Utilizar la forma de la matriz escalonada para demostrar que un sistema lineal no tiene soluciones.

tenemos aquí tres ecuaciones con cuatro variables desconocidas y al igual que en el primer vídeo de esta serie pues queremos resolver este sistema de ecuaciones pero al menos mi intuición me dice que la solución no va a estar muy restringida o sea porque hay menos ecuaciones que variables desconocidas entonces tal vez tal vez mi intuición me dice que puede haber una cantidad infinita de soluciones pero pues hay que resolver este sistema de ecuaciones para ver qué es lo que pasa realmente no entonces al igual que en los dos vídeos anteriores de esta serie pues vamos a hacer la matriz aumentada de coeficientes de este sistema de ecuaciones entonces los coeficientes en cada una de las ecuaciones de la variable x1 son 1 1 2 entonces la matriz aumentada de coeficientes tiene aquí un 1 2 los coeficientes de la variable x2 son 224 en la primera ecuación es 12 en la segunda ecuación es un 2 y en la tercera ecuación es un 4 de la x 3 es 12 y como aquí no hay ningún x 3 entonces podemos pensar que por aquí hay 10 veces x 3 y entonces ya los coeficientes son 120 ok vamos a borrar esto pero aquí va a un 1 2 y 0 y los coeficientes de la variable x 4 son 1 - 1 y 6 1 - 1 y 6 y del lado derecho del igual hay un 8 un 12 y un 48 en la primera ecuación 12 en la segunda ocasión y 4 en la tercera ecuación ok entonces esta es la matriz aumentada de coeficientes de este sistema de ecuaciones y pues hay que ponerla en su forma escalonada reducida por filas entonces lo primero que podemos hacer es hacer que estas dos entradas de la matriz se vuelvan cero y para hacer eso pues vamos a empezar por volver a escribir la matriz aquí va a estar nuestra matriz y pues vamos a dejar la primera y la tal cual como ésta a 21 y después va esta línea que básicamente lo que representa es la línea de iguales de aquí y después nuestro 8 y para hacer que esta entrada sea 0 lo que vamos a hacer es reemplazar esta fila este renglón por esta fila menos una vez esta fila porque uno menos uno es cero y es justo lo que queremos entonces uno menos 10 después 2 - 2 eso también es 0 y pues ya con este 0 aquí podemos creer que la variable x2 que es representada por esta columna va a terminar siendo una variable libre no tal vez porque para que ésta no sea una variable libre necesitamos una entrada pivote en esta columna pero mejor en lugar de andar asegurando cosas vamos a terminar de convertir a esta matriz a su forma escalonada reducida por filas entonces 2 menos una vez 1 eso es un 1 - 1 - este 1 eso es menos dos menos 2 y 12 menos 8 esos 4 4 entonces vamos con este renglón queremos hacer que esta entrada se vuelva 0 por lo cual vamos a reemplazar esta fila por esta fila menos dos veces esta fila ok entonces dos menos dos por uno eso es dos menos 20 4 - 2 x 2 o sea 4 4 eso es 0 también 0 - 2 x 1 eso es menos 2 - 2 6 - 2 x 1 6 2 eso es 4 4 4 - 2 por 8 2 por 8 16 y entonces tenemos 4 menos 16 o sea tenemos menos 12 menos 12 ahora veamos nos podemos deshacer de este término o sea hacer que este término se vuelva a cero ok y para eso vamos a dejar esta fila en su lugar que es la que tiene esta entrada pivote 0 0 1 - 2 la línea del igual y después un 4 y queremos que esta entrada sea 0 bueno sabes que de hecho creemos que esta entrada y esta entrada sean 0 porque porque esta entrada es la entrada pivote de esta fila ok entrada pivote es la primera entrada distinta de 0 entonces este 0 este 0 y esta es distinta de 0 así es que esta es la entrada pivote y si queremos que nuestra matriz está en su forma escalonada reducida por filas entonces para empezar tenemos que hacer que esta entrada sea un 1 cosa que ya está y además tenemos que hacer que todas las entradas de la columna de nuestra entrada pivote sean igual a 0 así es que tenemos que hacer que ésta sea cero esta sea cero así es que vamos a reemplazar esta fila por esta fila menos una vez esta fila aunque hay entonces uno menos uno por cero esto sigue siendo un 12 menos 0 esto es 21 menos 1 eso es 0 que es justo lo que estábamos buscando 1 - menos 2 eso es uno más 2 o sea 3 y 84 eso es 4 y ahora para hacer que esto se vuelva a 0 pues lo que vamos a hacer es reemplazar esta fila por esta fila más dos veces esta fila así es que cero más dos veces cero eso es 00 más dos veces cero esto es cero otra vez así es que esta sí es una variable libre pero bueno ahorita seguimos con eso después menos dos más dos por uno o sea dos más dos esto también es cero ya tenemos nuestra entrada pivote cuatro más dos por menos dos esos cuatro menos cuatro o sea menos 12 más 2 x 4 eso es menos 12 más 8 o que yo sea menos 4 menos 4 esto se ve muy interesante pero bueno a ver el chiste es que aquí tenemos una entrada pivote y aquí tenemos otra entrada pivote y estas dos columnas o sea la variable x2 y la variable x 4 parecen ser variables libres pero pues vamos a ver bien qué les pasa aquí tenemos que nuestras entradas pivotes son uno muy importante y hay puros ceros en la columna de las variables pivote y esto es una cuestión puramente de estilo pero la segunda variable pivote está abajo ya la derecha de la primera variable pivote todo este bonche de números realmente son puros números para mí así tal cual está complicado interpretarlo por el momento yo nada más tome la matriz aumentada de coeficientes y la reduje a su forma escalonada reducida como una máquina tal cual como lo haría tu computadora en algún programa pero si queremos interpretar esto pues hay que regresarnos al mundo de las ecuaciones así es que a ver esta fila lo que me da es una ecuación donde el coeficiente de x 1 es 1 o sea x 1 es muy variable pivote x 1 x 1 y luego como este 2 está en la segunda columna tenemos 2 veces x 2 2 x x 20 veces la variable x 3 porque estamos en la tercera columna + 0 x x 3 mejor dejo el espacio y después 3 x x 4 o sea 3 x 4 y nuestra línea del igual y aquí del otro lado del igual 14 y la siguiente fila lo que nos da es 0 por x 100 por x2 01 por x 3 x 3 - 2 por x 4 - 2 por x 4 y todo eso es igual a 4 igual a 4 y la tercera fila lo que nos dice es 0 x x 1 + 0 x x 20 x x 3 + 0 x x 4 y todo eso es igual a menos 4 ok entonces esta última ecuación que es lo que nos dice osea tal cual lo único que tenemos 0 0 0 0 y pues lo que suman es simplemente un solo 0 y lo que nos queda aquí es algo que está súper mal lo que nos queda es que 0 es exactamente igual a 4 eso no nos puede pasar nunca esto esto de aquí es simplemente imposible esto es imposible el cero nunca nunca puede ser igual a menos 4 y esto lo que significa es que este sistema de ecuaciones no tiene solución aunque hay lo que significa es que las superficies que representan las soluciones de cada una de estas ecuaciones que como tenemos tres ecuaciones tendríamos tres superficies entre cuatro que esas tres superficies de soluciones no se intersectan o sea no hay ni un solo punto en r4 que satisfaga las tres ecuaciones porque r4 pues porque tenemos cuatro variables desconocidas aquí está uno 2 3 y 4 entonces nuestras soluciones son digamos vectores x 1 x 2 x 3 x 4 y esto pues como son 4 y pueden ser cualquier real están en r 4 y decimos que un vector de estos en r 4 de solución si a la hora de sustituir x 1 acá x 2 en cada una de estas ecuaciones x 3 por acá y x 4 en cada uno de estos valores entonces se satisfacen estas ecuaciones pero justo este resultado de que 0 es igual a menos 4 lo que nos dice es que ningún conjunto de cuatro valores sin ningún vector en r4 satisface estas tres ecuaciones al mismo tiempo así es que al inicio del vídeo pensábamos que como eran tres ecuaciones y sólo cuatro variables desconocidas que entonces tiene que haber una infinidad de soluciones pero ahorita nos acabamos de dar cuenta que en realidad no hay ni una sola solución y bueno eso es lo que pasa siempre que en alguna de nuestras filas de nuestra matriz aumentada hay apuros ceros del lado izquierdo de la raya del igual y algún valor distinto de cero del lado derecho es muy difícil visualizar o imaginarse cosas en el recuadro pero imagínense en r3 un plano como por acá y después otro plano que no se intersecta con el ok pero que esté así como que elevado digamos que el mismo plano pero más arriba ok y además planos que nunca se intersectan entonces por ejemplo un plano puede ser 3 x + 6 9 z igual 5 y que el otro plano sea 3 x + 6 + 9 sep está igual a 2 estos son dos planos en r 3 en r3 que son básicamente el mismo plano pero desplazado en alguna dirección y por lo mismo no se intersectan nunca y entonces no hay ningún vector en r3 ningún vector x etc que satisfaga estas dos ecuaciones aunque hay porque tiene exactamente los mismos coeficientes entonces si hay un vector xz tal que 3 x + 6 y 9-7 es igual a 5 a la hora de sustituirlo en esta ecuación pues nos va a quedar que 3x massey más 9 z es igual a 5 y por lo tanto no puede ser igual a 2 ya la hora de hacer la matriz aumentada de los coeficientes y reducirla a su forma escalonada reducida por filas lo que nos va a quedar es una hilera de ceros igual a menos 3 o sea aquí mismo lo podemos vernos o sea sustituimos la segunda ecuación por una vez la segunda ecuación menos la primera y los que da 0 x 0 y 0 z igual a 253 o sea 0 igual a menos 3 y pues lo mismo pasa en r 4 y en r 5 y r6 y así para todos los seres siempre puede haber superficies que no se intersectan y por lo tanto puede haber sistemas de ecuaciones que no tengan solución entonces si nos queda 0 igual a algo distinto de cero o sea si nos queda una fila llena de ceros excepto la entrada del otro lado del igual eso significa que no hay solución no hay solución así es que si hay menos ecuaciones que variables desconocidas eso no siempre significa que haya una infinidad de soluciones lo que significa es que hay una infinidad de soluciones o no hay solución así es que siempre que tratando de resolver un sistema de ecuaciones nos quede una ecuación que diga que cero es igual a cualquier otra cosa que no sea cero eso lo que significa es que no hay solución gay no hay solución por otro lado siempre que tengamos una matriz escalonada reducida por filas en la que en cada columna haya una entrada pivote o sea por ejemplo aquí voy a escribir una matriz de esa forma de ere 4 entonces el sistema de ecuaciones a la que esta matriz aumentada está representando tiene una única solución ok pero bueno a ver aquí tenemos muchas entradas pivot es una en cada columna y por lo tanto en el resto de cada columna o sea en el resto de las entradas tienen que haber puros ceros y de este el lado de la raya del igual pues puede haber cualquier número real que se nos ocurra por lo tanto vamos a denotar los por letras aunque hay aquí puede estar cualquier número al igual que aquí y aquí y aquí y de todas formas como en cada columna tenemos una entrada pivote entonces hay una única solución que hay una solución única ahora el último caso que nos falta del cual de hecho tenemos un ejemplo en el primer vídeo de esta serie es en el que tenemos una cantidad infinita de soluciones y su matriz en su forma escalonada reducida por fila se ve así aunque ahí tenemos la primera fila con su entrada pivote no se digamos que está como por acá y aquí quién sabe que tenemos y la segunda fila pues vamos a ponerle que su entrada pivote no está en la segunda columna sino en la tercera no sé aquí que tiene un cero y un cero y un cero y pues como estas son entradas pivote entonces aquí tiene que ver ceros ok y finalmente no sé digamos que hay un 1 nada más al azar podría haber un 0 como sea pongámoslo un 0 por acá aquí definitivamente tiene que haber un 0 porque esta es la siguiente entrada pivote y aquí podríamos tener una entrada pivote pero pues también la podemos dejar con su entrada 0 aquí puede estar exactamente el número que se nos ocurra vamos a ponerle menos 3 aquí también deberíamos de ponerle una b o una o algo así pero vamos a ponerle un 7 y lo que sí es muy importante es que aquí ya no lo podemos poner la entrada que se nos ocurra porque de este lado tenemos puros ceros entonces dependiendo de que pongamos aquí va a haber una infinidad de soluciones o no va a haber solución pero como aquí ya está el caso en el que no hay solución pues aquí vamos a ponerle un cero para que si haya solución entonces aquí tenemos una entrada pivote aquí tenemos la segunda entrada pivote estas dos columnas que no tienen ni una sola entrada pivote igual esta no tiene entrada pivote en ningún lado de esta columna por lo cual representa una variable libre que pueden tomar el valor que se les ocurra y como aquí esta entrada de acá si es un cero entonces si hay solución por lo tanto como tenemos dos variables libres entonces tenemos una infinidad de soluciones infinidad de soluciones así es que siempre que tengas una matriz y que las reduzcas a su forma escalonada reducida por filas te vas a encontrar con alguno de estos tres casos y bueno espero que te parezca útil esta tabla y estos vídeos