Demostrar las propiedades del producto punto vectorial

este vídeo quisiera probar algunas de las propiedades básicas del producto punto y bueno podrías encontrar qué es lo que hago en este vídeo es algo mundano y sabes para ser franco es algo mundano pero lo hago por dos razones una es que este tipo de cosas se preguntan usualmente cuando tomas una clase de álgebra lineal pero lo más importante es que te da la precisión de que realmente estamos construyendo una matemática de vectores desde cero y no podemos asumir nada necesitas probar todo por ti mismo así que lo primero que quiero probar es la conmuta actividad es decir el producto punto es conmutativo y para esto no voy a tomar dos vectores el producto punto debe punto w esto es conmutativo es decir b punto w es lo mismo que w punto b pues vamos a escribir los vectores así que lo primero que voy a hacer es definir estos vectores voy a decir que el vector b lo voy a poner aquí es el vector b1 b2 b3 hasta b con entradas tenemos este vector este es el vector b y bueno el vector w voy a decir que es el vector www3 w4 hasta w n con en entradas también tiene este vector así que vamos a ver quién es de punto w primero de punto w es igual recordando la definición que vimos la vez pasada es la multiplicación de la primer componente de b por la primer componente de w ya esto le sumamos la multiplicación de la segunda componente de b por la segunda componente de w y esto las grabamos y todo esto y después terminábamos sumándole la multiplicación de la componente n del vector b que multiplica la componente n del vector w y bueno tienes w.va bueno vamos a usar la misma definición y entonces me queda que esto es lo mismo que doble uno por b 1 w 2 por b 2 déjame escribirlo más w3 por b 3 más llegar hasta llegar a w n en la suma de todo esto y ahora si queremos ver que estos dos son iguales entonces tendrá que probar que estos dos términos que tengo aquí son iguales es decir que veo uno doble uno es igual a doble uno por b uno y la respuesta es que esto es cierto porque al final tanto de uno como doble uno existen en los números reales y en los nombres reales si se cumple la propiedad conmutativa de hecho déjeme escribirlo aquí la propiedad conmutativa de los números reales con muy conmutativa si déjenme ponerlo bien conmutativa de los números reales es justo esta propiedad w1 por b 1 es lo mismo que b uno por doble uno pues recuerda que esto está definido en los números reales y entonces va a ser lo mismo para w 2 b2 b2w 2 y así hasta bn w n que es lo mismo que w x b n y esto acaba de probar que entonces esto si se cumple es decir la propiedad conmutativa en el producto punto sirve y funciona muy bien ahora qué pasa con la propiedad distributiva se cumplirá y para esto déjame definir 1 héctor voy a definir el tercer vector y bueno creo que ya sabes cómo lo voy a definir esto es lo mismo que x 1 x 2 hasta x en este es mi vector x y ahora yo lo que quiero ver es qué pasa si yo me tomo la siguiente operación voy a ver qué va a pasar cuando yo tengo w más veo ve más w así que déjame cambiar un poco de color y ahora sí voy a escribir entonces el vector b más el vector w y esto producto punto con el vector x y bueno al final date cuenta que ya probamos la propiedad conmutativa y por lo tanto esto sería lo mismo que ponerle x al final como está aquí escrito o la equis en un principio es decir x punto la suma de estos dos vectores y yo quiero ver si esto de pura casualidad es igual a b el vector de punto x ya esto lo voy a sumar el vector w punto x será esto cierto es decir se cumple la propiedad distributiva en el producto punto y pues vamos a ver para esto lo que necesito es tener mucho cuidado con mis cuentas voy a calcular primero cuánto es el vector b más w aquí lo voy a poner el vector b más el vector w es igual a quien a pues esto también es un vector es el vector b 1 + w1 es la primer componente en la segunda componente b2w 2 y así hasta bn w n en la nba componente bueno esto es el vector de más el vector w y si a esto le calculo su producto punto con el vector x es decir x 1 x 2 hasta x n que me va a quedar bueno pues usando la definición de producto punto es la primera entrada del primero es decir b 1 + doble 1 que va a multiplicar a la primera entrada del segundo x1 ya esto le sumamos la segunda entrada del primer vector que multiplica a la segunda entrada del segundo vector es decir b2w 2 x x2 y así hasta sumarle la multiplicación de la n a la entrada del primer vector que multiplica a la nueva entrada del segundo vector bn + w por equis n y bueno y bueno no sé me voy a olvidar que esto es la suma de el vector b más el vector w le calculamos el producto punto con el vector x esto es en primer lugar ahora yo quiero buscar cuánto es de punto x + w punto x para ver si llegamos a lo mismo y ve x es lo mismo por definición del producto punto que ve uno por x uno más b 2 por x 2 + b n por x n sumamos todas las multiplicaciones las correspondientes entradas y que nos w punto x a pues eso es doble 1 por x 1 + w 2 por x 2 más hasta llegar a w x x n y si ahora sumamos estos dos vectores resultantes que me va a quedar si yo obtengo la suma de b x + w punto equis voy a obtener el lado derecho de esta igualdad que me gustaría probar así que vamos a ver esto me quedaría y déjame escribirlo aquí b punto x + w x y esto es igual a punto x que era b 1 x 1 ya eso le voy a sumar doble 1 que multiplica x 1 y a esto le tengo que sumar las siguientes dos multiplicaciones es decir b 2 x x 2 2 x x 2 + y así hasta sumar de la última que 'se vende' por x n más w x x n y bueno fíjate bien aquí está ya casi probado lo que yo quiero porque si en este primer sumando este primer sumando grandote yo factor hizo a x1 como estamos hablando de los números reales yo puedo factorizar a x1 y si lo factor hizo me va a quedar de una más w uno que multiplica a x uno más de dos más w 2 que multiplica x 2 factor izando el x 2 y así voy a seguir actualizando todas las x hasta llegar a b n más w n que multiplica x n y qué creés esto es justo lo mismo que teníamos aquí arriba es decir estoy probando que esto y esto de aquí es justo lo mismo como llegamos a los mismos resultados después de que factor izamos las x es entonces me queda que ve más w la suma de vectores y esto punto x es lo mismo que ve x más w punto x y es decir que la propiedad distributiva también se cumple en el producto punto cuando hablamos de esta multiplicación del producto punto de vectores y bueno yo sé que esto es tan mundano y tú te vas a preguntar por qué estamos haciendo esto pero estoy haciendo esto para mostrarte que estamos reforzando cosas simplemente no podemos asumir esto y de hecho yo me salte la conductividad y la distributiva y that cuando hablaba de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar un lote de libros de matemáticas o libros de álgebra lineal deja esto como ejercicios para el estudiante porque bueno pues porque es mundano es decir para ellos no vale la pena ponerlo a su papel pero bueno permítanme mostrarles sólo supongo la última propiedad asociativa la propiedad asociativa que quiero mostrarles a continuación voy a tener una constante que multiplica a un vector y esto punto otro vector acaso esto es lo mismo que la constante que multiplica al producto punto de estos dos vectores pues bueno vamos a ver si yo tuviera la constante que multiplica un vector recordando lo que esto significa me quedaría por ver 1 c por b 2 y así hasta hacer por de n ya esto le voy a calcular el producto punto con el vector y usando la definición del producto punto esto me va a quedar como cb1 doble 1 más c por b 2 por w 2 más así hasta c por b n por w n esto es el lado izquierdo de esta igualdad y si yo quisiera probar que esta igualdad se cumple entonces déjame checar qué va a pasar con el lado derecho de esta ecuación de punto w esto es lo mismo que ve 1 www2 más hasta b n por w y si a esto lo multiplicó por c se es una constante es un número escalar entonces que me va a quedar pues bueno ya que escribirlo aquí sé que multiplica al producto punto debe punto w y bueno entonces ésta se me quedaría multiplicando todo esto y si te das cuenta la c cumple la propiedad distributiva como estamos en los números reales la se va a cumplir que se puede abrir a cada uno de los sumandos y entonces me va a quedar se ve uno doble uno más se ve 2 w 2 + c y así hasta sumar se ve en w que es exactamente lo mismo que teníamos aquí a la izquierda y entonces esto también se prueba acabamos de probar otra propiedad del producto punto se cumple la asociatividad cuando hablamos de una constante ahora la parte más difícil de esto que encuentre cuando el profesor tendrá que asignar ya sabes una prueba de esto y me refiero a la primera vez que tome álgebra lineal es que tenía problemas para hacerlo porque era casi tan ridículamente obvio que bueno no veía bien cómo encontrar la demostración de este problema yo decía es que obviamente basta con mirar las componentes de ellas después tenemos una constante una multiplicación por componentes se cumple la asociatividad y ya quedó esto es obvio pero el problema es que anotar esto tal vez no sea tan fácil cuando ves esto por primera vez y es que al final los profesores no querían que les resolvía el enigma de la vida solamente querían que escribiera todo esto y esto lo vamos a utilizar en el siguiente vídeo en donde vamos a ver propiedades mucho más interesantes sobre operaciones de vectores