Expansión del triple producto de vectores (muy opcional)

en este vídeo quiero hablarles acerca de la expansión del triple producto de vectores o acerca de la fórmula de lagrange y realmente no es nada difícil de plantear el problema lo que me voy a tomar es el producto cruz de tres vectores sin embargo reducir esto va a ser todo un vídeo bastante entretenido porque al final vamos a llegar a la expresión de productos puntos que escalan una diferencia de vectores ya verás a qué me refiero y es que reducir del producto cruz a producto punto realmente es un gran paso porque recuerda que el producto plus es difícil de realizar y esto nos ayudará bastante el producto cruz es pesado de calcular computacionalmente y al menos en mi mente es un poco confuso y bueno esto nos forzó que lo sepas y vas a estar trabajando con vectores sin embargo es bastante útil mi motivación para trabajar este problema en este vídeo es que había algunos problemas del examen de ingreso al instituto de tecnología de la india en el cual esperan que tú sepas la fórmula de lagrange o la expansión del triple producto de vectores así que manos a la obra tenemos primero de cruz y bueno para esto lo que quiero decirte es que todos los vectores los voy a ver de la siguiente manera voy a hablar del vector como aquel factor que puede descomponer como x que multiplica al vector y más alguien que va a multiplicar al vector j recuerda que son nuestros vectores canónicos ya esto le voy a sumar a z que multiplica al vector canónico que es una forma de descomponer a amd y así voy a manejar también a b y así esto va a ser mucho más fácil que hagamos todas las cuentas así que primero tomemos ve crucen y para esto lo que tengo que hacer es tomarme la definición del producto cruz y voy a poner aquí quienes ve cruce explícitamente es decir no voy a tomar el determinante de quien bueno primero tenemos que poner a los vectores canónicos esto simple y sencillamente es la definición del producto cruz es otra forma de sacar de una manera rápida el producto cruz y me queda jk que son los vectores canónicos y después ve pero ve es el vector que tiene como entradas de x b z recuerda que si estamos tomando todos los vectores así que vamos a escribirlo x z y después cruz entonces abajo voy a poner así c x games y cct a lo que tenemos que hacer es tomar el determinante de una matriz de 3 x 3 es decir vamos a fijarnos en la primera entrada que es y que va a multiplicar a su vez a quien nos olvidamos de este renglón y de este renglón y entonces nos queda belle por cc tampa bay por 60 ya esto le vamos a quitar bz por c jeff vamos a poner todas las veces ves eliminamos todo esto solamente sacamos el determinante de lo que está aquí bz por c james perfecto después nos tomamos la siguiente componente pero recuerda que hay que cambiarle el signo vamos alternando los signos cada vez que tengamos que sacar el determinante de una matriz y entonces nos va a quedar nos eliminamos estas dos columnas y nos queda b x x y z b x por 60 menos y después de que restar de los otros dos es decir me van a quedar bz y cx menos bz y c x perfecto y ahora alternamos los signos ponemos camps y vamos a sacar lo correspondiente para acá nos eliminamos estas dos columnas y nos queda b xl menos wgc x menos b y c x y entonces ya con esto tengo cuánto vale explícitamente de cruz cm así que ahora lo que voy a hacer es calcular lo mismo pero con amo y está de lujo porque ya llevamos el primer paso fíjate que esta forma de escribir el producto cruz se me hace muy rápida y muy sencilla de calcular y no hay error ahora vamos a ver lo mismo con amd y entonces esto calcular a cruz este resultado que tengo aquí entonces voy a poner aquí los vectores canónicos otra vez y jcam y jota y acá y voy a sacar un determinante enorme y abajo voy a poner a ese x ayer y aceta y ahora calcular el determinante pero para que no nos confundamos aquí tenemos y j y k y lo voy a borrar entonces dejen mejor agarrar el color negro y ahora sí con el color negro voy a poder borrar y vámonos voy a borrar esta j sin embargo ten cuidado porque aquí es un menos j entonces lo que voy a hacer es borrar todo en menos j todo este vector y lo que voy a hacer es alternar los signos de esto que está aquí adentro es decir en lugar de poner b x cz menos bz cx voy a cambiar los signos y poner esto al revés bz c x menos b x c c está lo único que hice fue cambiar los signos y después voy a borrar también toda esta presión que tengo aquí para que no nos confundamos porque si no lo hago van a salir un buen de errores y es más déjenme poner un un grosor un poco más grande para que se borre mucho más rápido todo esto vamos a borrar borramos borramos y ahora voy a regresar a mi punta original al fino de mi punto original y entonces tengo este último de aquí y ahora hay que calcular el producto cruz de todo esto y por lo tanto hay que sacar el determinante de todo esto que tenemos aquí ahora bien lo que voy a hacer explicar no solamente en la componente x las demás componentes pasa algo muy parecido a la componente x por lo tanto si nos tiramos solamente que es lo que pasa con la componen x de este vector que nos va a resultar al hacer este producto cruz vamos a poder entender qué va a pasar con las demás componentes porque va a pasar justo lo mismo es decir para hacer esto mucho más rápido solamente mo graficar en la componente y del vector resultante de este producto cruz así que tomemos el vector canónico ahí y entonces solamente me voy a fijar en estos cuatro que están aquí entonces eliminó estas dos columnas y me queda allí que multiplica a estos dos así que de una vez voy a multiplicar allí por cada uno de estos dos términos que tengo aquí me queda allí que multiplica a b x que a su vez multiplica 6 menos pues que multiplica a belle que su vez multiplica hace x todo esto que a su vez multiplica hace x y después hay que restarle la multiplicación de aceta con estos dos es decir me queda aceptar por bz porsche x pero negativo porque recuerda que lo estamos restando a z bz cx y después menos x menos me da más y es acepta por el que está aquí abajo hace está por b x por c c ya continuación voy a hacer un truco que me va a servir bastante para poder encontrar el patrón que se va a formar aquí que me va a ayudar a encontrar la fórmula de lagrange lo que voy a hacer es simple y sencillamente sumar a xv y xx y también restar a x b x x darse cuenta que no estoy haciendo nada lo único que estoy haciendo es sumando una cantidad y restando esa misma cantidad menos a x b x c x y es que la utilidad de este truco es bastante grande ya habíamos visto varias veces sumar algo y restar algo es no hacer nada sin embargo esta pequeña trampa me va a ayudar bastante a factorizar toda esta expresión porque a continuación lo que voy a hacer es fijarme en todo lo que tenga que ver con b x y factorizar de ahí lo más que se pueda fíjate bien me voy a tomar este de aquí voy a factorizar a b x de x que multiplica quien bueno lo primero que quiero que te des cuenta es que ve x multiplica a este me voy a fijar también en este y también me voy a fijar en este en el último no solamente los que son positivos b x que multiplicar en primer lugar porsche y después no es verdad de hecho lo voy a poner mejor primero con x 9 fijar primero en este componente entonces me va a quedar b x que multiplica a x c x para ponerlo todo ordenado después voy a poner la componente iría más allá se ve x multiplica también hay más serie y después a esto le voy a sumar este de aquí a ver x también multiplica a zeta cz a zeta cc está muy bien estos tres ya los tengo apuntados aquí a continuación me voy a fijar en todo lo que multiplica hace x pero no voy a tomar negativo menos c x que multiplica a quien bueno si te das cuenta hasta acá al final tengo c x que multiplica xb x entonces x b x después c x también multiplica y además es negativo por lo tanto vamos bien a esto lo voy a sumar a y b ye y después también multiplica a zp z entonces lo voy a poner positivo porque ya estoy factor izando el signo y me va a quedar a zbc está muy bien y lo que quiero que te des cuenta es que quien tenemos aquí este de aquí todo esto de aquí si lo observa fijamente te vas a dar cuenta que es la definición de a punto set el vector a producto punto con el vector se es la definición del producto punto de este vector y este vector que tengo aquí por lo tanto me queda a puntos que multiplica a su vez a b x a la componente x del vector b entonces esto va a multiplicar a la componente x del vector b y vamos con mucha lógica porque acuérdate que solamente estamos viendo qué es lo que pasa con la componente x de nuestro vector resultante y después date cuenta que todo esto es a punto b el vector a producto punto con el vector b que multiplica a su vez a la componente x vector ce ojo date cuenta que solamente estamos hablando de la primer componente por eso tenemos todo multiplicado por el vector canónico y todo esto está multiplicado por el vector canónico y lo que a su vez no está diciendo que es lo que está pasando solamente en la primer componente de nuestro vector resultante ahora bien no voy a trabajar con las demás componentes sería un buen ejercicio que tú trabajas con las demás componentes y te vas a dar cuenta que si tú realizas las mismas operaciones vas a llegar al mismo patrón que voy a poner justo ahorita porque lo que quiero que veas es que la siguiente componente en el componente j me quedaría la suma de todo lo que voy a poner aquí x la componente j y se va a cumplir el mismo patrón si aquí tengo b x voy a tener beijing y si aquí tengo c x voy a tener 6 james y después multiplicando a la componente b y me va a quedar apuntó cm mientras que el otro lado multiplicando la componentes ella me va a quedar a punto b y en medio me va a quedar 1 - y qué creés para la tercer componente o si vemos todo esto multiplicado ahora por la componente camps me va a quedar exactamente lo mismo solamente con sus respectivas componentes es decir no va a quedar bz aquí me va a quedar cz y después nos va a quedar multiplicando a cc está a punto b apuntó ven y después aquí me va a quedar a punto sé que va a multiplicar a la componente vez están aquí en medio menos y entonces ya te puedes imaginar lo que viene porque lo que viene es que podemos nosotros distribuir la multiplicación de vectores y jota y cap por cada una de estas entradas y factorizar y entonces va a quedar esto mucho más sencillo y bueno realmente no quiero saltar muchos pasos pero date cuenta que todo esto después de distribuir el vector y me va a quedar el vector b y también para el vector se es más vamos a hacerlo con calma para que te des cuenta de qué es lo que estoy haciendo fíjate bien lo que voy a hacer es distribuir el vector y por lo tanto lo voy a tachar de aquí y lo voy a poner aquí y lo voy a poner también acá lo mismo voy a hacer para el vector j entonces cómo se pueden distribuir los vectores la multiplicación de vectores es distributiva pues voy a hacer lo mismo con jota voy a poner j-king ya jcam y voy a hacer exactamente lo mismo para acá acá lo voy a distribuir y voy a poner cada aquí y acá acá el vector canónico y j y k ya los distribuye y entonces fíjate bien de todos estos que tengo yo aquí que me va a quedar tengo primero puedo sacar con un factor común apuntó c recuerda que apuntó que es un escalar y lo puedo sacar con un factor común que sube es multiplicar a quien bueno en primer lugar va a multiplicar a b x que multiplica el vector canónico y más vélez que multiplica al vector canónico jota más bz que multiplica al vector canónico acá bz que multiplica el director canónico camps y mientras del otro lado tengo que puedo factorizar apuntó ven si te das cuenta todos tienen apuntó ve y de hecho es negativo menos apuntó ven que multiplica a quién y es que date cuenta de algo todo esto que tenemos aquí abajo este de aquí es la definición de ven esto es lo mismo que el vector b fíjate que tenemos el vector b y cada uno de sus componentes por lo tanto aquí va a ser lo mismo para hacer tengo cx y massey jcct acá que son los vectores canónicos entonces me queda mi vector cm y bueno si no me crees que me salga todo esto sería muy bueno que tú hicieras todas para verificar que en efecto estoy llegando a este mismo resultado porque ahora sí voy a poner la fórmula de lagrange o la expansión del triple productor vectores que me queda a cruz de cruz cm a cruz de cruce dejemos ponerlo todo con distintos colores me va a quedar igual a quien bueno primero me fijo en el primer vector que está dentro del paréntesis es decir b me voy a fijar en el primer vector que está entre los paréntesis eso es muy importante y lo voy a escribir en primer lugar es decir me va a quedar b el vector b que va a multiplicar a quién dejan ponerlo aquí ven que multiplica a quien a apunto c 10 que esto es mucho más fácil de calcular de una manera computacional y es que seamos la lista es tomar productos puntos es mucho más fácil que estar pensando en calcular por los productos cruz el vector de que multiplica al escalar a puntos m ya esto le voy a quitar el segundo vector que está dentro del paréntesis el vector sem que multiplica a su vez al escalar a punto b es decir el producto punto de los otros dos apuntó b ya que es y lo hemos logrado aquí está de forma explícita la fórmula de lagrange es la expansión del triple producto de vectores y bueno tal vez toda esta demostración no es necesario que te sepas de memoria completamente sin embargo creo que es bastante útil esta forma de lagrange cuando tienes poco tiempo y estás en una competencia o en un examen de admisión y es que recuerda que la fórmula es la granxa lo que hace es reducir te de productos crudos y productos punto lo cual es mucho más sencillo