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Espacios vectoriales generados y ejemplos de independencia lineal

Transcripción del video

aquí tengo a estos tres sectores que viven en el e3 que viven en el espacio y lo que quiero hacer con el conjunto y contiene estos tres vectores es probar lo mismo que ya hemos visto en los vídeos pasados es decir lo que quiero hacer es aplicar todo lo que hemos aprendido en los dos pasados a este conjunto de tres vectores y bueno las preguntas que nos hacíamos más usualmente cuando tenemos un conjunto de tres vectores o de electores en rcn era saber si estos vectores en primer lugar qué espacio vectorial generaban eso era muy importante saber si espacio vectorial era r3 en este caso fíjate que como tenemos tres componentes espacio generado si fueran linealmente independiente sería de tres pero bueno es lo que nos queremos preguntar y además nos preguntábamos si estos vectores eran linealmente independientes linealmente dependientes linealmente independientes o dependientes bueno pues y bueno yo sé que me vas a decir que la segunda pregunta responde sin problemas la primera pregunta sin embargo siempre que pensemos en dependencia o independencia lineal es muy bueno hacernos estas dos preguntas ya sea por separado o juntas y tratar de resolverlas bueno vamos a ver qué onda con estos vectores y son linealmente independientes o linealmente dependientes entonces no voy a tomar una combinación lineal de esos vectores y va a ser ésta sea uno que multiplica el primer vector más c2 que va a multiplicar el segundo víctor el segundo vector es el 213 más de tres que va a multiplicar al ser víctor que es el menos 102 y bueno yo voy a ver si esta combinación ideal que yo tengo aquí me da cualquier lector recuerda que en el video pasado vimos que si nosotros igual la vamos al vector 0 nos damos cuenta si eres linealmente dependientes linealmente independiente sin embargo en esta ocasión me voy a querer tomar cualquier lector para ver si dado cualquier vector en 937 tiene tres componentes dado cualquier vector en el 3 lo puedo escribir como una combinación lineal de todos los demás es exactamente lo mismo que lo que vimos en el video pasado sin embargo en esta ocasión yo lo que quiero es tomarme a un vector a un vector cualquiera 93 y ver si lo puedo generar no voy a ver como un poco más general y bueno lo que hemos aprendido es que si tenemos una constante fue a don víctor la constante multiplica a cada una de las entradas de este vector por lo tanto vamos a poner esa constante que adentro c1 c1 c1 y después tengo otra constante que multiplica otro vector entonces voy a meterse 2 multiplicando a cada una de las entradas del segundo vector y de manera análoga para c 3 voy a ponerse 3 a esta constante multiplicando a cada una de las entradas del lector 3 y bueno ya eso se ve mucho más tranquilo porque ya podemos encontrar aquí nuestro sistema de pensiones tenemos tres incógnitas 3 ecuaciones y entonces vamos a escribirla 2003 vectores primero me voy a fijar en la primer componente o la componente x y me queda que se 11 por según el tse uno más dos veces e 2 - 1 por 0 3 que ese 3 esto es igual a esto está en primer lugar esta será mi primera actuación con y componente x ahora vamos a fijarnos en mi segunda componente en el componente íbamos a hacer su respectiva igualdad quedaría que menos se 1 y a esto le agregó c2 y después me queda más 0 se 30 0 por lo que sea es cero entonces no se cancela es igual a b ya tengo mi segunda ecuación que sale de la segunda componente y ahora me voy a fijar en mi tercer componente y que da dos veces se uno más tres veces de dos ya esto hay que agregar dos veces se tres más dos veces en tres esto tiene que ser igual hace y si te das cuenta aquí ya tengo tres ecuaciones y tres incógnitas y yo lo que quiero saber es el valor para hacer uno para el c2 y para la c 3 por lo tanto lo único que tengo que resolver es este sistema de ecuaciones y te das cuenta en la posición número dos no parece 3 pero a mí lo que me ocurre es tomar la ecuación número uno y la cuestión número 2 e intentar cancelarse uno porque según no se cancela luego luego aquí tengo a menos de 1 arriba tengo hace uno y después pueda operar con la ecuación 12 con la ecuación 3 y también cancelará hace uno al final lo que quiero que veas es que voy a utilizar el método de eliminación o de su me resta para yo poder obtener los valores de c1 c2 y c3 así que bueno fundemos la ecuación número uno y la ecuación número dos de estas dos que me va a quedar si hago suma directa de estas dos me queda que se 1 - eeuu no se cancelan y no me queda nada después me queda 12 2 más de dos mil quedan tres veces c2 y después tengo menos de 3 +0 pues es menos de 3 aquí no hay ningún problema entonces me queda menos c3 y después me queda a más bien esto es igual a más veo además a estoy sumando estas situaciones entonces me queda de masa y bueno ya tengo una ecuación que solamente tiene hace dos y hace tres por lo tanto tengo que encontrar otra ecuación que solamente tenga sed o 73 yo voy a poner acá arriba la primera actuación para que nos vayamos perdiendo con ello me quedase uno más dos veces e 2 - c 3 igual a esta ecuación la primera me va a servir para despejar el final de c-1 y bueno ahora voy a ocupar la tercera actuación y la primera ecuación y voy a cancelar también hace uno para que me quede me según la ecuación que tenga que ver solamente con c2 y con c 3 por lo tanto voy a multiplicar por -2 la ecuación de arriba y me va a quedar menos dos que van a multiplicarse uno me queda menos 12 1 esto es con la idea otra vez de cancelar hace uno y después me quedan menos 462 aquí se vuelve positivo porque es menos por menos me da más más dos veces en tres y recuerda que hay que multiplicar toda la ecuación también hay que multiplicar el lado derecho y me quedaría menos dos veces a y bueno ahora lo que voy a hacer para cancelar hace uno es sumarle cuestión número uno esta ecuación modificada con la ecuación número 3 entonces que voy a obtener me quedan menos 12 1 + 12 1 esto se cancela por lo tanto no se pone nada después me queda tres veces de 2 - 4 c 2 es lo mismo que menos de dos o menos cuatro cd doramas 13-12 lo mismo que menos de dos y después ha quedado dos veces de tres más dos veces en tres esto es lo mismo que cuatro veces c3 entonces menos de dos más cuatro veces se 3 esto es igual a menos 2 a 1 - 2 a maze entonces éstos igual hace menos 2 a 0 - 2 a estas cuentas ya tengo otra ecuación la cual tiene que ver solamente con c2 y c3 ya elimine mi primera incógnita y ahora es un sistema de dos por dos así que déjame la pantalla un poco más hacia la derecha para que se vea bien lo que voy a hacer me queda que la primera actuación era hace uno más dos veces se dos menos de 3 igual a amd esta cuestión me va a servir al final después no va a quedar que tres veces de dos menos de tres es igual a ve más am establece una ecuación tres veces e 2 - se 3 es igual a la de massa y ya no tengo espacio entonces déjame poner la pantalla más hacia la derecha para que quede mucho espacio muy bien y ahora estas dos situaciones voy a cancelar hace dos si te das cuenta aquí tengo a c2 negativo por lo tanto si yo multiplico esta segunda actuación por tres solamente por tres se va a cancelar c2 cuando yo lo asume con la primera y que no va a quedar bueno voy a multiplicar por tres la segunda cuestión y que voy a obtener me queda tres por menos de 2 es lo mismo que menos tres veces e 2 con tres veces dos se va a cancelar entonces vamos bien aunque y déjeme poner aquí el 3 a 2 escribo me parece bien que vaya cancelando una por una y vamos a ver qué es lo que me resulta después maqueda 3 x 4 12 12 - uno es lo mismo que 11 3 entonces esto es 11 3 vamos a ver si lo hice bien cuatro por tres son 12 12 menos 111 3 perfecto y después me va a quedar 3 porsche -2 a deja mejor escribir la sim ésta se cancela aquí me queda 12s 3 - una 11 3 11 3 y después tengo a 3 porsche -2 a es lo mismo que 13 - seis a lo voy a escribir todo el recorrido y ahorita lo simplificamos me queda 13 - 6 am y arriba tengo de masa entonces más vez más a después vamos a operar con lajas es menos 6 a y a esto hay que sumarle de massa es decir la ecuación de arriba pero antes de simplificarlas haz lo que quieras que te des cuenta es que voy atrás el valor de ese 3 si yo tengo el valor de ese tres por lo tanto lo puede sustituir en la segunda actuación y entonces voy a obtener el valor de ese 2 y ya con el valor de ese 2 y ds3 voy a poder sustituir en la ecuación número uno y así obtener el valor de ese uno también tras eso es lo que voy y bueno aquí en reducir las tasas como te vea dicho -6 a más a mí me queda menos 5 am y ya obtengo que once veces se 3 es lo mismo que 13 - cinco a más bien entonces déjame darte el valor de ese 3 ya despejada c3 es igual a un onceavo voy a pasar dividiendo el once entonces me queda un onceavo que multiplica a 3 cm menos 5 am y ya tenemos hace tres ya tenemos un paso de aquí porque ya tenemos el valor de 3 si nosotros lo que queremos es también saberse dos pues lo único que hay que hacer es despejar hace dos de esta ecuación porque ya tenemos el valor de 3 y de hecho nos quedaría que tres veces de dos es igual a ve más a más c 3 el valor de ese 3 que acabó de encontrar o dicho de otra manera si lo que quiero saber es el valor de 62 completamente despejado entonces me va a quedar que se dos es igual a un tercio estoy pasando dividiendo el 3 que multiplica ave más a más se 3 ok ya tengo el valor de ese 2 ya tengo el valor de 3 por lo tanto ya puedo saber el valor de ese 1 dada la primera actuación por eso las escribió aquí arriba si yo paso del otro lado hace tres y a 12 2 entonces voy a obtener valor de 1 c uno es igual a amd ya esto le voy a quitar menos dos veces e 2 y después voy a agregarle s3 lo único que hice fue despejarse 1 de la primera actuación y ya por fin obtuvo el valor de ese 3 6 2 y c 1 y entonces estoy diciendo que para cualquier a b y c dado cualquier sector que tenga tres componentes que sean a b y c yo voy a obtener el valor de ese 3 6 2 y c 1 y recuerda que la más importante aquí es no equivocarnos y creo que me equivoqué yo siento que hay algo raro aquí o claro ya ha habido no están error si te das cuenta c3 es igual a 1 xiabo de tres veces se -5 a ya esto hay que agregarle aquí estaba la ve que me falta te das cuenta entonces a esta vez no la puse está de kim entonces adentro del paréntesis de mi solución ds3 le tengo que agregar esta vez ya sabía yo que por aquí algo me han llamado aquí está más verde y entonces ya tengo por fin ahora si bien el valor de 3 y bueno ya que estamos en esto de gm casi las otras dos constantes también se dos es igual a un tercio debe más a más de 3 lo único que hice fue despejada c2 aquí está hace tres que ya la corregí hice unos y ya tengo este 3 entonces dejen de verse dos estaba bien un tercio debe más a más de tres estrellas en la ecuación de carriba y entonces s2 también está bien y 6 c 2 también está bien entonces se uno es igual a am - dos veces e 2c 3 esto por la ecuación número uno por lo tanto también está bien muy bien y ya tengo a mis tres constantes escritas en términos de a b y c esto quiere decir que dado cualquier víctor n 3 cualquier lector que tenga como componentes a b y c yo te voy a poder dar una c 1 1 hace dos y una c 3 tal es que al hacer una combinación lineal como inspectores pueda obtener ese vector lo que quiere decir que el espacio generado por esos tres factores por este conjunto es re 3 y ya tengo la respuesta a mi primera pregunta ahora estos vectores son realmente independientes y esta es la pregunta que quiero responder a continuación ya sé que el espacio vectorial generado por estos tres sectores es r3 pero ahora para probar si son realmente independientes o dependientes lo que voy a hacer es tomar una combinación lineal de estos tres vectores otra vez con seguros de 12 3 pero utilizando la información que viene el video pasado voy a igualado al vector 0 la idea es que igualando esta combinación lineal al vector 0 me voy a dar cuenta si los vectores van linealmente independientes o linealmente dependientes recuerdan en el video pasado vimos que esto pasaba si y sólo si el tercero y además pedimos la restricción muy importante la restricción que pedíamos era la siguiente nos vamos a fijar en las constantes y si la única forma de obtener esta combinación lineal es que las constantes sean todas cero es decir se 1 y c 2 y c 3 al mismo tiempo sean iguales y sean igual a cero entonces quiere decir que el conjunto tenía vectores linealmente independientes se acuerdan y por lo tanto obtenía tres dimensiones esto es si eran linealmente independientes y que dejan escribirlo para que no se nos olvide tras lo que vamos dice uno y c2 y c3 son iguales es decir se uno igual hace dos igual hace tres y además son iguales a cero entonces esto implicaba que el vector eran realmente independiente éste es un sí solos y selector fuera dependiente lo que nos íbamos a encontrar es que al menos una de estas constantes ya se hace unos de 212 3 tenía que ser distinta de cero con unam me bastaba para decir que el sistema era linealmente dependiente pero bueno este vector 0 es lo mismo que tener tres componentes la componente a b y c y nosotros generamos unas igualdades de c1 c2 y c3 que dependen de a a bbb y desee por lo tanto vamos a sustituir el valor de abc que en este caso cero en cada una de mis ecuaciones que yo tengo aquí tengo que ese 3 es igual a un onceavo que multiplica a 3 x 0 - 5 por 0 +0 puesto 0 + 0 + 0 y al final un onceavo por cero me da que se 3 también a cero entonces t3 también el 0 0 - 0 +0 pronuncia boesch 0 ahora vamos a aplicarnos el c 2 700 bs 0 y un tercio por cero me va a dar también que se 12-0 y vamos a aplicarnos el c130 c2 también a 0 a también es cero entonces me queda que se uno pues es igual a cero también y te das cuenta estoy obteniendo que mis tres constantes tanto c1 c2 c3 son igual a cero cuando se cumple esta combinación neal la única solución de esta combinación ideal es que mis tres constantes sean cero cuando yo quiero que el primer vector porsche uno más el segundo vector porsche dos más el tercer factor x 3 sea igual al vector 0 tiene que cumplir que forzosamente c1 c2 y c3 sean las 30 lo que implica que el sistema o que este conjunto tiene puros vectores linealmente independientes recuerdan en el video pasado habíamos visto que si pasaba que las tres constantes sean iguales entonces me conjunto tenía vectores linealmente independientes o recuerdan otra forma de verlo es que ninguno de estos tres sectores se puede ver como una combinación lineal de los otros dos y entonces tengo tres vectores que su espacio vectorial generado cierre 3 y que son linealmente independientes y bueno tal vez esta información sea un poco más obvia porque al final lo que te quería contener los siguientes y tenemos tres vectores y son linealmente independientes pues es muy claro que van a generar a todo r3 o dicho de otra manera si tenemos tres vectores y su espacio generado es r3 entonces tienen que ser linealmente independientes porque al final cada uno de ellos está agregando una nueva dirección pues imagínate que uno de ellos supongamos el tercero no fuera linealmente independiente de los otros dos es decir se puede ver como una combinación lineal de los otros dos esto quiere decir que entonces vive en el espacio vectorial generado por los otros dos vectores que al final sí tenemos dos sectores que son linealmente independientes entonces su espacio vectorial generado es un plano te acuerdas que sólo vimos en los videos pasados por lo tanto este tercer sector tendría que existir en ese plano y por lo tanto no podrían generar como espacio vectorial a r3 recuerda que si tenemos tres vectores que son realmente independientes cada uno de ellos da una nueva dirección tal vez no sea forzosamente ortogonales pero puede ser que un vector se ve así el otro se ve así y el otro se vea por la cam y entonces generen tarde o temprano todo bebé 3 nos vemos en el siguiente vídeo