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Transcripción del video

creo que en el video pasado quedó mucho más claro en la idea de que eran vectores linealmente dependientes y linealmente independientes y en este video lo que quiero ver es una forma un poco más matemática un poco más abstracta o algo un poco más formal una definición más formal de lo que es linealmente dependiente y bueno por ende también lo que es linealmente independiente por lo tanto me voy a tomar un conjunto de vectores no voy a tomar los vectores b1 b2 b3 esta bn este es un conjunto de vectores y bueno yo voy a decir que este conjunto es linealmente dependiente de pendiente si y sólo si pasa lo siguiente y ojos y sólo si es un operador matemático muy importante hay veces que se pueda como un sí con una y demás ya ves que describe como un hábil condicional que esta fecha doble este conjunto de vectores linealmente dependiente sí y sólo sí si pasa lo siguiente si se uno por b uno más de 2 por b2 más todos los demás más cn por bn es igual al vector esto toda esta suma es igual al vector 0 al vector cero por lo tanto voy a poner un cero remarcado en su dado caso el vector ceros a que el vector que tiene todas sus entradas ceros y bueno como no sé en qué dimensión estamos voy a poner un vector con muchos ceros porque al final estoy hablando en forma muy general nos toman los vectores solamente negredo 893 están tomando los rectores en cualquier dimensión y bueno si pasa esto entonces va a pasar esta combinación lineal o en todo caso al revés si pasa esta combinación lineal que nos dé el vector cero entonces vamos a obtener que estos sectores son linealmente dependientes y ojo esto es válido si algunas 6 no son cero es decir que sí existe al menos un ace y alguna constante de todas estas constantes que tengo aquí que no es cero se cumple esto ojo esto quiere decir que al menos una de estas constantes al menos una con una que no sea cero y se cumpla esto entonces va a pasar el sí y sólo sí es realmente dependientes y pasa que esta combinación genial es igual a cero al vector 0 y viceversa y fíjate la importancia de que al menos unas seis sedes interés cero porque si todos fueran cero pues multiplicarlos por un lector me daría claramente el vector 0 y bueno en el video pasado yo les había dicho que un conjunto de factores eran linealmente pendiente si al menos un vector lo podíamos ver cómo combinación lineal de los demás se acuerdan de que no suscribirá esta manera vamos a poner un poco más matemático a yo les dije en el video pasado que si yo tenía un vector no sé vamos a suponer que es el vector b1 vamos a tomarnos el vector de uno recuerda que al final puede ser cualquier lector entonces suponiendo que el vector de uno es aquel que era linealmente dependiente de todos los demás es decir se veía de las formas vamos a cambiar de constantes aa1 por b 2 no no es no poner esto mejor a dos por b2 más a tres por b tres más todos los demás hasta aa n por b en es decir veíamos que un vector era linealmente pendiente si existía una combinación lineal de todos estos vectores que precisamente nos daban este vector esto es lo que habíamos visto en el vídeo pasado se acuerdan bueno déjeme ver si realmente esta definición es congruente con lo que acabamos de decir es decir es congruente con éste sí solos y si yo encuentro una combinación ideal de todos estos vectores que se iguala 0 y que alguna de estas constantes sea distinta es cero entonces se acabe y bueno lo primero que voy a hacer es pasar de uno del otro lado lo voy a pasar con signo negativo entonces me queda el vector cero es igual a menos uno por b uno más a dos por b2 más a 393 más más a n por bn y lo único que hizo fue pasar al vector de uno del otro lado con signo contrario o dicho de otra manera x - un pero fíjate qué bonito porque ya encontramos que el vector de uno al menos este vector esta x una constante que no es cero porque la constante que están multiplicando de uno es este menos uno por lo tanto fíjate la definición que tengo aquí a la derecha tengo que encontrar una combinación lineal de todos estos vectores que me dé el vector cero y que al menos uno con una de esas constantes que está multiplicando sus vectores sea distinta es cero por lo tanto es linealmente dependiente que crees encontré una que es distinta de cero cual - 1 - 1 está multiplicando b1 y nos da el vector cero por lo tanto estamos dándonos cuenta que si en efecto la forma en la que veíamos linealmente dependiente en el video pasado es congruente con esto que estoy diciendo y bueno ahora qué va a pasar al revés y yo tengo este de aquí y quiero llegar a lo que vimos en el video pasado a que uno de los vectores se puede describir como combinación los demás y ojo estoy suponiendo que al menos una de estas constantes es distinta de cero por lo tanto sin pérdida de generalidad voy a tomarme que la primera constante es distinta el cero es decir vamos a suponer que se uno es distinta de cero y bueno a continuación las lluvias es dividir todo en 13 1 y como sea uno distinto de cero no pasa nada y si puede encontrar esta división entonces me quedaba uno más se dos en 13 1 por b2 más +2 estos más se enlentece uno es igual a cero y bueno si ya dividir todo en 13 1 lo que voy a hacer a continuación es pasar el de uno del otro lado de esta igualdad lo voy a pasar con signo contrario estas me quedase dos en 13 1 por b2 más más todos estos más en en 13 1 por bn no faltó el bn aquí arriba está olvidando este belén y bueno esto va a ser igual a menos de uno porque estoy pasando al director de uno del otro lado y bueno si yo lo que quiero es que este sector sea positivo entonces voy a multiplicar todo por menos y me quedan menos de dos en 13 1 por b 2 - - - - - - en el 13 1 por ben es igual a b1 positivo y que creen ya encontré una combinación lineal de estos vectores que me da el otro lector es decir de b2 b3 b4 hasta bn que me dan el vector b1 que era justo lo que veíamos en el video pasado por lo tanto esto quiere decir que también es congruente con lo que vimos en el video pasado entonces vamos a ver algunos ejemplos de todo esto que acabamos de ver sobre todo esta forma de encontrar una combinación lineal de todos los vectores con alguna de estas seis que sea distinta de cero que sea igual al vector 0 para probar si el conjunto de vectores linealmente independiente o en su lado caso linealmente dependiente vamos a ver si encontramos todas estas constantes y alguna que no sea cero entonces vamos a tomarnos el siguiente ejemplo me voy a tomar el conjunto de vectores el conjunto de vectores 2 1 y después voy a tomar el siguiente vector el vector 32 y bueno este conjunto de vectores que es de dos vectores quiero saber si realmente dependiente o linealmente independiente y pues bueno para resolver esta pregunta vamos a utilizar lo que ya aprendimos lo que acá vamos a ver vamos a tomarnos una combinación lineal de estos dos vectores ya esto vamos a igualarlo al vector 0 y éstos para fijarnos en qué es lo que va a pasar con las constantes por lo tanto tengo que se uno por el lector 21 más de 2 por el vector 32 tiene que ser igual a cero y bueno esto es para ver si son linealmente independientes o linealmente independientes y bueno vamos a ver cuáles cada caso si yo tuviera que se 111 2 es distinto de cero es decir no es cero entonces va a implicar que es un sistema dependiente recuerdas justo esta fue la definición que vivimos ahí arriba y c1-c2 era distinto de cero entonces el sistema dependiente y date cuenta que es el otro caso sí se 112 290 pues el otro caso no queda que se 1 y c 2 ambos sean igual a cero entonces me queda que es un sistema independiente y bueno cómo voy a saber esto es lo que quiero que veas es que aquí tengo una constante que multiplican víctor más otra constante que multiplica otro vector igualados al vector 0 eso quiere decir que pueda igualar componente por componente la componente x de la suma de los vectores igual al componente que es el vector 0 y la componente ya también dos veces sea uno más tres veces dos es el vector se recuerda que es el vector cuyas entradas son cero y cero por lo tanto lo que daría dos veces sea uno más tres veces dos esto tiene que ser igual a cero esto es lo que debe pasar para que se cumpla la pena componente y en la segunda componente me queda que una vez eeuu no es decir se uno más dos veces e 2 tiene que ser igual también a 0 y ya con esto llevó a un sistema de ecuaciones de los que ya conocemos energía personas sistema de ecuaciones de dos por dos muy sencillo de realizar y esto lo podemos resolver utilizando nuestro conocimiento de ayora por lo tanto lo que voy a ser multiplicada la ecuación uno por un medio y no va a quedar se uno más tres medios desde 2 que estoy divirtiendo toda esta ecuación entre dos es igual a cero entre dos que es 0 ya continuación lo que voy a hacer es respetar la ecuación 2 a esta ecuación de ver de nuevo a quedarse a uno menos aún no se cancelan dos veces e 2 - tres medios de ese 2 esto es lo mismo que un medio de ese 2 y 0 - 0 me queda a cero y de aquí obtengo que se dos es igual a cero yo tuve que la primera constantes igual a cero cuando más de uno bueno yo pongo aquí cero eso se cancela esto se va a hacer y me queda que sea uno más pero es igual a cero idea que obtengo que se 1 también en cero y que crees ya encontré mi valor de mis dos constantes y este valor es único cuando c 2 y c 1 es igual a cero se cumple este sistema de ecuaciones y por lo tanto se cumple esta igualdad y entonces lo que significa que si se 1 y c 2 ambas son cero es que mi sistema tiene solamente vectores linealmente independientes y bueno recuerda que si tenemos un conjunto conventual y finalmente independientes entonces cuál era el espacio vectorial generado por los vectores que son realmente independientes pues claro el espacio vectorial generado por dos vectores linealmente independientes en el caso de dos es r2 es decir el plan cartesiano por lo tanto lo voy a poner aquí el espacio victoria el generado por estos dos sectores r2 y bueno todo esto utilizando lo que acabamos de aprender utilizando que si tenemos una combinación lineal de dos vectores igual a cero no tenemos que aplicar en las constantes para saber si es el sistema independiente o dependientes y que dejemos dar otro ejemplo y para esto voy a necesitar un poco de espacio por lo tanto voy a mover ni pantalla hasta acá arriba y ahora lo voy a mover un poco hacia la derecha y ya quedó mucho mejor perfecto voy a tomarme en esta ocasión un conjunto de tres vectores mis tres vectores van a ser los siguientes van a ser el vector 21 también me voy a tomar el vector 32 y también me voy a tomar por último el vector 12 y bueno lo que quiero saber es lo mismo si estos tres sectores linealmente dependientes o independientes y bueno para esto lo que voy a hacer es utilizar lo que ya vimos lo que acabamos de ver es decir voy a buscar una combinación lineal de sus tres vectores que me den el vector 0 para fijarme en las correspondientes constantes y ver si son otto 20 o al menos una distinta es cero por lo tanto déjame ponerlo c1 que multiplica el vector 21 más de dos que multiplica el vector 32 más de 3 x 1 2 esto tiene que ser igual al vector 00 date cuenta que seguimos con vectores en r2 bueno esto es lo que sea en un primer paso en un segundo paso es plantear el sistema de ecuaciones correspondiente a esta igualdad por lo tanto que me va a quedar tengo dos veces se uno porque soy multiplicando la primera componente de mi primer rector por la primera constante en 2000 quedaría 2b c 1 y después tuvo que multiplicar tres veces de dos porque están multiplicando la primera componente de mi segundo víctor por mi constante en todos me queda tres veces dos ya esto lo voy a agregarse 3 iba a ser igual a primer componente del tercero que es cero y después voy a hacer lo mismo para la segunda componen teme quedarse uno más dos veces dos más dos veces se 3 éste tiene que ser igual a la segunda componente del vector 00 que es ser y ahora tengo un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas y bueno de una vez adelantó si yo tengo tres vectores en r2 el sistema es siempre dependiente y es que al final darse cuenta de esto si supongamos que dos de estos vectores generan el plano cartesiano entonces el otro vector existe también en el plano cartesiano pues es un vector también en r2 y por lo tanto como existe en el plano cartesiano entonces se va a poder escribir como una combinación lineal de los otros vectores esto suponiendo que dos de ellos sean linealmente independientes porque si los tres fueran realmente dependientes porque acabamos son linealmente dependientes y formarían una línea entonces si te das cuenta que tengo tres vectores y ya la respuesta sería que tenemos un conjunto con unos vectores linealmente dependientes y van a generar todo r2 así que déjame escribirlos y tenemos tres vectores en r2 son linealmente dependientes pero de todas maneras aunque tengo aquí las dos ecuaciones con tres incógnitas voy a intentar resolverlo para que te des cuenta que en efecto pasa lo siguiente como tengo tres incógnitas voy a fijar a una de estas incógnitas y voy a suponer que ese 3 le voy a dar el valor de -1 voy a poner que se 3 es igual a menos uno para que yo tenga un sistema de cuestiones con solamente dos incógnitas y dos ecuaciones por lo tanto tenga solución entonces que me quedaría si se 3 vale menos uno bueno date cuenta que al sustituir hace tres por -1 voy a obtener un sistema de ecuaciones con dos incógnitas y dos ecuaciones por lo tanto debe de tener solución y ojos y tomando un valor para el c3 arbitrario puedo tomar cualquier valor base tres pues este sistema tiene tres incógnitas dos veces sea uno más tres veces e dos menos de tres pero ese 3 - 1 esto va a ser igual a cero y por otro lado tengo que se uno más dos veces de dos y aquí es dos veces en tres es decir menos dos es igual a cero y bueno ya tengo un sistema de ecuaciones con 25 bonitas y dos ecuaciones y por lo tanto voy a intentar resolverlo me parece que a esta ecuación a la ecuación número dos la voy a multiplicar por dos entonces me queda 2b c 14 bs 2 y -4 igual a cero voy a restar la primera cuestión a la segunda cuestión que me va a quedar me quedan 12 1 - 12 1 se cancelan semana después 13 2 - 4 c 2 no quedarían menos de dos y después 1 - 1 - - 4 maqueda 3 positivo menos uno más 4 maqueda 3 positivo y esto es igual a cero si estamos bien abeja mezclar tres menos 4 y menos de dos y después uno menos -4 me queda uno más cuatro lo cual estrés positivo y bueno de aquí voy a despejar hace dos por lo tanto lo que voy a hacer es pasar a voy a pasar el 3 del otro lado iba a pasar con signo contrario me queda que menos de dos es igual a menos tres componentes - c 2 va a ser igual a menos tres y como tengo dos negativos los voy a convertir en positivos al mismo tiempo y me queda que se dos es igual a tres y ya tengo hace dos pues entonces lo único que falta es sacar a c1 entonces qué va a pasar si la segunda pasión lo sustituyó a c2 y c3 y entonces me va a quedar dos por 13 6 -2 2 por menos unos -2 esto es igual a cero y aquí obtengo que sea uno más cuatro igual a cero y se uno es igual a menos cuatro y ya tengo mis tres constantes c3 es igual al menos 101 es igual al menos 462 es igual a tres y al menos una siestita de cero por lo tanto no está diciendo que existe más dependiente y además cumple que si yo multiplico sea uno por el primer rector es decir menos cuatro por el primer rector que es 21 más c 2 que estrés que multiplica el lector 32 ya esto le quitó menos una vez el vector 12 tiene que ser igual al vector 00 y vamos a comprobar que sí es cierto - cuatro por 268 menos ocho más 9 - 1 - ocho más 9 -1 esos 60 y después -4 a -4 le voy a sumar 6 y después voy a quitar dos y me queda también 0 esto también es correcto entonces se nota claramente que si en efecto estas constantes hacen que obtenga una combinación lineal con esos tres vectores que sea igual al vector 0 y estas tres constantes son distintas de cero por lo tanto me está diciendo que mi sistema es de vectores linealmente dependientes y bueno esto ya lo sabíamos aunque dejan escribir lo está diciendo que el conjunto de vectores que tengo aquí son vectores linealmente dependientes y bueno esto es redundante ya lo sabíamos pues sabíamos que este conjunto tiene tres vectores y por lo tanto debe de existir alguno que sea linealmente pendiente de los otros dos pero escogieron el que realmente finalmente pendiente de nosotros no es tan fácil no es la manzana podrida en el monto no todas son iguales podrá ser este oeste al final podría pasar que cualquiera dos que tomemos sean linealmente independientes pero bueno espero que les encontrado bastante utilidad a esto que acabamos de ver porque en el siguiente vídeo voy a ver más ejemplos de esto así como del espacio victoria que generan varios vectores