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Transcripción del video

vamos a tomarnos un conjunto que contenga un par de vectores 92 para preguntarnos cuál es el espacio vectorial generado por estos dos vectores así que me voy a tomar dos vectores me voy a tomar el sector 23 y también me voy a tomar el vector a a 46 el segundo vector del selector 46 y bueno si yo le quiero preguntar cuál es el espacio vectorial que está generado por estos dos sectores entonces lo que se me ocurre pensar es en una combinación lineal de estos dos sectores por lo tanto voy a poner una combinación lineal de estos vectores y voy a ver a dónde puedo llegar recuerdan que también lo podemos ver cómo cuáles son todos los vectores que podemos representar con estos dos sectores con la combinación lineal de estos dos sectores así que me voy a tomar una constante uno que multiplicar al primer vector al vector 23 más una constante 2 que va a multiplicar el segundo vector es decir al vector 46 y bueno ya te una combinación lineal de estos vectores sin embargo este segundo vector no puedo ver cómo múltiplo del primer vector de hecho este segundo vector es exactamente lo mismo que tomarme dos veces el primer vector entonces dejan escribir lo que multiplica el vector 23 más c 2 que multiplica y este vector lo voy a ver a continuación como dos veces el lector 23 2 por 2 1 42 por tres son seis y estos dos son lo mismo por lo tanto lo voy a escribir como dos veces el vector 23 y substituyó aquí abajo me va a quedarse dos que multiplica a dos veces el vector 23 y bueno si te das cuenta este de aquí es el doble que el primer vector esto es un múltiplo del primer vector por lo tanto yo puedo escribir esto de la siguiente manera esto es ser uno más dos veces c2 todo esto que multiplica el vector 23 pero lo interesante de todo esto es que una constante más dos veces otra constante pues lo mismo que otra constante al final esto es un numerito que no cambia es una constante entonces le puede llamarse 3 que multiplica el vector 23 y entonces en este momento estoy obteniendo un resultado muy importante el resultado es que la combinación lineal de estos dos sectores el sector 23 elector 40 al final me da una sola constante que multiplica a mi director 23 y de igual manera puede haber hecho esto por un medio de este vector pero lo importante es que obtuve uno de los dos vectores como un múltiplo del otro vector y por lo tanto obtengo este resultado y con esto tengo que al final una combinación lineal de dos vectores me da resultado una escala que multiplica a un solo vector y por lo tanto como se ve esto en r2 bueno nosotros sabemos que nosotros tenemos un escalador que multiplica a un vector nos da una línea recta aquí tengo mi vector 23 y si lo multiplicó por cualquier constante entonces tarde o temprano voy a obtener una recta así que vamos a dibujarla ésta va a ser por aquí por aquí también 23 camino 23 para cam y obtengo esta línea recta por lo tanto estoy diciendo que el espacio vectorial generado por estos dos vectores esta línea recta fíjate muy bien desde los primeros vídeos yo analicé que cuando tenía una constante que multiplica un vector obtenía una línea recta no es así y si esta combinación lineal me da al final una constante que multiplica una línea recta entonces puedo decir que el espacio vectorial que me dan estos dos sectores el vector 23 y el vector 46 este conjunto que yo tenía en un principio me da resultado esta recta que yo tengo aquí este es un espacio vectorial generado por estos dos vectores y es que al final darse cuenta que el vector 46 está sobre la misma recta vamos a tomar otro color íbamos a dibujar al vector 46 en su posición estándar tengo que caminar cuatro la derecha y después encaminarse hacia arriba y obtengo este vector anaranjado que estoy dibujando aquí lo que me está diciendo que el vector 23 el doctor 46 son vectores por lineales es decir existen en una misma recta y esto estamos hablando en el plano cartesiano y ahora la pregunta es si están en una línea recta cómo puedo yo a obtener otro vector supongamos este nuevo vector que voy a dibujar dado una combinación lineal de estos dos vectores la respuesta es que no hay forma de obtener este otro vector porque siempre estamos condenados o vectores sobre esta misma línea recta no podemos separarnos de estas líneas rectas y sólo tenemos este conjunto con estos dos sectores nosotros decidimos quedarnos siempre en esta línea directa y es justo por eso que cuando nosotros hicimos una combinación lineal con estos dos sectores al final obtuvimos una constante que multiplicaba a uno de ellos y es aquí cuando voy a introducir una definición muy importante que vamos a ver bastante en este vídeo a estos dos vectores se les conoce como linealmente dependientes y linealmente dependiente significa que uno de los vectores de este conjunto se puede representar con una combinación lineal de los otros vectores de este conjunto o tal vez otra forma de verlo es que estos vectores no nos dan una información nueva o nos dan una nueva dirección al final podemos representar a uno de estos vectores como una combinación línea de los otros vectores y en este caso fue que el vector 46 lo podíamos ver cómo dos veces el vector 23 o inclusive lo podemos ver mucho mejor en r3 si tenemos un vector y otro vector los cuales no son vectores con lineales entonces los que nos van a generar es un plan o un plano en el e3 tengo este plan r3 y si ahora yo me tomo un tercer vector porque estamos en el espacio y este vector está encima de este mismo plano entonces lo que va a pasar lo siguiente no obtenemos una nueva dirección estamos sobre la misma dirección de este mismo plano por lo tanto seguimos trabajando en dos dimensiones en lugar de movernos a una tercera dimensión esto es lo que pasa porque este tercer vector es un vector linealmente dependiente a los otros dos y es que al final este plano que estoy dibujando es el plano que abarcan estos dos vectores o es el espacio editorial que están generando estos vectores esto quiere decir que cualquier lector en este plano no podemos ver como una combinación lineal de estos vectores y por lo tanto si este vector de verde está sobre este plano por lo tanto lo podemos ver como una combinación ideal de estos otros dos vectores que me generaban este plano de amarillo y por lo tanto este vector de verde que estoy dibujando aquí no está aportando nada al paso sería el formado por estos dos sectores es decir no está dando una nueva dimensión ni un nuevo espacio en ninguna manera distinta de moverlos y por lo tanto esto hace que este vector de verde sea linealmente dependiente de estos otros dos vectores que eran a su vez linealmente independientes porque generaban este plan y es que para que estos tres vectores puedan formar algo que no sea un plano algo parecido a r3 y empiezan a generar cosas distintas lo que tenga que pasar es que este vector va a tener que romper este plano romper estas dos dimensiones y moverse en una nueva dirección y si este vector está rompiendo este plano entonces qué decir que está afuera de este plano y ya está fuera de este plan no entonces está fuera de cualquier combinación lineal de estos dos sectores porque me está generando cosas nuevas estoy diciendo que estos tres sectores son linealmente independientes así que déjame dibujarte un par de ejemplos más vamos a tomarnos al vector 23 y vamos a tomarnos también al lector a 72 y también me voy a tomar el tercer vectores cuál va a ser el 95 en un conjunto de tres vectores y bueno lo que quiero saber es si este conjunto de estos tres vectores es linealmente dependiente o es realmente independiente y bueno lo primero que podemos ver es que ninguno de éstos es múltiplo del otro y yo multiplico dos veces por el vector uno por el vector dos nunca menos director tres ni nada así sin embargo si hacemos un poco más de análisis nos vamos a dar cuenta que el vector uno más el vector 2 es el vector 3 y por lo tanto estoy diciendo que el vector 3 lo podemos representar como una combinación lineal del vector 1 y del vector dos por lo tanto podría decir que este conjunto es un conjunto linealmente dependiente porque encontré que el tercer vector lo puede describir como una combinación lineal de estos dos vectores a ver vamos a verlo con más calma en el plano cartesiano estoy aquí trabajando en red hoz y me voy a dibujar el primer vector mi primer vector el vector 23 y después voy a dibujar también el segundo vector para ver si podemos entender mejor lo que se refiere el ine el ente dependiente y linealmente independiente como definición el rector 23 esté aquí está el director uno y después tengo el lector 72 a canal 7 la derecha y estoy más o menos por la cam y dos hacia arriba estoy en este punto de aquí por lo tanto este director que estoy representando con el 72 este sector dos y ahora quiero que te des cuenta que estos dos vectores como si son linealmente independientes entonces su espacio generado por estos dos su espacio vectorial generado por b1 y por b2 es todo r2 es todo el plano cartesiano es decir que cualquier punto en el plano cartesiano lo podemos ver como una combinación lineal de estos dos vectores cualquier sector que yo me tomé y que esté viviendo en r2 lo puedo ver como una combinación lineal de estos vectores así que déjame dibujar del sector el tercer factor va a ser éste de azul que es el vector 95 y este vector 95 está viviendo en r2 y se está viviendo en errados por lo tanto estoy diciendo que lo podemos ver como una combinación lineal tanto debe uno como db2 por el simple hecho de vivir en r2 y si nosotros tenemos que el espacio vectorial generado por b1 b2 c2 entonces como éste vive en r2 no hay de otra se puede ver como una combinación lineal de b1 y b2 y por lo tanto estamos diciendo que el vector 3el linealmente dependiente del sector uno y el sector dos así que vamos a ver otro ejemplo para que siga sentando mejor el conocimiento no voy a tomar en esta ocasión al vector 70 al cual voy a llamar director uno no puede tomar el siguiente víctor el vector 0 - 1 este va a ser un director dos y bueno tal vez vaya a ser un poco obvio que voy a decir pero bueno lo que quiero ver si este conjunto de vectores el 70 y el ser menos uno es un conjunto linealmente dependiente o linealmente independiente y cómo lo puedo saber bueno pues voy a tomar una constante uno que va a multiplicar el vector 1 y voy a ver si puedo generar sector 2 lo único que estoy utilizando es la definición de linealmente dependiente o linealmente independiente si son linealmente independientes entonces no existió una combinación lineal que me dé el otro vector así que pongo sea uno por el primer vector que es el vector 70 y date cuenta que la segunda componente es cero así que cualquier cosa que multiplique por 0 nunca nunca me va a dar menos uno esto quiere decir que el segundo vector nunca lo voy a poder ver cómo el primer factor x un escalar y de igual manera para el segundo vector cuando yo multiplique por una constante en la primera componente nunca me va a quedar nada distinto de cero por lo tanto nunca voy a poner el 7 y por lo tanto se puede decir que el segundo vector x 1 escalar nunca se va a parecer al primer vector y bueno vamos a dibujarlos para ver cómo se ven dos vectores linealmente independientes tengo este vector y este vector ideas cuentan estos dos sectores generan todo el plano canciano el espacio vectorial que generan estos dos sectores estoy dando cantellano así que déjame ponerlo el espacio victoria que genera b1 y b2 es igual a todo r2 a todo el plano cartesiano pues son vectores linealmente independientes ya que no posee que generaban esos tres vectores así que déjame escribirlo el espacio vectorial generado tanto por me uno como por b2 como por b 3 por los tres factores que va a ser bueno si b1 y b2 generaban todo el plano castellano entonces estos tres vectores también van a generar el plan cartesiano porque al final aunque tenemos uno que es combinar su línea de los otros dos es decir era la suma del primer vector más el segundo víctor pakistán aunque tengamos estos 362 me generaban todo el plan local pese a no pues además le generan al vector 3 y por lo tanto me siguen generando estos tres sectores todo el plano calcio o dicho de otra manera todo r2 y es que al final aquí estoy dando tres vectores y estoy dando un poco más de información para que generen r2 sin embargo este vector tres sería como completamente redundante ponerlo porque al final con b 1 y comedor solamente con estos dos vectores generábamos r2 el espacio vectorial generado fue un error de 2 en la versión simplificada del espacio vectorial generado por b1 b2 y b3 es como la forma óptima de verlo es como cuando tenemos un problema con más datos que los datos que necesitamos por lo tanto bueno esta información es redundante y voy a ver un tercer ejemplo esta tercera ejemplo me lo voy a tomar en r3 para que veamos y acabemos este vídeo vamos a tomarnos vectores con tres componentes porque estamos pensando en vectores 93 y 90 minutos siguientes vectores no voy a tomar el vector 200 ese va a ser mi primer vector 200 no voy a tomar como segundo vector el el 010 vamos a tomarnos el 010 y como tercer victoria el 007 el 007 como si fuera agente secreto y bueno ya que tengo esos tres vectores ahora la pregunta es la siguiente el conjunto de estos tres sectores es un conjunto de vectores linealmente independientes con linealmente dependientes y bueno pues la respuesta es muy sencilla porque si yo veo estos vectores y me fijo en el tercer sector entonces no voy a dar cuenta que el vector 1 y el sector dos con cualquier combinación ideal que tenga nunca me va a dar en su tercer componente 7 porque al final date cuenta que cuando yo multiplico la constante por cero y después otra constante por 0 nunca me van a dar 7 de igual manera si nuestros dos nunca me van a dar el segundo componente uno y si tomó otros dos nunca me van a dar en su primer componente todos lo que quiere decir que este es un conjunto de vectores linealmente independientes y son linealmente independientes 93 recuerda que esto quiere decir que entonces ninguno de estos vectores lo puedo ver cómo combinación lineal de los otros dos y entonces cómo se verían sus directores lógicamente si yo estuviera en esta ocasión no en el plano sino en r3 este puede ser mi primer vector director 200 en el eje de las x este declive se supone que un segundo vector en el eje de la jez y este va a ser mi tercer sector en el eje de las setas director 007 y si te das cuenta acabo de generar a todo r3 o dicho de otra manera estoy moviéndome en tres dimensiones con estos vectores lo que quieres kirk el espacio vectorial generado por estos tres vectores me va a dar todo r3 el espacio vectorial generado por el conjunto de sus electores es todo r3 y bueno espero que hasta aquí me ha entendido bien porque en el siguiente vídeo lo que quiero ver es una definición más formal de lo que es realmente independiente linealmente dependiente y además quiero trabajar contigo muchos más ejemplos de todo esto