Demostración de la relación entre el producto cruz y el seno de un ángulo

la verdad es que me adelanté un poco en este vídeo y ya escribía aquí la expresión para el producto cruz de dos vectores porque a continuación en este vídeo que haber una fórmula padrísima para el producto cruz y es que esta expresión a la que quiero llegar es muy parecida a esta otra expresión que habíamos sacado con el producto punto a la longitud de a que va a multiplicar a la longitud de b que va a multiplicar a su vez al coseno del ángulo formado entre estos dos vectores recuerdas y es que cuando empezamos a ver el ángulo entre dos vectores llegamos a esta igualdad que tenemos aquí y curiosamente en este vídeo lo que quiero llegar es a demostrar esta expresión que voy a poner aquí voy a decir que la longitud de la cruz b es decir sacamos el producto cruz entre los vectores ya esto le sacamos la longitud no olvides que el producto cruz nos da de resultado un vector es igual a la longitud del vector a que va a multiplicar a su vez también a la longitud del vector b y que va a multiplicar todo a su vez al seno del ángulo formado entre estos dos vectores y te das cuenta que estas dos fórmulas son casi muy parecidas nosotros podemos asociar el producto punto algo xenón el producto cruz al seno y ya acabamos está padrísimo porque las dos tienen que ver con la longitud de a que multiplica la longitud de 20 das cuenta y es que yo sé que también lo puedes decir oye sal es que esta igualdad que tenemos aquí la puedo obtener de cualquier libro de texto de álgebra lineal sin embargo en esta ocasión lo que quiero es probar esta igualdad que tenemos aquí y si no quieres probar esta igualdad y solamente le quieres dar como dogma de fe puedes hacerlo sin embargo aunque la demostración es un poco constructiva y no va a ser una demostración fácil es la demostración que vale mucho la pena ver y aprenderla para que veas cómo se demuestra este tipo de igualdades que tenemos aquí a bien tú puedes pasar sin verla pero también creo que sería muy bueno que no dejarás de ver este vídeo y vieras la demostración de esta igualdad que tenemos aquí así que vamos a empezar me voy a tomar la longitud de la cruz ve y ya está la voy a elevar al cuadrado y bueno esto recuerda que es lo mismo que la cruz de punto a cruz ve pero esto sería muy algo de escribir así que lo que voy a hacer es tomarme la definición de longitud recuerdas la longitud de x elevada al cuadrado era igual le quitábamos la raíz cuadrada y solamente me quedaban las componentes elevadas al cuadrado me quedaría x una elevada al cuadrado más x 2 elevado al cuadrado más así hasta x en elevado al cuadrado si x estuviera en rn aquí como tenemos un vector de tres dimensiones lo que tenemos que hacer es elevar cada una de las componentes de este vector de tres dimensiones al cuadrado es decir esto de aquí elevarlo al cuadrado déjeme escribirlo aquí a 2 x b 3 menos a 3 x b 2 esto lo tengo que elevar al cuadrado y después a esto le tengo que agregar la siguiente componente elevado al cuadrado es decir a 3 x b 1 menos a 1 x b 3 esto elevado al cuadrado y después tendría que hacer lo mismo con la tercer componente es decir a 1 b 2 menos a 2 x b 1 todo esto elevado al cuadrado y si te das cuenta estos son binomios al cuadrado perfectos por lo tanto puedo yo resuelve para cada una expresiones coloridas que yo tengo aquí así que a ver vamos a ver primero con color rosa qué es lo que me quedaría tengo a 23 elevado al cuadrado pues es humedad a 2 elevado al cuadrado b 3 elevado al cuadrado déjenme escribirlo a 2 elevado al cuadrado b 3 elevado al cuadrado y después decimos menos dos veces el primero por el segundo entonces me va a quedar menos dos veces a 2 a 3 b 2 b 3 ya lo estoy acomodando para que sea mucho más fácil verlo todo con as y con ves todo ordenadito y al final me quedaría el último término elevado al cuadrado es decir a 3 al cuadrado b 2 al cuadrado bueno esto es elevar el primer binomio al cuadrado perfecto ahora si nos fijamos en el segundo binomio al cuadrado perfecto que me va a quedar a 3 elevado al cuadrado de 1 elevado al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo es decir a uno a tres por b 1 b 3 más el cuadrado del segundo que es a 1 elevado al cuadrado de 3 elevado al cuadrado perfecto ahora que hace lo mismo con la expresión de azul y me va a quedar más a uno elevado al cuadrado de dos elevado al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo es decir menos dos veces a uno a dos b1 b2 y después hay que elevar el segundo término al cuadrado y me va a quedar a dos elevado al cuadrado veo uno elevado al cuadrado perfecto ya tengo todo esto que tengo aquí ya debe cada uno de estos términos al cuadrado y a continuación lo que voy a hacer es actualizar las as ya sea la 2 a 1 a 3 levas al cuadrado para que me quede esto mucho mejor de tratar en un futuro así que vamos a factorizar lo más que podamos así que primero fijémonos en uno elevado al cuadrado que a su vez multiplica a quien me queda a 1 elevado al cuadrado que subes multiplica a b 2 elevado al cuadrado ya b 3 elevado al cuadrado es decir a un elevado al cuadrado que multiplica menos elevado al cuadrado más de 3 elevado al cuadrado perfecto vamos a hacer lo mismo con a 2 elevado al cuadrado esto es aquí me queda esta y esto de aquí y me queda a 2 elevada al cuadrado que multiplica a su vez a b1 al cuadrado más de 3 elevado al cuadrado y bueno pues voy a hacer lo mismo para atrás me va a quedar a 3 elevado al cuadrado donde están aquí lo voy a escribir más a 3 elevado al cuadrado otra vez con color amarillo y es esta y este de aquí que multiplica a b1 elevado al cuadrado más b 2 elevado al cuadrado muy bien y después de estos términos que tengo aquí en medio voy a factorizar el menos 2 si te das cuenta el menos 2 es un factor común por lo tanto para hacerlo mucho más sencillo voy a factorizar este menos 2 y me va a quedar menos 2 que multiplica y deja escrito es que está aquí menos 2 que multiplica a 2 por tres dedos por b tres más a uno por a tres por b uno por de tres más a uno por dos por ver uno por de dos a uno por a dos por uno por b 2 muy bien ya tengo esta expresión que tengo aquí ahora déjenme dejarla aquí por un ratito no voy a trabajar mucho más en ella y lo que quiero hacer es tomarme otra igualdad para que vayamos poco atando cabos y lo que quiero es que esto no lo toquemos por ahorita y me voy a fijar en la siguiente expresión voy a fijar otra vez en la cruz b elevado al cuadrado ahora que otra cosa podemos tomar que ya sabemos me voy a tomar que a punto b es igual a la longitud de a que multiplica la longitud de b por el coseno del ángulo teta lo voy a escribir aquí esto ya lo habíamos visto la longitud de a por la longitud de b por el coseno del ángulo teta es lo mismo que a punto b y bueno a punto b lo podemos calcular a punto b keynes es a 1 v1 más a 2 b 2 más a 3 b 3 esto ya lo sabíamos perfecto a continuación lo que quiero que veamos es lo siguiente qué pasa si para hacerse problema un poco más divertido me voy a tomar los cuadrados de todo esta expresión que tengo aquí abajo es decir voy a llevar toda esta expresión al cuadrado y me va a quedar la longitud de la elevada al cuadrado la longitud de b elevado al cuadrado y el coseno cuadrado del ángulo y aquí me va a quedar este cuadrado y de aquí de este lado me va a quedar bien este otro cuadrado que por cierto pues vamos a resolverlo a todo esto de aquí pues lo voy a multiplicar por sí mismo es decir a un 91 más a 2 b2 b3 b3 y lo único que estoy haciendo es tomarme la definición de un cuadrado y ahora sí vamos a multiplicar este de aquí por todo esto de acá y que me va a quedar pues si te das cuenta lo único que hay que hacer es multiplicar término término todos los de aquí por todos los de acá a un 91 por a un 91 pues es a 1 al cuadrado de 1 al cuadrado a 1 al cuadrado de 1 al cuadrado perfecto ahora me va a quedar a 1 b 1 que multiplica a 2 b 2 pues esto es a 1 b 1 a 2 b 2 o dicho de otra manera a1 a2 b1 b2 b1 b2 y después hay que multiplicar a esto de aquí por el último me va a quedar pues a 1 a 3 b1 b3 b1 b3 perfecto y ahora lo que voy a hacer es multiplicar el siguiente término que es este de aquí y me queda a 2 b 2 que multiplica a 1 v1 pero esto ya lo teníamos escrito aquí abajo esto es lo mismo que esto entonces me va a quedar a1 a2 b1 b2 o mejor así para que lo veas más claro a1 a2 b1 b2 perfecto porque esto de usted no se van a sumar tarde o temprano y bueno después me queda a dos dedos que multiplica a 2 b 2 pues esto es a 2 b 2 elevado al cuadrado a 2 elevado al cuadrado de 2 elevado al cuadrado y después sigue a 2 b2 que multiplica a 3 b 3 aquí no tenemos nada así entonces lo voy a poner hasta acá me va a quedar a 2 a 3 b2 b3 a 2 a 3 b 2 b 3 perfecto ahora vámonos con el siguiente que es a 3 b 3 que va a multiplicar a su vez a todos los que están allá entonces me queda vamos a cambiar de color para no confundirnos a 3 b 3 que va a multiplicar a 1 v1 déjame ponerlo aquí esto que va a multiplicar a todos los de acá y el principio de piedad a 1 a 3 b1 b3 que es justo desde que tenemos aquí entonces que me escribió aquí abajo porque le vamos a sumar tarde o temprano a 3 b 3 uno de uno a uno ve uno perfecto y después me queda a tres b tres que multiplica a dos dedos y es justo este que tenemos aquí también a 3 b 3 a 2 b 2 entonces los voy a poner aquí abajo porque los voy a sumar tarde o temprano y por último me queda a 3 b 3 que multiplica a 3 b 3 lo cual me da a 3 elevado al cuadrado que multiplica a b3 elevado al cuadrado y bueno si simplificó todo esto que me va a quedar pues esto es lo mismo que aún no elevado al cuadrado de 1 elevado al cuadrado más a 2 elevado al cuadrado por b 2 elevado al cuadrado más a 3 elevado al cuadrado por b 3 elevado al cuadrado así déjame escribirlo aquí a uno elevado al cuadrado por de uno elevado al cuadrado después vamos con los dos a dos elevado al cuadrado por de 2 elevado al cuadrado más ahora vamos con los 3 a 3 elevado al cuadrado por b 3 elevado al cuadrado a 3 al cuadrado de 3 al cuadrado muy bien y ahora vamos a fijarnos en todo lo que nos queda y después aquí tengo 2 a veces fíjate bien tengo dos veces este y también tengo otras dos veces este y por último también tengo otras dos veces este entonces que me queda y de una vez voy a factorizar el 2 y me va a quedar dos veces a1 a2 b1 b2 a1 a2 b1 b2 más a 1 a 3 b1 b3 más a 1 a 3 b1 b3 más a 2 a 3 b 2 b 3 a 2 a 3 d 2 b 3 perfecto b2 b3 y entonces a continuación lo que voy a hacer es fíjate bien hemos construido tantos cuadrados que lo que yo quiero hacer es tomarme todo esto que tengo aquí de verde e intentar eliminarlo con justo esto que tengo aquí de azul es decir fíjate que esto y esto es lo mismo te das cuenta tenemos los mismos términos aquí a1 a2 b1 b2 después tengo a 1 a 3 b 1 b 3 es este de aquí y por último tengo a 2 a 3 b2 b3 2 a 3 d 2 b 3 aquí aquí está aquí algo raro con los temas de tacharlo porque es multiplicación a 2 a 3 b 2 b 3 a 2 a 3 d 2 b 3 y estos dos también están aquí y si te das cuenta a tiene un +2 todo esto de aquí arriba hay un -2 todo esto estaría genial que los pudiéramos cancelar y como los podemos cancelar pues ya tenemos todo al cuadrado pues qué te parece si a continuación me tomo pues la suma de estas dos expresiones que acabamos de construir es decir me voy a tomar la suma de la longitud de la cruz bem elevado al cuadrado déjenme notar lo que a cruz ven ya esto lo voy a calcular su longitud elevada al cuadrado esto ya lo tenemos aquí arriba ya esto le voy a sumar es va a ser un 9 mil sumandos y me otros sumando va a ser la longitud de up elevada al cuadrado por la longitud de b elevada al cuadrado por el coseno cuadrado del ángulo del ángulo que se forma entre esos dos vectores y bueno si te das cuenta al sumar este y éste se va a cancelar todo esto que tengo aquí yo -2 todo esto y aquí abajo tengo más 2 todo esto y como son términos iguales se cancelan así que déjenme ponerlo aquí este término que tengo aquí todo esto que está aquí como es negativo y aquí es positivo se van a cancelar lo voy a poner aquí se cancelan estos dos se van a cancelar perfecto y entonces después me va a quedar a 1 elevado al cuadrado que es te das cuenta lo tengo aquí y puedo hacer una actualización más me quedaría a 1 elevado al cuadrado que va a multiplicar y pues ahora va a multiplicar tanto a b1 elevado al cuadrado como abetos elevado al cuadrado como a b3 leb al cuadrado por lo tanto lo puedo poner decir a 1 elevado al cuadrado que multiplica primero a b1 elevado al cuadrado y después también va a multiplicar a veces elevado al cuadrado y también a b3 elevado al cuadrado de un elevado al cuadrado más b 2 al cuadrado más de 3 elevado al cuadrado y vamos a fijarnos en a 2 elevado al cuadrado y si te das cuenta que tengo a b1 eleva al cuadrado aquí abajo tengo a b 2 elevado al cuadrado y aquí arriba también tengo a b3 elevado al cuadrado por lo tanto me queda a 2 elevado al cuadrado que multiplica elevado al cuadrado más b 2 elevado al cuadrado más b tres elevado al cuadrado y que va a pasar por una 3 voy a ponerlo aquí a 3 elevado al cuadrado a quien va a multiplicar va a multiplicar pues sabe 1 elevado al cuadrado más b 2 elevado al cuadrado y abajo también tengo a b3 elevado al cuadrado por lo tanto más b 3 elevado al cuadrado y si te das cuenta en estos tres tenemos como un factor común avn una elevado al cuadrado más b 2 elevado al cuadrado más b 3 elevado al cuadrado por lo tanto vamos a sacarlo como un factor común y me va a quedar por agrupación de uno elevado al cuadrado más b 2 elevado al cuadrado más b 3 elevado al cuadrado que va a multiplicar a su vez pues fíjate primero multiplica a un elevado al cuadrado después multiplica a todos elevado al cuadrado y para finalizar multiplica a 3 elevado al cuadrado por lo tanto me quedaré uno elevado al cuadrado más b 2 elevado al cuadrado más b 3 0 al cuadrado que a su vez multiplica a 1 elevado al cuadrado más a 2 elevado al cuadrado más a 3 elevado al cuadrado pero quién es esto de verde que tengo aquí si te das cuenta es son los componentes elevadas al cuadrado y suma es decir la longitud debe elevado al cuadrado y de igual manera para esto rosa que tengo aquí a uno elevado al cuadrado más a dos elevado al cuadrado más a tres elevado al cuadrado es lo mismo que la longitud de a elevado al cuadrado eso ya lo sabíamos entonces déjeme poner el lado izquierdo la longitud de la cruz b elevada al cuadrado más la longitud de a elevada al cuadrado por la longitud del ba al cuadrado por el coche no cuadrado del ángulo que se forma es más déjame tratar de copiarlo y pegarlo del mismo color amarillo que tengo aquí arriba déjame copiar y pegar va a ser más rápido control se control de qué pasa ahora qué pasa aunque hay mejor lo pongo así más rápido la longitud de a elevado al cuadrado más de longitud cp elevado al cuadrado que a su vez multiplica al coseno cuadrado del ángulo que es forman es igual a esto que tenemos aquí y si te das cuenta se simplificó bastante del otro lado del lado derecho solamente tenemos las dos longitudes elevadas al cuadrado entonces déjame despejar la longitud de la cruz b elevada al cuadrado eso que va a ser igual pues bueno del otro lado voy a pasar estando a todo esto que tengo aquí de amarillo es decir del otro lado me va a quedar esto que ya tengo del lado derecho ya esto lo tengo que quitar lo que tengo de amarillo es decir a esto el tengo que quitar menos la longitud de a elevado al cuadrado menos la longitud de b elevada al cuadrado por el coseno cuadrado del ángulo que se forma entre los dos y si te das cuenta aquí tengo como factor común a la longitud de a elevada al cuadrado por la longitud de b elevada al cuadrado vamos a ponerlo aquí la longitud de a elevar al cuadrado por la longitud de b elevado al cuadrado que multiplica quién bueno en primer lugar multiplica aquí tenemos a un 11 que multiplica todo esto entonces me queda uno menos el coseno cuadrado del ángulo que se forma y si te das cuenta lo único que hemos hecho es despejar la longitud de la cruz b elevado al cuadrado y bueno ya casi está porque si nosotros nos acordamos de la identidad trigonométricas más importante que existe que dice que el seno cuadrado de un ángulo más el coste no cuadrado de un ángulo es igual a 1 entonces ya podemos despejar al seno cuadrado de este ángulo el seno cuadrado de este ángulo es igual a 1 menos el coste no cuadrado de ésta por lo tanto está hecho esto de aquí y me queda solamente el seno cuadrado del ángulo y es justo a lo que queríamos llegar déjame escribirlo aquí con color blanco de que ya llegamos a la respuesta y ahora sí voy a cancelar los cuadrados es exactamente lo mismo que la longitud de a por la longitud de b por el seno del ángulo fíjate que cancele de los dos lados todos los cuadrados y llegamos justo a lo que queríamos probar por fin obtuvimos la demostración de esta fórmula o de esta igualdad que teníamos en un principio y así ya sabes por fin cada vez que veas un libro de texto de dónde sale esta igualdad y debes de sentir gran satisfacción y está genial porque entonces ya puedo parar este vídeo antes de que encuentre algún error y además con una sonrisa en los labios