Introducción a la independencia lineal

vamos a tomarnos un conjunto que contenga un par de vectores en r2 para preguntarnos cuál es el espacio vectorial generado por estos dos vectores así que me voy a tomar dos vectores me voy a tomar el vector 23 y también me voy a tomar el vector a 46 el segundo vector base del vector 46 y bueno si yo me quiero preguntar cuál es el espacio vectorial que está generado por estos dos vectores entonces lo que se me ocurre pensar es en una combinación lineal de estos dos vectores por lo tanto voy a poner que una combinación lineal de estos dos vectores y voy a ver a dónde puedo llegar recuerdan que también lo podemos ver como cuáles son todos los vectores que podemos representar con estos dos vectores con una combinación lineal de estos dos vectores así que voy a tomar una constante uno que va a multiplicar al primer vector al vector dos tres más una constante 2 que va a multiplicar el segundo vector es decir al vector 46 y bueno ya tengo una combinación lineal de estos dos vectores sin embargo este segundo vector lo puedo ver como un múltiplo del primer vector de hecho este segundo vector es exactamente lo mismo que tomar métodos es el primer vector entonces déjenme escribir lo que multiplica el vector 23 más de 2 que multiplica y este vector lo voy a ver a continuación como dos veces el vector 232 por dos son cuatro dos por tres son seis y estos dos son lo mismo por lo tanto lo voy a escribir como dos veces el vector dos tres y si substituyó aquí abajo me va a quedarse 2 que multiplica a dos veces el vector 23 y bueno si te das cuenta este de aquí es el doble que el primer vector esto es un múltiplo del primer vector por lo tanto yo puedo escribir esto de la siguiente manera esto es uno más dos veces se 2 todo esto que multiplica el vector 23 pero lo interesante de todo esto es que una constante más dos veces otra constante pues es lo mismo que otra constante al final esto es un numerito que no cambia es una constante entonces le puede llamar c3 que multiplica el vector 23 y entonces en este momento estoy obteniendo un resultado muy importante el resultado es que la combinación lineal de estos dos vectores del vector 23 y el vector 46 y me da una sola constante que multiplica a mi vector 23 y de igual manera puede haber hecho esto con un medio de este vector pero lo importante es que obtuve uno de los dos vectores como un múltiplo del otro vector y por lo tanto obtengo este resultado y con esto obtengo que al final una combinación lineal de dos vectores me da de resultado un escalar que multiplica a un solo vector y por lo tanto como se ve esto en r2 bueno nosotros sabemos que nosotros tenemos un escalar que multiplica a un vector nos da una línea recta aquí tengo mi vector 23 y si lo multiplicó por cualquier constante entonces tarde o temprano voy a obtener una recta así que vamos a dibujarla esta va a ser por aquí por aquí también 23 caminos 23 para acá y obtengo esta línea recta por lo tanto estoy diciendo que el espacio vectorial generado por estos dos vectores es esta línea recta fíjate muy bien desde los primeros vídeos yo análisis sé que cuando tenía una constante que multiplicaba un vector obtenía una línea recta no es así y si esta combinación lineal al final una constante que multiplica una línea recta entonces puedo decir que el espacio vectorial que me dan estos dos vectores el vector 23 y el vector 46 este conjunto que yo tenía en un principio me da de resultado esta recta que yo obtengo aquí este es un espacio vectorial generado por estos dos vectores y es que al final date cuenta que el vector 46 está sobre la misma recta vamos a tomar otro color y vamos a dibujar al vector 46 en su posición estándar tengo que caminar 4 a la derecha y después de caminar 6 hacia arriba yo obtengo este vector anaranjado que estoy dibujando aquí lo que me está diciendo que el vector 23 del vector 46 son vectores pues lineales es decir existen en una misma recta y esto estamos hablando en el plano cartesiano y ahora la pregunta es si están en una línea recta cómo puedo yo obtener otro vector supongamos este nuevo vector que voy a dibujar dado una combinación lineal de estos dos vectores y la respuesta es que no hay forma de obtener este otro vector porque siempre estamos condenados a obtener vectores sobre esta misma línea no podemos separarnos de esta línea recta si sólo tenemos este conjunto con estos dos vectores nuestros destinos quedarnos siempre en esta línea recta y es justo por eso que cuando nosotros hicimos una combinación lineal con estos dos vectores al final obtuvimos una constante que multiplicaba a uno de ellos y es aquí cuando voy a introducir una definición muy importante que vamos a ver bastante en este vídeo a estos dos vectores se les conoce como linealmente dependientes y linealmente dependientes significa que uno de los vectores de este conjunto se puede representar con una combinación lineal de los otros vectores de este conjunto o tal vez otra forma de verlo es que estos vectores no nos dan una información nueva o nos da una nueva dirección al final podemos representar a uno de estos vectores como una combinación lineal de los otros vectores y en este caso fue que el vector 46 lo podíamos ver como dos veces el vector 23 o inclusive lo podemos ver mucho mejor en r3 si tenemos un vector y otro vector los cuales no son vectores co lineales entonces los que nos van a generar un plano un plano en r3 tengo este plano en r3 y si ahora yo me tomo un tercer vector porque estamos en el espacio y este vector está encima de este mismo plano entonces lo que va a pasar es lo siguiente no obtenemos una nueva dirección estamos sobre la misma dirección de este mismo plano por lo tanto seguimos trabajando en dos dimensiones en lugar de movernos a una tercera dimensión esto es lo que pasa porque este tercer vector es un vector linealmente dependiente a los otros dos y es que al final este plano que estoy dibujando es el plano que abarcan estos dos vectores o es el espacio vectorial que están generando estos dos vectores esto quiere decir que cualquier vector en este plano lo podemos ver como una combinación lineal de estos dos vectores y por lo tanto si este vector de verde está sobre este plano por lo tanto lo podemos ver como una combinación lineal de estos otros dos vectores que me generaban este plano de amarillo y por lo tanto este vector de verde que estoy dibujando aquí no está aportando nada al espacio vectorial formado por estos dos vectores es decir no está dando una nueva dimensión y un nuevo espacio ninguna manera distinta de movernos y por lo tanto esto hace que este vector de verde sea linealmente dependiente de estos otros dos vectores que eran a su vez linealmente independientes porque generaban este plano y es que para que estos tres vectores puedan formar algo que no sea un plano algo parecido a r3 empiezan a generar cosas distintas lo que tiene que pasar es que este vector va a tener que romper este plano romper estas dos dimensiones y moverse en una nueva dirección y si este vector está rompiendo este plano entonces quiere decir que está afuera de este plano y si está fuera de este plano entonces está fuera de cualquier combinación lineal de estos dos vectores porque me está generando cosas nuevas estoy diciendo que estos tres vectores son linealmente independientes así que déjenme dibujarse un par de ejemplos más vamos a tomarnos el vector 23 y vamos a tomarnos también al director a 72 y también no voy a tomar el tercer vector el cual va a ser el 95 tengo un conjunto de tres vectores y bueno lo que quiero saber es si este conjunto de estos tres vectores es linealmente dependiente o es realmente independiente y bueno lo primero que podemos ver es que ninguno de estos es múltiplo del otro si yo multiplico dos veces por el vector uno por el vector dos nunca me del vector 3 ni nada así sin embargo si hacemos un poco más de análisis nos vamos a dar cuenta que el vector uno más del vector 2 es el vector 3 y por lo tanto estoy diciendo que el vector 3 lo podemos representar como una combinación lineal del vector 1 y del vector 2 por lo tanto podría decir que este conjunto es un conjunto linealmente dependiente porque encontré que el tercer vector lo puedo escribir como una combinación lineal de estos dos vectores a ver vamos a verlo con más calma en el plano cartesiano estoy aquí trabajando en r2 y me voy a dibujar el primer vector mi primer vector es el vector 2 3 y después voy a dibujar también mi segundo vector para ver si así podemos entender mejor lo que se refiere es linealmente dependiente y linealmente independiente como definición el vector 23 es este de aquí este es mi vector 1 y después tengo el vector 7 2 hay que caminar 7 a la derecha y estoy más o menos por acá y 2 hacia arriba estoy en este punto de aquí por lo tanto este es el vector que estoy representando con el 72 este es mi vector 2 y ahora quiero que te des cuenta que estos dos vectores como si son linealmente independientes entonces su espacio generado por estos dos su espacio vectorial generado por ver uno y por b 2 es todo r 2 es todo el plano cartesiano es decir que cualquier punto en el plano cartesiano lo podemos ver como una combinación lineal de estos dos vectores cualquier sector que yo me tomé y que esté viviendo en r2 lo puedo ver como una combinación lineal de estos dos vectores así que déjame dibujarse el tercer vector el tercer factor va a ser este de azul que es el vector 95 y este vector 95 está viviendo en r 2 y si estás viviendo en él por lo tanto estoy diciendo que lo podemos ver como una combinación lineal tanto de b1 b2 por el simple hecho de vivir en r2 y si nosotros tenemos que el espacio vectorial generado por ver uno y por b2s r2 entonces como éste vive en r2 no hay de otra se puede ver como una combinación lineal de b1 y b2 y por lo tanto estamos diciendo que el vector 3 es linealmente dependiente del vector 1 y el vector 2 así que vamos a ver otro ejemplo para que siga sentando mejor el conocimiento no voy a tomar en esta ocasión al vector 70 al cual voy a llamar mi vector 1 no voy a tomar el siguiente vector el vector 0 -1 este va a ser mi vector 2 y bueno tal vez vaya a ser un poco obvio lo que voy a decir pero bueno lo que quiero ver si este conjunto de vectores el 70 y el 0 -1 es un conjunto de linealmente dependiente o linealmente independiente y como lo puedo saber bueno pues voy a tomar una constante 1 que va a multiplicar el vector 1 y voy a ver si puedo generar el vector lo único que estoy utilizando es la definición de linealmente dependiente o linealmente independiente si son linealmente independientes entonces no va a existir una combinación lineal que me dé el otro vector así que pongo se uno por el primer vector que es el vector 70 y date cuenta que la segunda componente es 0 así que cualquier cosa que multiplique por 0 nunca nunca me va a dar menos 1 esto quiere decir que el segundo vector nunca lo voy a poder ver como el primer vector multiplicado por un escalar y de igual manera para el segundo vector cuando yo lo multiplique por una constante en la primera componente nunca me va a quedar nada distinto de cero por lo tanto nunca voy a obtener el 7 y por lo tanto se puede decir que el segundo vector multiplicado por un escalar nunca se va a aparecer al primer vector y bueno vamos a dibujarlos para ver cómo se ven dos vectores linealmente independientes tengo este vector y este vector y si te das cuenta estos dos sectores generan todo el plano garcía no el espacio vectorial que generan estos dos vectores estolano cartesiano así que déjame ponerlo el espacio vectorial que genera de uno es igual a todo r2 a todo el plano cartesiano pues son vectores linealmente independientes y aquí no puse que generaban estos tres vectores así que dejamos escribirlo el espacio vectorial generado tanto por ver uno como por de dos como por b tres por los tres vectores quién va a ser bueno si b1 y b2 generaban todo el plano cartesiano entonces estos tres vectores también van a generar el plan cartesiano porque al final aunque tenemos uno que es combinación lineal de los otros dos es decir era la suma del primer vector más el segundo el vector aquí están aunque tengamos estos tres dos me generaban todo el plano cartesiano pues además me generan al vector 3 y por lo tanto me siguen generando estos tres vectores todo el plano casiano o dicho tal manera todo r2 y es que al final aquí estoy dando tres vectores y estoy dando un poco más de información para que me generen r2 sin embargo este vector 3 sería como completamente redundante ponerlo porque al final con b 1 y con b 2 solamente con estos dos vectores generábamos r2 el espacio vectorial generado por ver 1 por b 2 es la versión simplificada del espacio vectorial generado x 1 2 y 3 es como la forma óptima de verlo es como cuando tenemos un problema con más datos que los datos que necesitamos por lo tanto bueno esta información es redundante y puede haber un tercer ejemplo este tercer ejemplo lo voy a tomar en r3 para que veamos y acabemos este vídeo vamos a tomar los vectores con tres componentes porque estamos pensando en vectores 93 y 90 más los siguientes vectores me voy a tomar el vector 200 este va a ser el primer vector 200 lo voy a tomar como segundo vector él el 010 vamos a tomarnos el 010 y como tercer vector el 0 0 7 el 0 0 7 como si fuera agente secreto y bueno ya que tengo estos tres vectores ahora la pregunta es la siguiente el conjunto de estos tres vectores es un conjunto de vectores linealmente independientes o linealmente dependientes y bueno pues la respuesta es muy sencilla porque si yo veo estos vectores y me fijo en el tercer vector entonces lo voy a dar cuenta que el vector 1 y el vector 2 con cualquier combinación lineal que tenga nunca me va a dar en su tercer componente 7 porque al final date cuenta que cuando yo multiplico una constante por 0 después otra constante por 0 nunca me van a dar 7 de igual manera si te muestro los dos nunca me van a dar en su segunda componente 1 y si todos los 2 nunca me van a dar en su primer componente 2 lo que quiere decir que este es un conjunto de vectores linealmente independientes y son linealmente independientes en r3 recuerda que esto quiere decir que entonces ninguno de estos vectores lo puedo ver como combinación lineal de los otros dos y entonces como se verían sus de vectores gráficamente si yo estuviera en esta ocasión no en el plano sino en r3 este podría ser el primer vector el vector 200 en el eje de las x este de aquí voy a suponer que un segundo vector en el eje de la jez y este va a ser mi tercer vector en el eje de las setas director 007 y si te das cuenta acabo de generar a todo r3 o dicho de otra manera estoy moviéndome en tres dimensiones con estos vectores lo que quiere decir que el espacio vectorial generado por estos tres vectores me va a dar todo r3 el espacio vectorial generado por el conjunto de sus de vectores es todo r3 y bueno espero que hasta aquí me hayas entendido bien porque en el siguiente vídeo lo que quiero ver es una definición más formal de lo que es linealmente independiente y linealmente dependiente y además quiero trabajar contigo muchos más ejemplos de todo esto