Resolver sistemas lineales con matrices

en general hay que obtener la mayor cantidad posible de práctica resolviendo sistemas de ecuaciones lineales y por eso vamos a resolver este otro sistema de ecuaciones pero vamos a usar esta nueva técnica de usar las matrices aumentadas y convertir esas matrices a su forma escalonada reducida por filas y aquí tenemos tres ecuaciones y tres variables aleatorias entonces va a quedar una matriz muy bonita y pues vamos a escribir la no vamos a llamar y los coeficientes de la primera variable aleatoria son 111 entonces en esta matriz que representa los coeficientes de estas ecuaciones va primero un 1-1 1 y los coeficientes de la variable ya son 1 2 3 1 2 3 y de la variable zeta son 134 134 y ahora ponemos la rayita que divide y aquí ponemos a los valores del lado derecho del igual o sea 3 0 y 2 estos son los coeficientes de la primera ecuación estos los de la segunda y la tercera y y así y ahora queremos escribir esta matriz de coeficientes en su forma escalonada reducida por filas ahora no tenemos que aquí tenemos un 1 entonces esta entrada de aquí es una entrada pivote y para transformar esta matriz a su forma escalonada reducida lo que tenemos que hacer es que en toda esta columna de la entrada pivote haya puros ceros o sea queremos hacer que esta entrada sea un 0 y que esta entrada sea un 0 entonces lo que vamos a hacer es dejar esta ecuación tal cual como esté 11 línea del igual 3 y a esta ecuación la vamos a reemplazar por esta misma ecuación menos esta ecuación ok así es que tenemos aquí 1 - 1 ahora si ya tenemos el 0 que es justo lo que estábamos buscando y ahora dos menos uno eso nos queda un 1 y 3 -1 eso nos queda un 20 menos 3 nos quedan menos 3 menos 3 muy bien pero también creemos que esta entrada sea cero así es que también vamos a reemplazar esta ecuación por esta ecuación menos esta ecuación ok 1 menos 103 menos 124 menos 1 y menos 2 - 3 eso es menos 5 - sí muy bien entonces ya tenemos primera entrada pivote y la segunda entrada pivote que además está abajo a la derecha de la primera entrada pivote así es que nos estamos acercando a la forma escalonada reducida y ahora lo que queremos es hacer que toda la columna de esta entrada pivote sean ceros o sea queremos hacer que ésta sea cero y que ésta sea cero aquí ya logramos que ésta sea cero aunque y entonces pues vamos a volver a escribir la matriz esto es igual ok lo que vamos a hacer es dejar esta fila tal cual como esta tenemos un 0 1 no 12 la línea de división y un -3 y ahora lo que vamos a hacer para que esta entrada se vuelva a cero es sustituir esta fila por esta fila menos esta fila ok entonces tenemos 1 - 0 eso sigue siendo un 1 y un 1 menos uno eso nos da cero que es lo que estábamos buscando 1 - 2 eso es menos 1 y tres menos -3 eso es 33 o sea 6 ok ahora queremos hacer que esta entrada sea 0 así es que vamos a sustituir esta fila por esta fila menos dos veces esta fila 0 - 2 por 0 esto sigue siendo 0 2 - 2 x 1 esos 22 o sea y tres menos dos por dos esos tres menos cuatro que es menos uno menos uno y ahora menos cinco menos dos por menos tres eso se ve muy complicado no y no vaya a ser que le agreguemos en las cuentas se nos vaya por ahí un menos y echemos a perder toda la matriz y nos queda un resultado que no tenga sentido un resultado que no sea la solución a este sistema de ecuaciones entonces pues mejor para no arriesgarnos pues vamos a escribirlo por acá no o sea tenemos menos 5 menos 2 x menos 3 aunque yo sea 2 x menos 3 así es que pues estoy acá es menos 6 o sea que tenemos menos 5 menos menos 6 y menos por menos de más o sea - 56 y eso es exactamente igual a 1 ok entonces aquí va un 1 y bueno ya casi estamos listos esta matriz ya casi está en su forma escalonada reducida ok pero pero aquí no puede ser un -1 o sea la forma escalonada reducida exige que esta entrada de aquí sea exactamente igual a uno no puede estar ninguna otra cosa en esta entrada ok entonces lo que vamos a hacer para que realmente sea un 1 es tal cual en lugar de volver a escribir toda la matriz nada más multiplicar esta fila directamente aquí en esta misma matriz x menos 1 ok entonces 0 x menos 100 x menos 10 menos 1 por menos 1 ahí sí ya nos queda aún más 1 y 1 pero menos 1 nos quedan menos 1 y ahora sí ahora sí ya tenemos puros unos como la primera entrada distinta de 0 de cada fila aunque hay todas las entradas pivotes son exactamente 1 y ya nada más el último detalle que nos falta es que toda la columna de esta última entrada pivote tenga puros ceros y la entrada pivote ok entonces pues vamos a volver a hacer la matriz y vamos a dejar esta fila tal cual como está 0 1 - 1 y aquí para hacer que esta entrada sea exactamente igual a 0 lo que vamos a hacer es reemplazar esta fila por esta fila menos dos veces esta fila ok entonces 0 menos dos por cero 1 - 2 x 0 1 claramente 2 menos 2 por 1 esto es 0 porque así lo escogimos y - 3 - 2 - 1 tampoco nos queremos confundir en el último momento no entonces vamos a escribir menos tres menos dos por menos 12 por menos 1 hay dos pero menos uno es menos dos o sea aquí tenemos menos 3 - menos 2 y menos por menos dar más o sea menos tres más dos ok eso es igual a menos 1 así es que aquí va un -1 y ahora vamos con esta fila en esta ecuación y pues para hacer que esta entrada sea 0 pues aquí tenemos un -1 con que le sumamos la última fila ya estamos aquí entonces 10 eso nos da un 10 más 0 nos sigue dando 0 - 1 más 10 menos mal 6 + menos 1 esos 6 menos uno que es 5 que y listo ahora sí ya la tenemos en su forma escalonada ok porque aquí cada fila tiene su entrada pivote igual a 1 y además todas están abajo y a la derecha de la anterior que éste está a la derecha de éste y éste está a la derecha de estos dos y además en cada columna de una entrada pivote el resto de las entradas de la columna es 0 ok entonces esta si es una matriz que está en su forma escalonada reducida por filas forma escalonada reducida por filas y mira nada más no tenemos ni una sola variable libre porque porque en cada columna hay una entrada pivote y eso lo que va a provocar es que todas las variables estén perfectamente determinadas y tengamos una solución única ok ya vamos a regresar de una vez al mundo de las ecuaciones esta matriz aumentada que ecuaciones nos da pues la primera fila nos da la ecuación 1 x x x + 0 porque + 0 por zeta y todo eso es igual mira nada más ya tenemos x exactamente igual a 5 y la segunda fila lo que nos da es una ecuación que tiene nada más al ayer aunque porque tenemos 0 x x + 1 porque o sea la ye solita +0 por zeta y eso es igual a menos 1 ya se ve aquí como se están determinando perfectamente las variables no y la tercera ecuación es 0 x x 0 porque más 1 por zeta o sea la se está solita igual a menos 1 así es que a través de las matrices aumentadas y la forma escalonada reducida por filas redujimos este sistema de ecuaciones a este otro sistema de ecuaciones y con eso ya encontramos tal cual cuál es la solución del sistema esta es la solución del sistema y es una solución única y espero que te parezca muy útil