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Combinaciones lineales y espacios vectoriales generados

Transcripción del video

un término que vas a escuchar bastante en tus vídeos de álgebra lineal y en tus temas de álgebra lineal es el concepto de combinación lineal y bueno en este vídeo lo que quiero analizar es que es una combinación lineal y una combinación lineal es ni más ni menos que una combinación lineal bueno realmente una combinación lineal si lo vemos en un aspecto mucho más formal es tomemos varios vectores voy a tomar b1 b2 hasta bn que son vectores pueden ser en r 2 en rn voy a tomarlos en rn para definirlo de una manera más general tomo en lectores en rn y una combinación ideal es tomarme una suma de estos vectores así que escribir aquí una suma de estos vectores es decir b1 b2 b3 b4 así hasta bn todas estas sumas pero no son sólo sumas además de ser sumar son sumas escaladas es decir cada una estas sumas está multiplicada por una constante constante 1 por b 1 + la constante 2 por b 2 hasta llegar al último sumando que va a ser el ser humano cnn hice uno hasta cn son puras constantes es decir son números que existen en los números reales y bueno sé que tal vez todos en un poco abstracto para ti pero me voy a tomar un ejemplo voy a decir que el vector a y bueno todos estos vectores deberían estar en negritas o con una flecha encima pero hay veces que es un poco pesado escribir todas estas negritas y bueno ustedes saben que son vectores así que me voy a tomar el vector llamado 1 2 y también me voy a tomar el vector b que va a ser el 0 3 y bueno ahora la pregunta es cuál es una combinación lineal de a&b y bueno si nos fijamos en la definición de arriba es simple y sencillamente multiplicar por una constante en este caso va a ser la constante 0 y fui a multiplicar a b por una constante que también va a ser la constante 0 al final pueden ser cualquier constantes entonces por qué no tomar las 0 0 y si te das cuenta si tomamos esta combinación lineal de 0 a 0 b nos dan el vector 0 es decir el vector cuyas entradas o cuyas componentes son 0 y por eso voy a poner un 0 remarcado o un 0 en negritas pero bueno la constante aún es la constante 2 pueden ser cualquier número así que vamos a tomar nosotras vamos a tomar los tres o más y voy a poner un número negativo menos dos veces b porque sé 1 y c 2 pueden ser cualquier número en los números reales y bueno cuánto me da esto tres veces a es decir tres por una tres menos dos veces b es menos dos por cero cero y después abajo tengo tres veces 3 por 2 6 y menos dos veces b menos dos por 36 menos 6 y esto me da pues 3 -0 que es 3 y 6 menos 6 que es 0 el vector 30 y aquí está les presento a otra combinación lineal de ahí ve y si seguimos con esta definición podemos tomar cualquier segundo igual que irse 2 para hacer una combinación lineal puedo cambiar este número 3 y menos 2 por cualquier otro número que se me ocurra o inclusive poner otro vector voy a poner al vector sé que es el 72 sí nosotros a esto le sumamos 8 veces también nos da una combinación lineal pero en esta ocasión de los vectores a b y c pues sigue cumpliendo nuestra definición y seguramente te estás preguntando por qué se llama combinación porque no solamente combinación y la respuesta es que aquí no tenemos en ningún vector x otro vector es decir solamente tenemos suma de vectores no tenemos suma de vectores raros como por ejemplo un vector elevado al cuadrado y aunque yo sé que todavía no sabes qué es un vector elevado al cuadrado esto no cumpliría la definición de una combinación lineal por eso necesitamos tener solamente constantes con números reales multiplicados por los vectores y después tomar la suma de estos y eso es lo que se le conoce como una combinación lineal pero bueno también seguramente te estás preguntando cómo se ve una combinación lineal en el plano cartesiano por lo tanto ahorita me voy a deshacer de todo esto voy a tachar hace no quiero pensar ahorita un poco en self porque quiero trabajar solamente con la combinación lineal de dos vectores de dos vectores en r2 que en este caso van a ser los vectores a ive y la pregunta es qué va a pasar si los multiplicamos por una constante y los sumamos así que tenemos hace y recuerda que puede ser en r2 o en cualquier espacio donde puedan vivir vectores y bueno ya tengo hace y no voy a explicar en qué pasaba con tres veces a menos dos veces b esto me da el 30 así que vamos a dibujarlo en el plan cats ya no para ver que me sale de tener tres veces y tres veces para esto lo primero que voy a hacer es fijarme en ahí voy a dibujar en el plan cartesiano en posición estándar a es el vector 12 entonces caminamos uno a la derecha y dos hacia arriba déjame ponerlo aquí 1 y 2 y por lo tanto obtengo este vector que tengo aquí perfecto este es mi vector am y ahora me voy a fijar en director de director de es el 03 por lo tanto no camino nada hacia la derecha en la izquierda y camino 3 hacia arriba aquí tengo el vector ven muy bien ya que tengo a am y ya que tenga ven cómo se va a ver tres veces a menos dos veces ve es decir la combinación lineal que tengo aquí abajo tres veces am si recordamos un poco lo que vimos en los vídeos pasados es hacer este vector tres veces más grande por lo tanto una dos tres veces más grande voy a hacer a este vector y está entonces es tres veces am y si yo tengo menos dos veces ven y ojo aquí hay un signo de menos por lo tanto a ver hay que voltear lo primero para después ver quién es menos 2 este de aquí sería menos ven y ahora que tengo menos ve quién va a ser menos dos veces ven este de hasta acá va a ser menos dos veces ve y ya que tengo menos dos veces ven ahora quién va a ser tres menos dos veces ven lo que hay que hacer es unir el punto final de tres veces am con el punto inicial de menos dos veces ven entonces esto me queda más o menos así y justo me da el resultado que yo quería mi resultado es el 30 es decir que esta combinación lineal me da como resultado el vector 30 que es este que tengo aquí este vector de azul es tres veces a menos dos veces ven y si te das cuenta medio de resultado un nuevo vector este vector que tengo aquí pero ahora qué pasa si yo tomo no sé 1.5 a en lugar de tres veces am pues tendría a este nuevo vector y después tengo que hacer dos veces ve para abajo y me quedaría este nuevo de aquí y por lo tanto si yo sumo 1.5 a que es otra combinación lineal menos dos veces b me va a quedar un nuevo vector este vector que estoy tomando aquí aquí tenemos a nuestro víctor y ahora la pregunta es qué pasa si yo me tomo el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos dos vectores es decir imagínense que yo me tomo un conjunto con todos los posibles resultados de multiplicar al vector a por una constante ya esto sumarle el vector b x otra constante stoner de 2 que me quedaría tanto matemáticamente como visto de forma gráfica y esa es la pregunta tras la probó pero vamos a intentar hacerlo primero de una forma mental imagínate que yo agarro cualquier escalar multiplicando mi vector a mí y me da este de aquí supongamos y después a esto le agrego cualquier otro escalar multiplicando bien pero ves solamente va hacia arriba o hacia abajo por lo tanto podría obtener esta línea que va hacia arriba o esta línea que va hacia abajo esto es si estoy multiplicando a por un escalar si lo multiplicó por otro escalar un poco más grande entonces me daría esta línea que tengo aquí porque ves solamente va de arriba hacia abajo y se multiplicó a por un escalar negativo entonces me daría esta línea que tengo aquí y así todo hacia abajo y si es una escalar mucho más pequeño que el inicial entonces me daría esta línea recta que tengo aquí por lo tanto te estás dando cuenta que yo puedo generar todo el plano con estos dos vectores ya eso es a lo que se le conoce como el espacio vectorial generado por estos dos vectores entonces cómo escribirlo aquí el espacio vectorial generado por estos dos vectores a y b pues me dan todo el plano es decir r2 el espacio generado por ahí b en este caso fue r 2 porque date cuenta que cualquier punto de r2 lo puedo encontrar como una combinación lineal de estos dos vectores si hacemos una combinación de ellos pueden llegar a cualquier punto del plano a cualquier punto que a mí se me ocurra y bueno ahora lo que se me ocurre preguntarte es qué pasa si tenemos otros dos vectores también nos van a generar el plano cartesiano es decir todo r2 siempre el espacio generado por dos vectores es r 2 pues a ver vamos a tomarnos al vector a que es el vector 2 2 y si lo pongo en su posición estándar me va a dar este vector que tengo aquí este es mi vector am y entonces también me tengo que tomar a otro y ahora me voy a tomar al vector b el cual va a ser el menos 2 2 este va a ser mi vector b y bueno si yo encuentro una combinación lineal de a idv si te das cuenta todas las combinaciones lineales tanto de a cómo debe están sobre esta recta que voy a dibujar aquí porque si yo a am a vélez sumó a v me van a generar esta línea recta enorme que yo tengo aquí porque tanto a como b son vectores q lineales es decir como a y b están sobre una misma recta entonces el espacio generado por el vector a y el vector de quién crees que va a ser pues esta recta claro está y es que fíjate si yo agarro un vector cualquiera aquí en r2 supongamos este por más que yo busque una combinación lineal de ay debe nunca voy a poder generar este vector sep porque cualquier combinación de ahí debe no puede salir de esta línea recta que yo tengo aquí no hay forma de acomodar los que me den un vector sé como éste que estoy dibujando aquí por lo tanto el espacio generado en esta ocasión por el vector a y el vector b va a ser ni más ni menos por el vector y el vector ven es esta recta que tengo aquí exactamente y entonces te das cuenta que no todo par de vectores generan el plano cartesiano en este caso hay beheshti generado en alrededores pero qué tal si yo agarro otro otro vector es más vamos a agarrar en esta ocasión en lugar de un par de vectores solamente a un vector no voy a tomar el espacio vectorial generado por el vector cero el espacio vectorial generado por el vector cero pues es ni más ni menos que el vector cero mismo porque si tú agarras el vector cero que recuerda que es a que el vector cuyas componentes son 0 y 0 y lo multiplicas por cualquier constante siempre te va a dar 0 y 0 porque cualquier constante por 0 es cero y cualquier constante por cero es cero por lo tanto el espacio vectorial generado solamente por el vector cero me da el vector cero y qué pasa si yo tomo cualquier otro vector ya este otro vector yo le tomo el espacio vectorial generado es decir me voy a tomar el espacio vector ya generador de un solo vector es más aquí tengo a am y por lo tanto me voy a fijar a quién está a que yo tenía que arriban y voy a generar el espacio vectorial este mismo vector con este único vector el espacio vectorial generado por este vector a pues quién va a ser pues son todos los vectores que tienen la forma una constante por up y si recuerdas en los primeros vídeos que yo hice acerca de vectores nosotros definimos que una constante multiplicada por un vector te da una línea recta por lo tanto el espacio vectorial generado por una constante por am es lo mismo que el espacio vectorial que generábamos con puros vectores con lineales lo cual es una recta seria esta recta que estoy dibujando aquí toda esta recta va a ser mi espacio vectorial generado por solamente un vector por lo tanto al menos hasta aquí vemos que un vector es su espacio generado es una línea recta que el espacio generado por el vector cero es el vector cero y que el espacio generado por dos vectores no siempre es r 2 pero en este caso me salió que seré 2 y bueno aquí te quiero poner a los dos vectores que más usualmente generan r 2 en casi todos los libros de textos de tomás a estos dos vectores al vector y el vector j los cuales generan r 2 el vector y es el vector 10 estos son los vectores de ley que van a generar t a todo tu plano cartesiano y así que vamos a dibujar lo tenemos crear solamente un paso hacia la derecha y bueno el otro vector es el vector j que es el vector 01 así que también lo voy a poner en su posición estándar con otro color y va a ser un vector que solamente tenemos que dar un paso hacia arriba y bueno estos vectores son unos vectores que generan todo el valor cristiano y se utilizan mucho en física el espacio vectorial que generan estos dos vectores es todo r2 y esto es porque cualquier vector que yo ponga en el plano cartesiano lo podemos obtener como una combinación lineal de estos dos vectores y de hecho se conoce que estos dos vectores son una base de r2 pero ya con más calma entraré a la definición de base y ahorita no me voy a meter en ese problema solamente quédense con que estos vectores canónicos tienen como espacio vectorial generado a todo el plano r 2 y bueno ahora me voy a regresar otra vez a pensar en los vectores am y b pero bueno creo que estaría muy bien que pusiéramos la definición formal de es un espacio vectorial generado por varios vectores entonces el espacio vectorial generado por los vectores b1 b2 b3 todos esos hasta bn quien va a ser pues es un conjunto de vectores un conjunto de vectores de la forma que uno por b1 c2 por b 2 más de 3 por b 3 + etcétera etcétera etcétera más cn por bn tal vez que todos los c es decir todas las constantes existen en los números reales son miembros de los números reales y para que se vale esto bueno para y desde uno hasta n line lo máximo que puede valer es n y lo mínimo que puede valer es 1 y esta es la definición del espacio vectorial generado por los vectores b1 b2 b3 b4 hasta bn y ya con esto tenemos una definición formal de qué pasa con un espacio vectorial generado por unos vectores si te das cuenta solamente es tomar la combinación lineal de todos los vectores y variar todas las constantes que se puedan para ver qué obtenemos de las combinaciones lineales de estos y ver qué conjunto se forma y bueno esta definición ya está muy general porque está hablando de n vectores y en este caso recuerda que los vectores aire generaban el espacio vectorial que era igual a r2 o dicho de otra manera a ive generaban todo el plano cartesiano y suena muy padre pero realmente esto será cierto es decir si yo me tomo un vector cualquiera realmente este vector lo puedo ver como una combinación lineal de los lectores ahí ve pues vamos a ver si eso es cierto me voy a tomar un vector cualquiera en r2 y es el vector le voy a llamar el vector x así que darle un poco de espacio recuerda que es el vector 1 2 y b es el vector 03 déjame escribir lo que antes de que se me olvide el vector a es el vector 1 2 y el vector b es el vector cuyas componentes son el 0 y 3 y bueno yo me voy a tomar cualquier otro vector que pueda vivir en r2 y como lo voy a ver de forma general voy a tomar un vector x que es el vector x 1 x 2 y ahora me pregunta es este vector x 1 2 lo podemos escribir como una combinación lineal de estos dos vectores esto qué quiere decir que si yo multiplico una constante 1 por el vector a y le sumó una constante de 2 que multiplica el vector de me tienen que dar el vector x esto será cierto para cualquier equis que yo me tome para cualquier vector x que yo me tomé pues bueno vamos a ver qué es que yo tenga hace 1 x ha puesto quiere decir que tengo una constante 1 que va a multiplicar al vector 12 ya esto tengo que agregarle c 2 que va a multiplicar al vector 0 3 y esto tiene que ser igual al vector x 1 x 2 tengo una constante según lo que multiplica al vector 1 2 y después tengo una constante 2 que multiplica al vector b pero el vector b es el vector 0 3 y eso tiene que ser igual al vector x 1 x 2 perfecto entonces esto tiene que ser igual al vector x1 y x2 y bueno esto qué quiere decir que si yo multiplico c1 déjeme escribirlo de una vez de uno por uno me quedase 11 segundos + 0 por 0 2 pues tengo que hacer o bsc 2 esto es lo mismo que esto es lo que yo quisiera que pasara y bueno esto es cuando pensamos en la componente x ya tengo una ecuación pero ahora qué pasa si pienso en la componente y me quedaría que dos veces uno más tres veces eeuu no perdona que puse c2 a c1 dos veces se 13 veces c2c 2 por 3 es tres veces 2 tiene que ser igual a x2 a la componente del vector x y ahora me pregunta es es cierto que esto se cumple para algún c1 y c2 en los números reales y bueno ya tengo un sistema de ecuaciones voy a intentar resolverlo para ver si llego a algo en primera parte tengo cero veces 2 por lo tanto esto se cancelaría y bueno me queda que 1 c 1 es igual de x 1 y qué les parece si la primera ecuación la multiplicó por menos 2 para ponerle aquí abajo me quedaría menos dos veces eeuu no estoy tomando menos dos veces la ecuación 1 para que pueda cancelarla con la ecuación de abajo más 0 es igual a menos 2 veces x 1 y dos veces uno menos dos veces ese uno se van estoy utilizando el método de suma y resta y simple sencillamente me quedan que tres veces de 2 es igual a quien tres veces dos es igual a x2 menos 2 veces x 1 y bueno si yo paso el 3 dividiendo ya voy a obtener un valor para este 2 2 es igual a un tercio de x2 menos 2 veces x 1 y si te das cuenta aquí puse un tercio porque pase el 3 dividiendo del otro lado y bueno ya cuando tengo el valor para este 2 y el valor para ese 1 pues es muy fácil sacarlo de la primera ecuación si te das cuenta tengo una vez sé 10 es igual de x 1 ya que obtengo que ese uno tiene que ser igual x 1 y por lo tanto ya tengo dos valores que ese 2 tiene que ser un tercio de todo esto y segundo tiene que ser igual a x1 por lo tanto dado cualquier vector en este plano cartesiano en todo el de dos cuyas componentes sean x1 y x2 yo ya obtengo dos constantes de las cuales al multiplicar las por el vector ahí el multiplicarlos por el vector b esta combinación lineal me van a dar este vector x y bueno estaría muy bien probar estas nuevas igualdades para se unen para este 2 con cualquier vector que se me ocurra voy a tomar un vector en el espacio r 2 y que se me ocurra el vector 22 y voy a ver si realmente con estas fórmulas y usando un poco de álgebra de vectores puedo obtener este vector llamado 22 este vector 2 2 el vector x y bueno como puedo encontrar yo una combinación lineal de ahí de vegetal que me del vector 22 entonces me quedaría que sea uno tiene que ser igual a x1 por lo tanto hace algunos igualados y c2 tiene que ser igual a un tercio de x2 menos x1 es decir de 0 2 menos 20 y por lo tanto este 2 me queda 0 y aquí ya me suena algo raro por aquí debe de haber algún error porque si se 2 vale 0 aquí hay algo raro allá en contra el error es que cuando yo escribí esta parte de aquí no puse 2 veces x 1 era x 2 menos 2 veces x 1 y solamente puse una vez x 1 por lo tanto que hay que aumentar en un 2 y queda un tercio de x 2 - x 1 y ahora sí que me va a quedar de 2 tiene que ser igual a un tercio de x 2 menos 2 veces x 1 es decir un tercio de x 2 x 2 es la componente en 10 del vector al que quiero llegar es decir 2 menos 2 veces x 1 y dos veces la componente en x del vector al cual quiero llegar que es 2 y por lo tanto me queda un tercio que multiplica a 2 menos 4 y esto es lo mismo que menos dos tercios y perfecto ya encontré c1 y c2 tal vez que es cuando yo hago una combinación lineal con c1 y c2 de ahí debe me tiene que dar el vector 2-2 es decir dos veces a menos dos tercios de b es igual al vector 2.2 o vamos a escribirlo sustituyendo a yahvé dos veces el vector 12 menos dos tercios del vector b que el vector 03 tiene que ser igual al vector 2-2 y esto es cierto