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Transcripción del video

hace tiempo que ya decidimos la suma de dos vectores y la multiplicación por escalar en este vídeo quiero ver otras operaciones con vectores pero no sin antes recordar cuáles son las operaciones que ya habíamos visto de dos vectores la primera era la suma o la resta de un vector con otro así que vamos a tomarnos un vector a 1 a 2 hasta a n y vamos a tomarnos el siguiente vector b1 b2 hasta bn y vamos a sumarlos ellos 2 y bueno el resultado de la suma de dos vectores me daba un vector con en entradas también y en cada una de sus componentes o en cada una de sus entradas tomábamos la suma de las dos componentes correspondientes de los vectores iniciales las sumas la veíamos como a uno más b uno en la primera componente a dos más b dos en la segunda componente y así hasta n b n en la n va componente y bueno ahora voy a pensar qué pasaba cuando nosotros multiplicamos por escalar la multiplicación por escalar o podríamos decir que es una multiplicación escalada esta era otra de las operaciones que ya habíamos definido la cual era muy útil cuando nosotros hablábamos de vector y decía que si nosotros teníamos una constante que multiplicaba un vector de entradas una constante que multiplica el vector a 1 a 2 hasta a n el resultado de esta operación era multiplicar la constante por cada una de las componentes de este vector es decir tenemos c1 por a1 esto es la primera entrada en la segunda entrada era hace 2 a 2 en la tercera entrada hace 3 a 3 días y hasta cnn y recuerda que habíamos dicho que la multiplicación por escalar lo que hacía era que la longitud del vector y bueno yo sé que no he definido la longitud de un vector sin embargo esta longitud del vector de hacíamos crecer cuántas veces nos dijera el escalar recuerda que dé resultado obtendríamos un vector con lineal pero este vector se sea grande o pequeño según lo que nos decía al escalar pero bueno este es un vídeo importante porque en este vídeo quiero hablarles acerca de la multiplicación de matrices pero es que realmente hay varias formas de definir una multiplicación de matrices por eso la primera multiplicación de matrices que vamos a ver es el producto punto el producto punto y es que date cuenta que como la definición de matriz es bastante amplia entonces podemos definir varios tipos de multiplicación fíjate bien aquí tengo a punto b y si hay una cruz en medio de la clave no es la misma operación para que sea producto punto en medio de los dos vectores debe de tener un punto a punto b tengo dos vectores y como define la operación producto punto pues vamos a ver quién es el vector a supongamos que el vector a es igual que el que está acá arriba es a uno a dos hasta a n es un vector con entradas punto de el vector de voy a suponer que es el vector desde acá arriba b1 b2 hasta bn con en entradas y como defino a punto ven bueno a punto b es la operación de dos vectores la cual me da de resultado lo siguiente a uno por b uno más a dos por de dos es decir voy a multiplicar las correspondientes entradas a 3 por b 3 y las voy a sumar todas más a 4 por b 4 más trata más a n por b n es decir cada una de las correspondientes entradas las voy a multiplicar y voy a tomarme la suma de todas ellas cuenta me da de resultado algo que no es un vector me da un escalar de resultado al final esto va a ser un número que existen los reales porque estamos multiplicando y sumando por los números reales así que yo sé que esto está muy abstracto y mejor vamos a verlo con un ejemplo me voy a tomar el vector 25 ya éste le voy a calcular el producto punto con el vector 71 y bueno usando la definición estos dos por siete más cinco por uno solo acabo de aplicar lo que vimos aquí abajo y esto es 14 + 6 no no esperen esperen 5 hay que tener mucho cuidado porque estos errores son mortales y bueno 14 más 5 19 y date cuenta que 19 es un número real y por lo tanto no obtengo de resultado un vector obtengo un escalar ahora voy a tomar el producto punto de otros dos vectores para que sigamos practicando esta idea del producto punto me voy a tomar el vector en r 3 1 2 3 ya este le voy a calcular su producto punto con el vector menos 20 5 y de resultado me va a quedar 1 x menos 2 más 2 x 0 3 x 5 multiplicamos y luego sumamos y me va a quedar menos 20 más quince y esto me da 13 entonces 13 es un número escalar y aquí ya hay un segundo ejemplo de lo que me refiero con producto punto pero bueno es hora de definir otra propiedad hablando de vectores voy a definir en este momento a qué me refiero con la longitud de un vector la longitud del vector podríamos decir que es cuánto mide este vector desde el punto inicial hasta el punto final y me vas a decir oye pero por qué me tengo que esperar hasta un curso universitario para saber lo que es la longitud yo ya sé lo que es la longitud no sé en r2 o en r3 por qué me estás definiendo ahorita la longitud de un vector oye sal pero esto ya me lo sé saco una regla y entonces lo mido y se acabó sin embargo es que esta definición es una definición formal y además es una definición general es decir que si yo quisiera medir un vector en r 50 es decir en 50 dimensiones y quisiera saber la longitud de este vector pues entonces con esta fórmula ya sé la longitud de un vector en 50 dimensiones la longitud de un vector que por cierto se denota con el vector encerrado entre cuatro líneas como si fuera un valor absoluto doble es igual a la raíz cuadrada de tomarme la primera componente y elevarlo al cuadrado ya esto sumarle la segunda componente y elevarlo al cuadrado ya esto sumar la tercera componente y elevar de cuadrado y así hasta llegar a la nba componente y también elevarla al cuadrado la raíz cuadrada de todo esto y esto es lo que se define en longitud de un vector y vuelvo a decirte es una definición completamente general por ejemplo en el caso de que éste fuera el vector de quién sería la longitud de este vector bueno pues de longitud de este vector sería la primera componente elevada al cuadrado más la segunda componente elevada al cuadrado y eso es lo mismo que la raíz cuadrada de 4 más 25 4 más 25 es 29 por lo tanto la longitud de este vector d sería la raíz cuadrada de 29 y es que todo esto sale del teorema de pitágoras del famoso teorema de pitágoras que vemos entre econometría fíjate bien supongamos que aquí tengo mis dos ejes coordenadas y que voy a dibujar a este vector aquí tengo dos a la derecha uno dos tres cuatro cinco hacia arriba entonces por lo tanto aquí tengo mi vector ven este es mi vector de y si yo quise saber la longitud de este vector pues es lo mismo que dibujar un triángulo por acá fíjate aquí tengo que subir cinco hacia arriba y tengo dos hacia la derecha y obtengo este triángulo que estoy dibujando aquí este es uno de mis catetos este sería mi otro de mis catetos cada una de las componentes de mis catetos y como es un triángulo rectángulo la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada del primer cateto al cuadrado más el segundo cateto al cuadrado es el teorema de pitágoras pero bueno esto ya lo sabes porque estamos hablando de r2 pero si hablamos de un vector de 10 dimensiones entonces la longitud del vector está definida con esta expresión que yo tengo aquí abajo la raíz cuadrada la primera componente elevada al cuadrado más la segunda componente elevada al cuadrado más todas las componentes elevadas al cuadrado ahora quiero regresar un poquito a hablarles del producto punto porque yo tengo una pregunta por aquí qué pasa si calculamos el producto punto de un vector consigo mismo es decir supongamos que tomamos el vector amp y le vamos a calcular el producto punto consigo mismo a punto a bueno vamos a ver por la definición de producto punto aquí tenemos el vector a punto el vector am y entonces si escribo a los dos vectores aquí me va a quedar el primer vector que este es el vector am punto el vector am es decir a1 a2 hasta en y esto era ni más ni menos que la primera componente por la primer componente del otro es decir a un elevado al cuadrado más la segunda componente por la segunda componente del otro que en este caso como es el mismo vector es a 2 elevado al cuadrado más la tercer componente por la tercer componente y así hasta llegar a la nba componente que multiplica a la nueva componente y por lo tanto me va a quedar en elevada al cuadrado y si te das cuenta esto se parece mucho lo que está dentro de la raíz cuadrada que teníamos en la longitud de un vector o podríamos decir la longitud de un vector no podemos escribir como la raíz cuadrada de a punto del vector a que le calculamos el producto punto consigo mismo o dicho de otra manera de una manera mucho más elegante podemos decir que la longitud de un vector elevado al cuadrado es exactamente lo mismo que si a ese mismo y calculamos el producto punto consigo mismo y bueno es que esta expresión de aquí fue fácil probarla pero no va a ser muy útil para los siguientes vídeos que vamos a ver y además en los siguientes vídeos lo que quiero ver son más propiedades acerca de la longitud y del producto punto y estas propiedades tal vez sean un poco sencillas de demostrar pero nos van a servir bastante nuestras demostraciones futuras