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Resolver un sistema de 3 ecuaciones y 4 variables mediante la forma de la matriz escalonada

Transcripción del video

tenemos aquí tres ecuaciones y cuatro incógnitas o sea cuatro variables conocidas y en esos casos siempre que tenemos menos ecuaciones que incógnitas seguramente ya lo sabe eso te lo puedes imaginar nuestro sistema de ecuaciones no tiene una solución única no estamos restringiendo a nuestras variables desconocidas lo suficiente como para que un solo punto sea la solución aquí lo que tenemos son uno dos tres cuatro variables por lo tanto las soluciones van a estar en el re 4 y pues como tenemos menos ecuaciones que variables desconocidas entonces nuestra solución va a ser digamos no sé un plano que no abarca en su totalidad a r4 pero tampoco es un punto y por ejemplo si tuviéramos tres variables desconocidas en lugar de cuatro y tuviéramos nada más dos ecuaciones en lugar de tres la solución sería una línea recta que sí es más restringido que un plano pero de todas formas tiene una infinidad de puntos en ella entonces hay una infinidad de soluciones y bueno hemos resuelto ya varias veces estos sistemas de ecuaciones utilizando un método de eliminación pero lo que quiero hacer en este vídeo es utilizar matrices las matrices lo que son realmente es nada más un arreglo de números y pues son mucho más sencillas son más fáciles de escribir escribe uno menos cosas y todo sale mucho más rápido con ellas lo que vamos a hacer es tomar los coeficientes de las variables entonces vamos a crear la matriz de coeficientes de estas ecuaciones bueno del lado izquierdo del igual de estas ecuaciones y entonces en la primera columna lo que vamos a hacer es escribir los coeficientes de la variable x1a y en la primera fila lo que vamos a hacer es escribir los coeficientes de la primera ecuación entonces aquí en este lugar va este coeficiente que es un 1 aquí va uno y aquí va un 2 ahora aquí va un 2 y un 2 y después un 4 y para cada uno uno que es el coeficiente de la variable x3 en la primera ecuación después va un 2 este coeficiente pero ahora el coeficiente de la variable x 3 en la tercera ecuación es cero porque aquí no aparece en ningún lado de la ecuación x3 o sea que el coeficiente de x 300 y aquí va un 1 aquí va un -1 porque la variable x4 se está restando menos uno y por acaba un 6 entonces esta es la matriz de coeficientes de este sistema de ecuaciones pero además quiero hacer una matriz aumentada sé que lo vamos a poner en lugar de cerrar el paréntesis de la matriz vamos a poner una línea y de hecho vamos a usar otro color y de este lado lo que vamos a poner lo que hay del lado derecho del igual de las ecuaciones o sea aquí en la primera ecuación tenemos un 7 y después tenemos un 12 y un 4 y la parte padre de usar estas matrices en lugar de los sistemas de ecuaciones tal cual es y aquí ya no tenemos que escribir un millón de veces en este caso son 3 veces x 1 x 1 x1 y x2 x 4 y todo eso pero pues ésta es una representación de estas ecuaciones entonces lo que podemos hacer es por ejemplo a esta fila la podemos multiplicar por un escalas al igual que podríamos multiplicar esta ecuación por un escalar y también podemos agarrar una fila y restarse la de arriba y tomar una fila y reemplazarla por esa fila por una constante nada cualquier otra de las filas entonces vamos a usar esta representación de las ecuaciones para resolverlo y encontrar la solución y bueno lo que hacíamos principalmente cuando estábamos con estas situaciones es tratar de dejar una variable solita estatal dejar uno aquí que en el resto de la columna hay apuro ceros o sea tratar de dejar que la primera entrada de la ecuación sea un 1 en lugar de un 2 y hacer que en el resto de la columna hay apuro ceros y bueno a esa forma de la matriz le llamamos convencionalmente forma escalonada reducida por filas forma escalonada reducida por filas y si por ejemplo esta matriz es la matriz a lo que queremos hacer es transformar esta matriz a su forma escalonada reducida por fila porque así es mucho más fácil encontrar las soluciones a este sistema y bueno la convención general es que las matrices las denotamos por letras mayúsculas a diferencia de los vectores que los notamos por letras minúsculas más adelante en algunos otros vídeos vamos a ver cuál es la relación entre las matrices y los vectores pero por el momento vamos a ver cómo se transforman estas matrices a su forma escalonada reducida por filas entonces ya que tenemos uno aquí vamos a empezar por hacer que el resto de las entradas de esta columna esta cosa sean feroz así es que esta fila esta cosa la vamos a dejar exactamente igual entonces aquí tenemos un 12 11 después tenemos siete y para hacer que esta cosa sea un cero vamos a reemplazar esta fila esta cosa por la primera fila - esta fila ok entonces tenemos uno menos 102 - 20 1 - 2 - 1 - 11 nenos -1 eso es uno más uno o sea 27 - 12 eso es menos cinco y ya conseguimos que en este lugar haya un cero y usamos las operaciones que pudimos haber hecho con este sistema de ecuaciones o sea lo que hicimos fue reemplazar esta ecuación por la ecuación que resulta de a esta ecuación restarle esta ecuación y eso siempre lo pudimos hacer para resolver este sistema de ecuaciones entonces bueno vamos ahora a hacer que esta entrada se vuelva a cero y para hacer eso lo que vamos a hacer es a esta ecuación restarle dos veces esta ecuación que hay entonces 2 - 2 por 1 eso es cero que es justo lo que queremos hacer después 4 - 2 x 2 o sea 4 - cuatro eso también es cero y 0 - 2 por 1 eso es 0 - 2 sea menos 26 - dos por uno 6 - 2 eso es 4 y ahora 4 - 2 por 7 2 por ciento son 14 4 - 14 eso es menos 10 y aquí nos quedaron muchos ceros más adelante vamos a ver qué significa eso de que aquí en toda esta columna nos hayan quedado puro 0 pero si aquí no hubiera quedado cualquier otro número cualquier otro real lo que habríamos hecho sería multiplicar esta ecuación por uno entre este número para que nos quedará un 1 por acá y después haríamos que esta entrada se volviera a 0 cosa que puedes realmente no tendríamos que hacer nada porque está ya de cero ahora ya que no tenemos ninguna entrada en esta columna que sea distinta de cero pues nos tenemos que mover a la siguiente columna y aquí ya tenemos algo distinto de cero que queremos convertir en un 1 entonces para que esto se vuelva a uno nada más tenemos que multiplicar toda la fila por un -1 y para hacerlo pues no tenemos que volver a escribir toda la matriz no sea podemos simplemente aquí ponerle esto para que sea menos pero menos da más y ya tenemos el uno que estábamos búsqueda no aquí el 2 lo multiplicamos por lo menos uno y nos quedan menos dos y aquí el -5 lo multiplicamos por lo menos uno y nos queda más 5 y ahora si queremos hacer que todas las entradas de esta columna sean cero y para eso sí tenemos que volver a escribir la matriz entonces vamos a volver a escribir nuestra matriz aumentada pero ahora haciendo que esta entrada se vuelva a 0 y está también así es que esta matriz es igual a dejar esta fila tal cual como está tenemos aquí un 0 40 luego un 1 luego un -2 y la matriz está aumentada y aquí tenemos del otro lado del igual un 5 ahora como aquí tenemos un -2 y aquí tenemos un 1 lo que podamos hacer para que esto se vuelva a 0 es a esta ecuación sumarle dos veces esta ecuación que y eso es lo que vamos a hacer así es que tenemos cero más dos veces 00 igual aquí pero y menos dos más dos por uno eso es menos dos más dos o sea cero que es justo lo que estábamos buscando y ahora cuatro más dos por lo menos 2 o sea 4 - cuatro eso nos da cero y finalmente menos 10 + 2 por 5 o sea diez menos diez más 10 0 mira nada más toda la ecuación se volvieron ceros bueno cuando estábamos resolviendo estos sistemas de ecuaciones por el método de eliminación no nos preocupábamos y por ejemplo esta entrada que está arriba de la primera entrada distinta de cero de esta fila de esta ecuación era cero o uno o sea la dejábamos tal cual como estaba y nada más nos preocupábamos por hacer que todos los de abajo se volvieran 0 pero para hacerla forma escalonada reducida por filas si vamos a hacer que la gente dos de arriba también se vuelvan 0 ok entonces para hacer que ésta se vuelva a cero lo que vamos a hacer es a ésta y la a esta ecuación restarle una sola vez esta fila aunque ya entonces 1 - 0 eso sigue siendo un 1 menos mal porque queremos siempre tener unos como el primer valor distinto de cero de las filas entonces 2 - 0 sigue siendo 21 - 1 ahora sí ya tenemos el cero que estábamos buscando y uno menos -2 eso es uno más dos que es 3 y 7 - 52 y entonces ya tenemos esta matriz en su forma escalonada reducida por filas la matriz a ok por qué pues porque estas entradas que son las primeras entradas distintas de cero de izquierda a derecha que además le llama entradas pivote entrada pivote entrada pivote son todas un 1 o keith si aquí tuviéramos un 5 lo que tendríamos que hacer es dividir toda la ecuación entre 5 para que aquí nos quedará un 12 las entradas pivote tiene que ser uno y además tenemos que todas las filas que se convirtieron en ceros estas pilas de ceros que en este caso sólo hay una que es esta fila de ceros tiene que estar hasta abajo y lo último que nos falta para que esté en su forma escalonada reducida por filas bueno nos falta decir dos cosas pero una de ellas es que cada entrada pivote tiene que estar a la derecha de todas las entradas pivote de arriba esta entrada pivote está a la derecha de esta entrada pivote y la otra cosa que ya hemos dicho es que en la columna en la que se encuentra una entrada pivote tiene que haber puro ceros en las otras ecuaciones en las otras filas entonces en la columna de esta entrada pivota y puro ceros definitivamente sí y en la columna de esta otra entrada pivote al puro ceros entonces esta matriz definitivamente si está en su forma escalonada reducida por filas enumerando lo otra vez las entradas pivote tienen que ser uno las filas que son cero tienen que estar hasta abajo de la matriz en cada columna en la que haya una entrada pivote la única entrada distinta de cero es justo la entrada pivote y todas las entradas pivote están a la derecha de las entradas pivote de las ecuaciones que tenga arriba de esa ecuación listo ahora como dijimos al principio cada uno de estos números es el coeficiente de alguna de estas variables en una de estas ecuaciones por ejemplo este es el coeficiente de x 1 en esta ecuación entonces podemos regresar a las ecuaciones y vamos a reconstruir a partir de estos coeficientes el sistema de ecuaciones aquí tenemos uno de x 1 en la primera actuación +2 2 x 2 nada más hoy tenemos cero como coeficiente de la variable x3 en la primera actuación o sea que aquí tenemos que dejar un espacio del x3 y aquí nos queda más 3 veces x 43 por x 4 y este es el número que queda del lado derecho del igual o sea que aquí tenemos que la primera actuación es esto igual a 2 y ahora vamos con la segunda actuación tenemos cero como coeficiente de la primera variable de autor ya cero como coeficiente de x 2 y ahora sí una vez x3 nada menos 2 veces x 4 - 2 x x 4 y eso es igual a 55 y bueno en nuestra tierra la ecuación tenemos puro cero o sea aquí podríamos escribir 0 igual a cero pero para qué hacernos pato mejor nos vamos jugando esta ocasión no nos aportan nada de información así es que hemos logrado reducir este sistema de ecuaciones a este sistema de ecuaciones de dos ecuaciones y a las variables cuyo coeficiente es la entrada pivote de la matriz en su forma escalonada reducida por filas les llamamos variables pivote que hay entonces esta es una variable pivote y ésta también es una variable pivote variable pivote y a las variables que quedan las que no están asociadas con ninguna entrada pivote o sea que no son variables pivote les llamamos variables libres que entonces x2 y x4 las dos son variables libres variables libres que hay entonces resolvamos el sistema bueno de hecho como mencionamos al principio no vamos a poder resolver tal cual sistema no vamos a encontrar una solución única un punto único que resuelve el sistema éste tampoco porque aquí nada más tenemos dos ecuaciones y cuatro variables entonces de hecho vamos a tener una infinidad de soluciones lo único que sí vamos a poder resolver son qué valor tienen que tomar las variables pivote aunque hay qué valor tienen que tomar x1 y x3 bueno de hecho no todos los puntos van a tener el mismo valor en x1 y x3 pero hay algo muy parecido entonces lo que estas situaciones nos dicen es que x3 es igual a 5 más x 45 y pasamos estén menos x4 del otro lado y nos queda nada más 2 x 4 y de esta ecuación lo que obtenemos despejando x 1 dejando a x1 solita es x uno es igual a los 2 - 2 x 2 - 2 x 2 - 3 x 4 - 3 x 4 y esto es lo más cercano que podemos llegar a obtener a una solución del sistema de ecuaciones estos valores x4 y x2 que son las variables libres los podemos asignar cualquier valor que se nos ocurra y dados esos valores pues ya tenemos exactamente cuáles son x3 y x1 gay es por estos x4 y x2 que lo podemos asignar el valor que se nos ocurra que tenemos una infinidad de soluciones y no nada más una pero bueno voy a escribir este par de soluciones de otra forma que nos va a ayudar a entender otras cosas otras cosas como cuál es el conjunto de soluciones del sistema entonces vamos a escribir esto como un vector que iba a ser x1 y x2 x 3 y x4 y ese lector es igual a ver a ver aquí tenemos que x1 es igual a 2 entonces vamos a poner un 2 por a que y aquí tenemos menos 2 veces x 2 así es que pues déjame ponerlo como me x2 por una cosa por la que que en la primera entrada como estamos con x uno va a tener menos dos nadas y ahora vamos a ponerle x4 por otra cosa que y esto esto es simplemente otra forma de escribir estas ecuaciones que hay aquí tenemos que en el x1 tiene menos 3 x 4 que entonces equivalía al menos tres entonces tal cual tal cual lo que esto esto y esto y esto y esto nos está diciendo esta primera fila digamos es justo lo mismo que nos está diciendo esta ecuación que x1 es igual al 2 solito más x2 x menos dos antiestatal cual nada x 4 por menos 3 bien entonces vamos a ver qué es lo que nos dice esta otra ecuación es a lo que nos dice es que x3 o sea que no vamos a ir el nivel x3 es igual a un 5 solitos invariable aquí va un 5 nada más x2 x pues aquí no hay ningún x 2 entonces aquí le tenemos que poner un cero para que sea cero es x 22 x x 4 así es que aquí va a su dos bueno ya ahora tenemos que completar estos vectores y para hacerlo aquí tenemos un x 2 que es exactamente igual a una vez x 2 sin que le tengamos que sumar nada de x 4 y tampoco ningún escalar por acá y lo mismo x 4 es igual a 1 x x 4 + 0 x x 2 + 0