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Combinaciones lineales y espacios vectoriales generados

Transcripción del video

un término que va a escuchar bastante en tus vídeos de álgebra lineal y en tus temas de álgebra lineal es el concepto de combinación lineal y bueno en este video lo que quiero analizar es que es una combinación ideal y una combinación lineal es ni más ni menos que una combinación lineal jajaja bueno realmente una combinación lineal si lo vemos en un aspecto mucho más formal es tomemos varios vectores voy a tomar b1 b2 esta bn que son vectores pueden ser enredos o en rn voy a tomar dos en rn para definirlo de una manera más general tomó en vectores en rn y una combinación ideal es tomarme una suma de estos vectores así que escribí aquí una suma de estos sectores es decir b1 más b2 más b 3 más de cuatro así hasta ve en todas estas sumas pero no son sólo sumas además se suma son sumas escaladas es decir cada una estas sumas está multiplicada por una constante constante uno por b uno más la constante dos por b2 hasta llegar al último sumando que va a ser el sumándose n por bn y c1 hasta cn son puras constantes es decir son números que existen en los números reales y bueno sé que tal vez esto son un poco abstracto para ti pero me voy a tomar un ejemplo voy a decir que el vector a y bueno todos esos vectores deberían estar en negritas o con una flecha encima pero hay veces que es un poco pesado escribir todas las negritas y bueno ustedes saben que son vectores así que me voy a tomar el vector al llamado 12 y también me voy a tomar el vector ve que va a hacer el 0-3 y bueno ahora la pregunta es cuál es una combinación inal de a y b y bueno si nos fijamos la definición arriba es simple y sencillamente multiplicar aaa por la constante en este caso va a ser la constante 0 yo voy a multiplicar ave por una constante que también va a ser la constante 0 al final pueden ser cualquier constantes entonces por qué no tomarla 00 y si te das cuenta si tomamos esta combinación lineal de cero hay cero - dan el vector cero es decir el vector cuyas entradas o cuyos componentes son cero y por eso voy a poner un cero remarcado o un 0 en negritas pero bueno la cosa la constante dos pueden ser cualquier número así que vamos a tomar nosotros vamos a tomar los 3 a más y voy a poner un número negativo menos dos veces ve porque se 1 y c 2 pueden ser cualquier número en los números reales y bueno cuando me da esto tres veces a es decir 3 por una 3 - dos veces ve es menos 2 x 0 cerro y después abajo tengo tres veces a 3 por 2 6 y menos dos veces ve - dos por tres 6 - 6 y esto me da pues 3 - 0 que es 3 y 6 - seis que cerró el vector 30 y aquí está les presento a otra combinación lineal de ahí bien y si seguimos con esta definición podemos tomar cualquier se uno y cualquier c2 para hacer una combinación final puede cambiar este número tres y menos dos por cualquier otro número que se me ocurre o inclusive poner otro vector voy a poner al lector sé que es el 72 si nosotros a esto le sumamos ocho veces se también nos da una combinación ideal pero en esta ocasión de los vectores a b y c pues sigue cumpliendo nuestra definición y seguramente te estás preguntando por qué se llama combinación lineal porque no solamente combinación y la respuesta es que aquí no tenemos a ningún lector x otro vector es decir solamente tenemos suma de vectores no tenemos forma de vectores raros como por ejemplo un vector elevado al cuadrado y aunque yo sé que todavía no sabes que es un lector elevado al cuadrado esto no cumpliría la definición de una combinación lineal por eso necesitamos tener solamente constantes con números reales multiplicados por los vectores y después tomar la suma de estos y eso es lo que se conoce como una combinación lineal pero bueno también seguramente estás preguntando cómo se ve una combinación lineal en el plano cartesiano por lo tanto ahorita me voy a deshacer de todo esto voy a tachar hacen no quiero pensarlo y tampoco en set porque quiero trabajar solamente con la combinación lineal de dos directores de dos vectores enredos que en este caso van a ser los sectores a y b y la pregunta es qué va a pasar si los multiplicamos por una constante y los humanos así que está chamosa cm y recuerda que puede ser de dos o en cualquier espacio donde puedan vivir vectores y bueno ya tengo hace y no voy a explicar en qué pasaba con tres veces a menos dos veces ve esto me da el 30 así que vamos a dibujarlo en el plan casiano para ver qué mes al detener tres veces a y tres veces para esto lo primero que voy a hacer es fijar mena y voy a dibujar a a en el plan castellano en posición standard aes el vector 12 entonces caminamos una derecha y dos hacia arriba déjame ponerlo a kim 1 y 2 y por lo tanto tengo este lector que tengo aquí perfecto esta es mi víctor a y ahora me voy a fijar en el vector b víctor ds el 0 3 por lo tanto no camino nada hace la derecha y la izquierda y caminó tres hacia arriba aquí tengo el vector ven muy bien ya que tengo am y ya que tenga ven cómo se va a haber tres veces a menos dos veces ve es decir la combinación lineal que tengo que abajo tres veces am si recordamos un poco lo que vimos en los videos pasados es hacerse vector tres veces más grande por lo tanto una dos tres veces más grande voy a hacer a este vector y está entonces es tres veces am y si yo tengo menos dos veces b y ojo aquí hay un signo de menos por lo tanto ave hay que voltear lo primero para después ver quién es menos dos veces bebé esté aquí sería menos ven y ahora que tengo a menos de que en base al menos dos veces ven este de hasta acá va a ser menos dos veces ve y ya que tengo menos dos veces ven ahora quien va a ser tres a menos dos veces ven lo que hay que hacer es unir el punto final de tres veces am con el punto inicial de menos dos veces ven entonces esto me queda más o menos así y justo me da el resultado que yo quería el resultado es el 30 es decir que esta combinación lineal me da como resultado el vector 30 que es ese que tengo a kim este vector de azul es tres veces a menos dos veces ve y si te das cuenta medio de resultado un nuevo vector este vector que tengo aquí pero ahora qué pasa si yo tomo no sé 1.5 a en lugar de tres veces am pues vendría a este nuevo vector y después tengo que hacer dos veces ve para abajo y me quedaría este nuevo de aquí y por lo tanto si yo sumo 1.5 up que es otra combinación line al menos dos veces ve me va a quedar un nuevo vector este vector que estoy tomando aquí aquí tenemos a nuestro nuevo bebé y ahora la pregunta es qué pasa si yo me tomo el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos dos vectores es decir imagínense que yo me tomo un conjunto con todos los posibles resultados de multiplicar al vector a por una constante ya eso sumarle el vector b x otra constante stoner de dos que me quedaría tanto matemáticamente como visto de forma gráfica y es la pregunta tras la prueba hoy pero vamos a intentar hacerlo primero de una forma mental imagínate que yo agarro cualquier escalar multiplicando director am y me da este equipo supongamos y después a esto agregó cualquier otro escalar multiplicando bem pero ve solamente va hacia arriba o hacia abajo por lo tanto podría obtener esta línea que va hacia arriba o esta línea que va hacia abajo esto existe multiplicando a por un escalar sido multiplicó por otro escalar un poco más grande entonces me daría esta línea que tengo aquí porque ve solamente va de arriba hacia abajo y se multiplicó a por una escalada negativo entonces me daría esta línea que tengo aquí y así todos y abajo y si eso no escalar mucho más pequeño que el inicial entonces me daría esta línea recta que tengo aquí por lo tanto te estás dando cuenta que yo pueda generar todo el plano con estos dos sectores ya eso es a lo que se le conoce como el espacio vectorial generado por estos dos sectores entonces escribí aquí el espacio vectorial generado por estos dos sectores a y b pues me dan todo el plano es decir r2 el espacio generado por ahí vive en este caso fue r2 porque date cuenta que cualquier punto de dos no puedo encontrar como una combinación lineal de estos dos sectores si hacemos una combinación de ellos pueden llegar a cualquier punto del plano a cualquier punto que a mí se me ocurra y bueno ahora lo que se me ocurre preguntar te es qué pasa si tenemos otros dos sectores también me van a generar el plano cartesiano es decir todo r2 siempre el espacio generado por dos vectores rr2 para saber vamos a tomarnos al lector a que es el vector 22 y si lo pongan su posición estándar me va a dar este vector que tengo aquí este es mi vector am y entonces también me tengo que tomar a otro vector y ahora me voy a tomar el vector ven el cuál va a ser el menos 22 este va a ser mi lector ve y bueno si yo encuentro una combinación línea la dea y debe si te das cuenta todas las combinaciones lineales tanto de a cómo debe están sobre esta recta que voy a dibujar aquí porque si yo a o a vélez sumó a kobe me van a generar esta línea recta enorme que yo tengo aquí porque tanto a como b son vectores con lineales es decir como a y b están sobre una misma recta entonces el espacio generado por el vector a y el vector de quién crees que va a ser pues esta recta claro están y es que fíjate si yo agarro un vector cualquiera aquí en el ruedo supongamos éste por más que yo busqué una combinación lineal de ai debe nunca voy a poder generar este vector sep porque cualquier combinación de ahí debe no puede salir de esta línea recta que yo tengo aquí no hay forma de acomodar los que me den un vector se como éste que estoy dibujando aquí por lo tanto el espacio generado en esta ocasión por el vector a y el vector bem va a ser ni más ni menos por electora y el lector ve en esta recta que tengo aquí exactamente y entonces te das cuenta que no todo par de vectores generan el plano cartesiano en este caso hay vez generaron 92 pero qué tal si yo agarro otro otros vectores más vamos a ganar en esta ocasión en lugar de un par de vectores solamente a un vector no voy a tomar el espacio vectorial generado por el vector 0 el espacio vectorial generado por el tercero pues es ni más ni menos que el vector ser lo mismo porque si tú hagas el tercero que recuerda que esa que el vector cuyos componentes son cero y cero y lo multiplicas por cualquier constante siempre te va a dar cero y cero porque cualquier constante por cero es cero igual que el constante por 0 0 por lo tanto el espacio vectorial generado solamente por el vector 0 me da el vector 0 y qué pasa si yo tomo cualquier otro vector ya este otro vector yo le tomo el espacio vectorial generado es decir me voy a tomar el espacio virtual generado de un solo sector es más aquí tengo a ti por lo tanto me fijará quien está aquello tenía que arriban y voy a generar el espacio vectorial con este mismo vector con este único vector el espacio vectorial generado por este vector a quién va a ser pues son todos los vectores que tienen la forma una constante por andy y si recuerdas en los primeros vídeos que yo hice acerca de vectores nosotros definimos que una constante multiplicada por un vector te da una línea recta por lo tanto el espacio vectorial generado por una constante por amd es lo mismo que el espacio vectorial que generábamos con puros vectores con lineales lo cual es una recta sería esta recta que estoy dibujando a kim toda esta recta va a ser mi espacio vectorial generado por solamente un vector por lo tanto al menos hasta aquí vemos que un vector de su espacio generado es una línea recta que el espacio generado por el vector 0 es el vector cero y que espacio generado por dos vectores no siempre es enredos pero en este caso me salió que se re 2 y bueno aquí te quiero poner a los dos vectores que más usualmente generan enredos en casi todos los libros de textos de tomás a estos sectores al vector y el víctor j los cuales generan rr2 el vector y es el vector 10 estos son los vectores de ley que van a generar arte a todo tu plano cartesiano y así que vamos a dibujar lo tenemos que dar solamente un paso hacia la derecha y bueno el otro vector es el vector j que es el vector 0 1 así que también lo voy a poner su posición estándar con otro color y va a ser un vector que solamente tenemos que dar un paso hacia arriba y bueno estos vectores son unos vectores que generan todo el local ciano y se utiliza mucho en física el espacio vectorial que generan estos vectores es todo r2 y esto es porque cualquier factor que yo ponga en el plano cárcel a no lo podemos obtener como una combinación lineal de estos dos vectores y de hecho se conoce que esos vectores son una base de 2 pero ya con más calma entraré a la definición de base y ahorita no me voy a meter en su problema solamente quedarse con que estos vectores canónicos tienen como espacio vectorial generado a todo el plan o r2 y bueno ahora me voy a regresar otra vez a pensar en los sectores a y b pero bueno creo que estaría muy bien que pusiéramos la definición formal de que es un espacio vectorial generado por varios vectores entonces espacio vectorial generado por los rectores b1 b2 b3 todos eso está bien y quién va a ser pues es un conjunto de vectores un conjunto de vectores de la forma se uno por b 1 más de 2 por b2 más de tres por b 3 más etcétera etcétera etcétera más cn por b en tales que todos los seís es decir todas las constantes existen en los números reales son miembros de los números reales y para qué y se vale esto bueno para y desde uno hasta en la y lo máximo que puede valer s n en lo mínimo que puede valer es uno y esta es la definición del espacio vectorial generado por los vectores b1 b2 b3 b4 hasta bn y ya con eso tenemos una definición formal de qué pasa con un espacio vectorial generado por unos sectores si te das cuenta solamente es tomar la combinación ideal de todos los sectores y variar todas las constantes que se puedan para ver qué obtenemos de las combinaciones lineales de estos vectores y ver qué conjuntos se forma y bueno esta definición ya está muy general porque está hablando de electores en este caso recuerda que los sectores a y b generaban el espacio vectorial que era igual a error o dicho de otra manera hay degeneraban todo el plano cartesiano y suena muy padre pero realmente esto será cierto es decir si yo me tomo un vector cualquiera realmente este vector lo puedo ver como una combinación lineal de los sectores a y b pues vamos a ver si eso es cierto me voy a tomar un vector cualquiera en r2 y ese lector me voy a llamar el vector x así que darle un poco de espacio recuerda que a ese sector 12 y b es el vector 03 dejan escribir lo que hace que se olvide el vector a ese lector 12 y el vector b es el vector cuyos componentes son el 0 y 3 y bueno yo me voy a tomar cualquier otro vector que pueda vivir en rd 2 y cómo lo voy a ver de forma general buena tomando el vector x que es el vector x 1 x 2 y ahora mi pregunta es este efector x1 y x2 lo podemos escribir como una combinación ideal de estos dos vectores esto quiere decir que si yo multiplico una constante uno por el vector a y le sumó una constante dos que multiplica el vector bm tiene que dar el vector x esto era cierto para cualquier x que yo me tomé para cualquier lector es que yo me tomé bueno vamos a ver qué es que yo tenga hace 1 x a apuesto quiere decir que tengo una constante uno que va a multiplicar al vector 12 y a esto tenemos que agregarle s2 que va a multiplicar al vector 0,3 y esto tiene que ser igual al vector x1 y x2 tengo una constante según lo que multiplica el vector 12 y después tengo una constante dos que multiplica al sector b pero el director de elector 03 y eso tiene que ser igual al vector x1x dos perfectos entonces esto tiene que ser igual al vector x1 y x2 y bueno esto quiere decir que si yo multiplico c1 dejé de escribir una vez sea uno por uno me quedase 111 1 +0 porsche dos puesto que hacer o bs 2 esto es lo mismo que x 1 eso es lo que yo quisiera que pasara y bueno eso cuando pensamos en la componente x ya tengo una ecuación pero ahora qué pasa si pienso en la componente y me quedaría que dos veces se uno más tres veces eeuu no perdona que puse 12 12 veces se uno más tres veces e 2c dos por tres es tres veces dos tiene que ser igual a x2 a la componente del vector x y ahora mi pregunta es es cierto que esto se cumple para algún ser 1 y c 2 en los números reales y bueno ya tengo un sistema de ecuaciones voy a intentar resolverlo para ver si llego algo en primera parte tengo cero vez ese dos por lo tanto esto se cancelaría y bueno me queda que unos eeuu no es igual x1 y que los países y la primera cuestión a multiplicó por menos dos para poner la que bajó me quedaría menos dos veces eeuu no estoy tomando menos dos veces la ecuación uno para que pueda cancelar la actuación de abajo +0 es igual a menos 2 veces x 1 y 2 veces se uno menos dos veces a uno se va estoy utilizando el método de summers esta simple y sencillamente me quedan que tres veces de dos es igual a quien tres veces de dos es igual a x2 menos 2 veces x 1 y bueno si yo paso entre dividiendo ya voy a obtener un valor para haceros c2 es igual a un tercio de x 2 - 2 veces x 1 y si te das cuenta aquí puse un tercio por que pase el 3 dividiendo del otro lado y bueno ya con eso tengo el valor para cerdos y el valor para el c1 pues es muy fácil sacarlo de la primera ecuación si te das cuenta tengo una vez eeuu no más héroes igual x1 de aquí obtengo que se uno tiene que ser igual x1 y por lo tanto ya tengo dos valores que se dos tiene que ser un tercio de todo esto y según lo tiene que ser igual a x 1 por lo tanto dato cualquier vector en este plano local se anotó 2 de 2 cuyas componentes sean x1 y x2 yo ya tengo dos constantes de las cuales al multiplicar las por el vector ahí el multiplicarlos por el vector de esta combinación ideal me van a dar este vector ex y bueno estoy muy bien probar estas nuevas igualdades para ser un empate 2-2 con cualquier lector que se me ocurra voy a tomar un vector en el espacio de dos que se me ocurra voy a tomar el vector 22 y voy a ver si realmente con estas formulitas y usando un poco de álgebra de vectores pueda obtener este vector llamado 22 este vector 22 el director x y bueno como puedan contrario una combinación lineal de ahí debe tal que me del vector 22 entonces me quedaría que se uno tiene que ser igual a x 1 por lo tanto el segundo igualados y c2 tiene que ser igual a un tercio de x 2 - x1 es decir de 0 2 - 2 a 0 y por lo tanto c2 me queda cero y aquí ya muestran algo raro por aquí debe haber algún error porque si se dos vale cero aquí hay algo raro hay a encontrar el error es que cuando yo escribí esta parte de aquí no puse dos veces x 1 era x 2 - 2 veces x 1 y solamente puse una vez x1 por lo tanto hay que inventar mundos y me queda un tercio de x 2 - x 1 y ahora sí ya me va a quedar cerrados tiene que ser igual a un tercio de x 2 - 2 veces x 1 es decir un tercio de x2 x 2 la componente en 10 del pectoral y que hoy llega es decir 2 los dos veces x 1 es decir dos veces la componente en x electoral quiero llegar que es 2 y por lo tanto me queda un tercio que multiplica a 2 - cuatro y eso es lo mismo que menos dos tercios y perfecto y encontré c1 y c2 tales que es cuando yo hago una combinación lineal con c1 y c2 de ahí debe me tiene que dar el vector 22 es decir dos veces a menos dos tercios debe es igual al vector 2,2 o vamos a escribirlo sustituyendo a yahvé dos veces el vector 12 - dos tercios el vector ve que el vector 03 tiene que ser igual al vector 22 y esto es cierto