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Resolver un sistema de 3 ecuaciones y 4 variables mediante la forma de la matriz escalonada

Transcripción del video

tenemos aquí tres ecuaciones y cuatro incógnitas o sea cuatro variables desconocidas y en esos casos siempre que tenemos menos ecuaciones que incógnitas seguramente ya lo sabes o te lo puedes imaginar nuestro sistema de ecuaciones no tiene una solución única no estamos restringiendo a nuestras variables desconocidas lo suficiente como para que un solo punto sea la solución aquí lo que tenemos son 1234 variables por lo tanto las soluciones van a estar entre 4 y pues como tenemos menos ecuaciones que variables desconocidas entonces nuestra solución va a ser digamos no sé un plano que no abarca en su totalidad ar4 pero tampoco es un punto y por ejemplo si tuviéramos tres variables desconocidas el número de cuatro y tuviéramos nada más dos ecuaciones en lugar de tres la solución sería una línea recta que si es más restringido que un plano pero de todas formas tiene una infinidad de puntos en ella entonces hay una infinidad de soluciones y bueno hemos resuelto ya varias veces estos sistemas de ecuaciones utilizando un método de eliminación pero lo que quiero hacer en este vídeo es utilizar matrices las matrices lo que son realmente es nada más un arreglo de números y pues son mucho más sencillas son más fáciles de escribir escribe uno menos cosas y todo sale mucho más rápido con ellas lo que vamos a hacer es tomar los coeficientes de las variables entonces vamos a crear la matriz de coeficientes de estas ecuaciones bueno del lado izquierdo del igual de estas ecuaciones y entonces en la primera columna lo que vamos a hacer es escribir los coeficientes de la variable x 1 y en la primera fila lo que vamos a hacer es escribir los coeficientes de la primera ecuación entonces aquí en este lugar va este coeficiente que es un 1 aquí va uno y aquí va a 12 ahora aquí va a 12 12 y después un 4 y por acá va un 1 que es el coeficiente de la variable x 3 en la primera ecuación después va a 12 que es este coeficiente pero a ahora el coeficiente de la variable x 3 en la tercera ecuación es cero porque aquí no aparece en ningún lado de la ecuación x 3 o sea que el coeficiente de x3 es cero y aquí va a un 1 aquí va un -1 porque la variable x4 se está restando menos 1 y por acá va un 6 entonces esta es la matriz de coeficientes de este sistema de ecuaciones pero además quiero hacer una matriz aumentada o sea que aquí lo vamos a poner en lugar de cerrar el paréntesis de la matriz vamos a poner una línea y de hecho vamos a usar otro color y de este lado lo que vamos a poner es lo que hay del lado derecho del igual de las ecuaciones o sea aquí en la primera ecuación tenemos un 7 y después tenemos un 12 y un 4 y la parte padre de usar estas matrices en lugar de los sistemas de ecuaciones tal cual es que aquí ya no tenemos que escribir un millón de veces para en este caso son tres veces x 1 x 1 x1 y x2 y x 4 y todo eso pero pues esta es una representación de estas ecuaciones entonces lo que podemos hacer es por ejemplo a esta fila la podemos multiplicar por un escalar al igual que podíamos multiplicar esta ecuación por un escalar y también podemos agarrar una fila y restar sela a la de arriba y tomar una fila y reemplazarla por esa fila por una constante más cualquier otra de las filas entonces pues vamos a usar esta representación de las ecuaciones para resolverlo y encontrar la solución y bueno lo que hacíamos principalmente cuando estábamos con estas ecuaciones es tratar de dejar una variable solita es tratar de dejar un 1 aquí y que en el resto de la columna hay apuro ceros o sea tratar de dejar que la primera entrada de la ecuación en lugar de un 2 y hacer que en el resto de la columna haya puro ceros y bueno a esa forma de la matriz le llamamos convencionalmente forma escalonada reducida por filas forma escalonada reducida por filas y si por ejemplo esta matriz es la matriz a lo que queremos hacer es transformar esta matriz a su forma escalonada reducida por filas porque así es mucho más fácil encontrar las soluciones a este sistema y bueno la convención general es que las matrices las denotamos por letras mayúsculas la diferencia de los vectores que los denotamos por letras minúsculas más adelante en algunos otros vídeos vamos a ver cuál es la relación entre las matrices y los vectores pero por el momento vamos a ver cómo se transforman estas matrices a su forma escalonada reducida por filas entonces ya que tenemos un uno aquí vamos a empezar por hacer que el resto de las entradas de esta columna de esta cosa sean cero así es que esta fila esta cosa la vamos a dejar exactamente igual entonces aquí tenemos un 1 2 1 después tenemos 7 y para hacer que esta cosa sea un 0 vamos a reemplazar esta fila esta cosa por la primera fila menos esta fila ok entonces tenemos 1 - 1 0 2 - 2 0 1 2 - 1 - 11 - menos 1 eso es uno más uno o sea 2 7 - 12 eso es menos 5 y ya conseguimos que en este lugar haya un 0 y usamos puras operaciones que pudimos haber hecho con este sistema de ecuaciones o sea lo que hicimos fue reemplazar esta ecuación por la ecuación que resulta de a esta ecuación restarle esta ecuación y eso siempre lo pudimos hacer para resolver este sistema de ecuaciones entonces bueno vamos ahora a hacer que esta entrada se vuelva a cero y para hacer eso lo que vamos a hacer es a esta ecuación restarle dos veces esta ecuación aunque entonces dos menos dos por uno eso es cero que es justo lo que queremos hacer después cuatro menos dos por dos o sea cuatro menos cuatro eso también es cero y 0 - 2 x 1 esto es 0 - 2 o sea menos 2 menos 2 por 1 6 menos 2 eso es 4 y ahora 4 menos 2 por 7 2 por 7 son 14 4 - 14 eso es menos 10 y aquí nos quedaron muchos ceros más adelante vamos a ver qué significa eso de que aquí en toda esta columna nos hayan quedado puros ceros pero si aquí nos hubiera quedado cualquier otro número cualquier otro real lo que habríamos hecho sería multiplicar esta ecuación por 1 entre este número para que nos quedara un 1 por acá y después haríamos que esta entrada se volviera a 0 cosa que pues realmente no tendríamos que hacer nada porque está allá de cero ahora ya que no tenemos ninguna entrada en esta columna que sea distinta de cero pues nos tenemos que mover a la siguiente columna y aquí ya tenemos algo distinto de cero que queremos convertir en un 1 entonces para que esto se vuelva un 1 nada más tenemos que multiplicar todas y la por un -1 y para hacerlo pues no tenemos que volver a escribir toda la matriz ósea podemos simplemente aquí ponerle esto para que sea menos por menos da más aquí ya tenemos el 1 que estábamos buscando aquí el 2 lo multiplicamos por menos uno y nos queda menos dos y aquí el menos cinco lo multiplicamos por menos uno y nos queda más cinco y ahora si queremos hacer que todas las entradas de esta columna sean cero y para eso sí tenemos que volver a escribir la matriz entonces vamos a volver a escribir nuestra matriz aumentada pero ahora haciendo que esta entrada se vuelva cero y ésta también así es que esta matriz es igual vamos a dejar esta fila tal cual como está entonces tenemos aquí un cero otro cero luego un 1 luego un -2 y la matriz está aumentada y aquí tenemos del otro lado del igual un 5 ahora como aquí tenemos un -2 y aquí tenemos un 1 lo que podemos hacer para que esto se vuelva 0 es a esta ecuación sumarle dos veces esta ecuación y eso es lo que vamos a hacer así es que tenemos cero más dos veces cero igual aquí y menos dos más dos por uno eso es menos dos más dos o sea 0 que es justo lo que estábamos buscando y ahora cuatro más dos por menos dos o sea cuatro menos cuatro eso nos da cero y finalmente menos diez más dos por cinco o sea diez menos diez más 10 cero mira nada más toda la ecuación se volvieron ceros bueno cuando estábamos resolviendo estos sistemas de ecuaciones por el método de eliminación no nos preocupábamos si por ejemplo esta entrada que está arriba de la primera entrada distinta de cero de esta fila de esta ecuación era 0 o 1 o sea la dejábamos tal cual como estaba y nada más nos preocupábamos por hacer que todas las de abajo se volvieran 0 pero para hacer la forma escalonada reducida por filas si vamos a hacer que las entradas de arriba también se vuelvan 0 y entonces para hacer que ésta se vuelva 0 lo que vamos a hacer es a esta fila a esta ecuación restarle una sola vez esta fila aunque y entonces uno menos cero eso sigue siendo un 1 menos mal porque queremos siempre tener unos como el primer valor distinto de cero de las filas entonces 20 sigue siendo 2 1 - 1 ahora si ya tenemos el 0 que estábamos buscando y 1 menos -2 eso es 1 2 que es 3 y 7 menos 5 2 y entonces ya tenemos esta matriz en su forma escalonada reducida por filas la matriz ah ok por qué pues porque estas entradas que son las primeras entradas distintas de 0 de izquierda a derecha que además le llama entradas pivote entrada pivote que hay entrada pivote son todas un 1 ok si aquí tuviéramos un 5 lo que tendríamos que hacer es dividir toda la ecuación entre 5 para que aquí nos quedara un 1 todas las entradas pivote tienen que ser 1 y además tenemos que todas las filas que se convirtieron en ceros estas filas de ceros que en este caso sólo hay una que es esta fila de ceros tiene que estar hasta abajo y lo último que nos falta para que esté en su forma escalonada reducida por filas bueno nos falta decir dos cosas pero una de ellas es que cada entrada pivote tiene que estar a la derecha de todas las entradas pivote de arriba ok esta entrada pivote está a la derecha de esta entrada pivote y la otra cosa que ya hemos dicho es que en la columna en la que se encuentra una entrada pivote tiene que haber puros ceros en las otras ecuaciones en las otras filas entonces en la columna de esta entrada pivote hay puros ceros si definitivamente sí y en la columna de esta otra entrada pivote hay puros ceros entonces esta matriz definitivamente si está en su forma escalonada reducida por filas enumerando lo otra vez las entradas pivote tienen que ser 1 las filas que son 0 tienen que estar hasta abajo de la matriz en cada columna en la que haya una entrada pivote la única entrada distinta de 0 es justo la entrada pivote y todas las entradas pivote están a la derecha de las entradas pivote de las ecuaciones que estén arriba de esa ecuación y listo ahora como dijimos al principio cada uno de estos números es el coeficiente de alguna de estas variables en una de estas ecuaciones por ejemplo este es el coeficiente de x 1 en esta ecuación entonces podemos regresar a las ecuaciones y vamos a reconstruir a partir de estos coeficientes el sistema de ecuaciones aquí tenemos uno de x 1 en la primera ecuación + 2 2 x 2 más y tenemos cero como coeficiente de la variable x 3 en la primera ecuación o sea que aquí tenemos que dejar un espacio del x 3 y aquí nos queda más 3 veces x 4 3 x x 4 y este es el número que queda del lado derecho del igual o sea que aquí tenemos que la primera ecuación es esto igual a 2 y ahora vamos con la segunda ecuación tenemos cero como coeficiente de la primera variable aleatoria cero como coeficiente de x2 y ahora sí una vez x 3 más menos 2 veces x 4 menos dos por x 4 y eso es igual a 5 y bueno en nuestra tercera ecuación tenemos puros ceros o sea aquí podríamos escribir cero igual a cero pero para qué hacernos pato mejor no andamos jugando esta ecuación no nos aporta nada de información así es que hemos logrado reducir este sistema de ecuaciones a este sistema de ecuaciones de dos ecuaciones y a las variables cuyo coeficiente es la entrada pivote de la matriz en su forma escalonada reducida por filas les llamamos variables pivote aunque hay entonces ésta es una variable pivote y ésta también es una variable pivote que variable pivote y a las variables que quedan las que no están asociadas con ninguna entrada pivote o sea que no son variables pivote les llamamos variables libres ok entonces x 2 y x 4 las dos son variables libres variables libre aunque hay entonces resolvamos el sistema bueno de hecho como mencionamos al principio no vamos a poder resolver tal cual el sistema no vamos a encontrar una solución única un punto único que resuelva el sistema este tampoco porque aquí nada más tenemos dos ecuaciones y cuatro variables entonces de hecho vamos a tener una infinidad de soluciones lo único que sí vamos a poder resolver son qué valor tienen que tomar las variables pivote ok qué valor tiene que tomar x 1 y x 3 bueno de hecho no todos los puntos van a tener el mismo valor en x 1 y en x 3 pero hay algo muy parecido entonces lo que estas ecuaciones nos dicen es que x 3 es igual a 5 + x 4 5 y pasamos a este menos x 4 del otro lado y nos queda más 2 x 4 y de esta ecuación lo que obtenemos despejando x 1 dejando a x 1 solita es x 1 es igual a 2 2 - 2 x 2 menos 2 x 2 menos 3 x 4 menos 3 x 4 y esto es lo más cercano que podemos llegar a obtener a una solución del sistema de ecuaciones ok y estos valores x 4 y x2 que son las variables libres los podemos asignar cualquier valor que se nos ocurra y dados esos valores pues ya tenemos exactamente cuáles son x 3 y x1 ok es por estos x 4 y x 2 que le podemos asignar el valor que se nos ocurra que tenemos una infinidad de soluciones y no nada más una pero bueno voy a escribir este par de soluciones de otra forma que nos va a ayudar a entender otras cosas y otras cosas como cuál es el conjunto de soluciones del sistema entonces vamos a escribir esto como un vector aquí va a ser x 1 x 2 x 3 y x 4 y este vector es igual a ver a ver aquí tenemos que x 1 es igual a 2 entonces vamos a poner un 2 por aquí y aquí tenemos menos 2 veces x 2 así es que pues déjame ponerlo como más x2 por una cosa por acá que en la primera entrada como estamos con x uno va a tener menos dos más y ahora vamos a ponerle x cuatro por otra cosa ok esto esto es simplemente otra forma de escribir estas ecuaciones que hay aquí tenemos que en el x1 tiene menos 3 x 4 entonces aquí vale menos 3 entonces tal cual tal cual lo que esto esto y esto y esto y esto nos está diciendo esta primera fila digamos es justo lo mismo que nos está diciendo esta ecuación aunque hay que x 1 es igual al 2 solito más x 2 x menos 2 aquí está tal cual más x 4 x menos 3 bien entonces vamos a ver qué es lo que nos dice esta otra ecuación ok es lo que nos dice es que x 3 o sea que nos vamos a ir al nivel x 3 es igual a un 5 solito sin variable aquí va un 5 más x 2 x pues aquí no hay ningún x2 entonces aquí le tenemos que poner un cero para que sea cero veces x2 + 2 x x 4 así es que aquí va su 2 bueno ya ahora tenemos que completar estos vectores y para hacerlo aquí tenemos un x2 que es exactamente igual a una vez x2 sin que le tengamos que sumar nada de x 4 y tampoco ningún escalar por acá y lo mismo x 4 es igual a 1 por x 40 x x 2 + 0