitud del siguiente dr voy a tomarme tevez es el vector james de las cuentas y multiplicó al vector que por un número realmente un vector ya esto le voy a quitar el vector x lo cual me sigue dando un vector y a todo esto lo voy a calcularse longitud y elevarla al cuadrado y bueno seguramente te estás preguntando por qué me voy a tomar esta función pero antes a explicarte esto quiero que recordemos lo siguiente te acuerdas de la definición de la longitud de un vector la longitud de un vector ve la veíamos como la raíz cuadrada de su primera componente eleva a cuadrado más su segunda componente elevada al cuadrado y así cada uno de sus componentes y ya esto definíamos como la longitud de un vector ahora lo que quiero que veas que la longitud de un vector siempre es mayor o igual a cero porque si nosotros tomamos cualquier número y lo llevamos al cuadrado me da mayor o igual a cero y si tomamos por la suma de cosas mayores o iguales a cero me da algo mayor o igual a cero y sacamos la raíz cuadrada de algo mayor o igual a cero es mayor o igual a cero y por lo tanto esta longitud que yo tengo aquí va a ser mayor o igual a cero es decir peñate es mayor o igual a cero lo segundo que quiero que recordemos es algo que vimos hace un par de videos que me va a ser muy útil para demostrar esta desigualdad fíjate bien la longitud de un vector al cuadrado era lo mismo que el vector punto el rector esto lo vimos hace dos videos y bueno justo esto es lo que voy a utilizar ahorita para escribir la forma en la que definí pdte es decir cómo esta longitud elevada al cuadrado como un producto punto de dos vectores es decir tevez es el vector quien menos el vector x punto de veces el victoria - el vector x estoy utilizando solamente lo que acabo de escribir de verde a la derecha y bueno en el video pasado habíamos demostrado algunas propiedades como asociatividad como conmutativa vidad y como distributiva y dad que voy a utilizar justo ahorita de hecho lo primero que voy a hacer es distribuir este producto punto que tenemos aquí recuerda que el producto punto es una forma de multiplicación de vectores que cumplía la distributiva y dad por lo tanto lo único que tengo aquí es como si tuviera dos binomios multiplicándose solamente que están multiplicando por el producto punto entonces esto me va a quedar tevez es el vector che punto tevez es el vector gem estoy multiplicando primer vector de esta diferencia de vectores por el primer rector de la segunda diferencia de vectores y me queda de veces jem punto te bese quien después me voy a tomar a - x el vector menos aquí sí voy a calcular su producto punto con tevez es llegue y que me queda como el producto punto se va a quedar - x punto tevez es el vector quien ahora voy a hacer lo mismo con tevez es llegue punto el vector - x es decir este equipo y este de aquí y entonces me queda menos tevez es llegue menos de veces llegué punto equis y bueno por último me queda el vector - x que a su vez hay que tener el producto punto con menos x y entonces esto que decir que es menos 1 x lo puedo poner así con menos 1 x punto el vector - 1 x date cuenta que aquí es como si tuviéramos un -1 es decir como si tuviéramos una constante multiplicando el vector 10 que al final - x es lo mismo que menos uno por el vector x así es mucho más fácil pensarlo para no meternos en complicaciones y bueno ya que tengo esto es porque va a ser igual si te das cuenta tengo te veces llegué punto tevez es bien aquí puedo sacar a ambas tesis y multiplicarlas por lo tanto no va a quedar ye punto ye que multiplica ate cuadrada recuerda que la multiplicación por escalar y el producto punto cumplen asociatividad y después de aquí y de aquí voy a realizar la resta de estos dos vectores si te das cuenta cómo el producto punto y la multiplicación por escalar a su vez son asociativas entonces me estoy tomando la diferencia de dos números reales iguales por lo tanto me queda menos dos veces el producto punto de x punto llegue y esto multiplicado porte y bueno para finalizar aquí tengo tengo menos uno por -1 las constantes se van porque menos por lo menos me da más uno por uno cada uno y al final solamente me queda x punto x x punto x todo esto utilizando las propiedades del producto punto y bueno vamos a ponerlo de colores para que veas de donde salió cada cosa esto sale de aquí los rosales de lo rosa y león hará casal el naranja y esté aquí es mayor o igual a cero porque habíamos dicho que pt es mayor o igual que será entonces cuando ponerlo estos mayor igual que cero y por otra parte pues esto es lo que habíamos definido como p detem con una función de un escalar ahora seguramente sigue preguntando por qué me tomé esta función y no me tome cualquier otra expresión o por qué partida esta expresión de aquí porque a continuación lo que voy a hacer es nombrar las cosas de una manera mucho más sencilla para que te des cuenta de la importancia de tener apt emm voy a decir que a este punto y en voy a decir que ve es menos 2 veces x punto gem recuerda que al final esos son números reales hice también va a ser x punto x también es humano real y ya tengo las nuevas definiciones a b y c entonces esto no puede escribir la siguiente manera no puede escribir como adecuada - b p eso nos va a ayudar a ver de una manera mucho más sencilla y a esto lo voy a sumarse y si te das cuenta a b y c son números reales y por lo tanto esta es una función que depende solamente de temps esta especie de tótem que no hay que olvidar que es mayor o igual a cero y es mayor o igual a cero para cualquier t por lo tanto no voy a tomar un mate especifica la cual me va a ayudar a obtener la desigualdad que yo tengo que arriba voy a calcular quienes pedepe entre dos a voy a evaluar esta función en el tiempo igual ave entre dos a y lo primero que quiero que veas es que este tiempo sí está definido es decir lo que voy a buscar es que dos a no sea cero porque si fuera a 0 esto no estaría definido pero a no es cero porque es el producto punto de jep punto jem y lo más importante habíamos dicho que ye no es un vector nulo no es el vector 0 y por lo tanto a que este punto llegue sólo podemos ver cómo la longitud de ye elevada al cuadrado no es cero porque al menos una de sus componentes es distinta de cero y dos veces a no es cero y por lo tanto ve entre dos así está definido y bueno ya que me di cuenta que eso sí está definido entonces voy a sustituir atep orbe entre dos a él le va a quedar a que multiplica adecuada pero te cuadra das de cuadrada entre 4 am ya esto le voy a quitar bebés este perote sve entre dos a entonces de que multiplica ave entre dos a ya esto le voy a sumarse ya esto lo voy a sumarse y esto es mayor o igual que cero porque recuerda que esto es mayor o igual que cero para cualquier t y bueno ya que llegamos a esto vamos a simplificar un poco por ejemplo aquí tengo una idea que una dividiéndose bank y aquí tengo b por ver pues éstos de cuadrada entonces déjame escribirlo silva cuadrada entre 4 am - dépor b es de cuadrada de cuadrada entre dos a más cm más cm y esto es mayor o igual a cero y fíjate bien aquí tengo cuatro hay aquí tengo 2 am qué pasa si multiplicó a esta expresión aquí por dos tanto arriba como abajo 2 entre 231 y entonces no estoy haciendo nada pero lo que realmente hice fue encontrar un denominador común y entonces ahora sí podrá estar estos dos me quedaba cuadrada entre 4 a menos dos veces de cuadra de entre 4 a pues esto lo puede significar como menos de cuadrada entre cuatro a dejar de escribir aquí abajo estos menos de cuadrada entre 4 am más en esto es mayor o igual a 0 ya continuación lo que voy a hacer es sumar de cuadrada entre cuatro a de los dos lados de la ecuación o dicho de otra manera lo que voy a hacer es pasar del otro lado de cuadrada entre 4 am y me va a quedar que se es mayor o igual que ve cuadrada entre cuatro a lo único que hice es pasar a ésta que tiene signo negativo del otro lado con signo positivo ya continuación lo que voy a hacer es multiplicar todo por cuatro veces a pero ojo esto es multiplicando todo por cuatro veces a recordando quién era aes ye punto ye y como dijimos que lle punto oye es siempre mayor que cero recuerda que como llegué no es un vector nulo entonces y el punto y es lo mismo que la longitud del vector ya elevada al cuadrado lo cual es mayor que 0 entonces yo puede multiplicar ambos lados de esta desigualdad por 4a y de hacer contando todo esto por una razón específica porque si yo estoy multiplicando todo esto por 4a y 4a es mayor que 0 entonces esta desigualdad se conserva entonces va a quedar cuatro hace mayor igual que ve cuadrada recuerda que sí fuera negativo lo que pasaría es que esta desigualdad se voltearía y bueno ya que tengo yo esto lo que voy a hacer a continuación es sustituir quienes a b y c para ver qué es lo que me queda recuerda que aer aie punto ye entonces me va a quedar cuatro veces am a este punto gem pero oye punto llegue si nos acordamos en lo que vimos en el video pasado era la longitud de ye elevada al cuadrado es cuatro veces la longitud de jane aquí lo voy a escribir me queda la longitud de ya que se pone así elevada al cuadrado del vector y elevada al cuadrado esto es lo mismo que a porque recuerda que a este punto y gille punto y es lo mismo que la longitud eye elevada al cuadrado y después hay que multiplicarlo por sé pero se es x punto equis y de igual manera recuerda que lo que vimos el video pasado era que x punto x es lo mismo que la longitud de x elevada al cuadrado entonces me va a quedar del lado izquierdo de esta desigualdad me queda cuatro veces a porsche que es lo mismo que cuatro veces la longitud day elevada al cuadrado por la longitud de x elevada al cuadrado y esto es mayor o igual que de cuadrada pero ve es esto que tenemos aquí por lo tanto me va a quedar 2 veces x punto gem x punto y esto elevado al cuadrado es pere pp aquí es todo esto elevado al cuadrado todo esto es ven por lo tanto tengo b cuadrada y es que ahora sí me va a servir bastante porque va a significar un poco todo esto me queda cuatro veces la longitud de geneva cuadrado por la longitud de x elevada al cuadrado y esto es mayor o igual que el cuadrado de 2 que es 44 veces x punto llegue por equis punto gem x punto gem que multiplica ax punto ye o mejor no puedo poner como x punto y eleval cuadrados y decapitar todo esto porque si no vamos a confundir en un futuro a estos x punto de que cuando llegue pero mejor no voy a poner como cuatro veces x punto y elevado al cuadrado y bueno 44 se van cuatro que multiplica y cuatro que multiplica el otro lado sí / toda esta desigualdad entre cuatro semanas 24 y me queda que la longitud de geneva al cuadro todo por la longitud de x elevada al cuadrado es mayor o igual que x punto y elevada al cuadrado a continuación que voy a hacer es sacar de raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación y simple y sencillamente me va a quedar que la longitud de ye por la longitud de x ya que la raíz cuadrada que por cierto se cancela con los cuadrados que tenemos aquí porque estoy utilizando las propias de los exponentes y del otro lado me queda x punto y elevada al cuadrado raíz cuadrada pero me estoy tomando en la raíz positiva la raíz positiva de algo que está elevado al cuadrado es simple y sencillamente el valor absoluto de lo que se está llevando al cuadrado es decir x punto llegue y ojo es muy importante que te des cuenta que me estoy tomando la raíz positiva y por eso estoy poniendo en valor absoluto y es que al final de cuenta de algo x punto le podría ser negativo pero cuando lo llevamos al cuadrado se vuelve algo positivo y bueno nos sacamos raíz cuadrada algo positivo me va a dar algo positivo si tomamos la raíz cuadrada principal es decir la raíz principal la raíz positiva y por eso pongo el valor absoluto de estos dos y adivina que ya llegamos a lo que queríamos justo esto era la famosa desigualdad de kochi swartz esto es lo que nos habíamos propuesto demostrar y llegamos a ello después de varios pasos pero acabamos de aprobar que si se cumple la desigualdad de kochi swaps bueno al menos la primera parte de esta desigualdad porque habíamos dicho que la igualdad se cumplía cuando los vectores cumplían lo siguiente uno de ellos era múltiple escalar del otro o si lo decimos otra manera eran vectores con lineales así que vamos a tomarnos ax igual hace veces llevamos aprobar solamente esa última parte a ver si se cumple la igualdad y el sería x punto y en valor absoluto pues esto es lo mismo que utilizando que x es igual la serie es lo mismo que el valor absoluto de pse-ee punto gem pero esto es lo mismo que el valor absoluto de ese por una propiedad del valor absoluto que multiplicada lo absoluto de ye punto gem al valor absoluto de ye punto jem y bueno quién era qué punto lleva ya hemos visto varias veces de punto y es ni más ni menos que la longitud de ye elevada al cuadrado por lo tanto aquí tenemos el valor absoluto ese que multiplicada ye elevado al cuadrado y bueno esto es lo mismo lo podemos ver cómo el valor absoluto de ese que multiplica a la longitud eye por la longitud de jump la longitud de ya elevada al cuadrado es lo mismo que la longitud de ye por la longitud de jem y bueno sería muy buen ejercicio que tú probarás que lo siguiente que voy a hacer es cierto es muy fácil probarlo utilizando la definición de longitud fíjate bien si nosotros tomamos la longitud de una constante multiplicada por un vector esto es exactamente lo mismo que el valor absoluto de la constante que multiplica a la longitud del vector es decir las constantes salen de la longitud de un vector en valor absoluto es decir que esto que estoy tomando aquí es lo mismo que la longitud de cpc sien e insisto sería muy bueno que tú probadas esta afirmación y bueno a su vez esto multiplica a la longitud de yee y qué crees ya te diste cuenta que tenemos aquí se ve si es x es el vector x por lo tanto tengo la longitud de x que multiplica a la longitud de jem y hasta ahorita sigue siendo la igualdad y por lo tanto estamos comprobando que cuando x es igual a cbc es el vector gem es decir x es un múltiplo escalar de gem entonces obtengo la igualdad de todos modos espero que hayan encontrado esto muy útil la desigualdad de kochi swat la usaremos mucho cuando probemos otros resultados en álgebra lineal ni en un vídeo futuro les voy a dar un poco más intuición acerca de por qué esto tiene mucho sentido en relación con el producto punto