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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:12:08

Utilizar la forma de la matriz escalonada para demostrar que un sistema lineal no tiene soluciones.

Transcripción del video

tenemos aquí tres ecuaciones con cuatro variables conocidas y al igual que en el primer vídeo de esta serie pues queremos resolver este sistema de ecuaciones pero al menos mi intuición me dice que la solución no va a estar muy restringida o sea porque hay menos ecuaciones que variables desconocidas entonces tal vez tal vez mi intuición me dice que puede haber una cantidad infinita de soluciones pero pues hay que resolver este sistema de ecuaciones para ver qué es lo que pasa realmente no entonces al igual que en los dos vídeos anteriores de esta serie pues vamos a hacer la matriz aumentada de coeficientes de este sistema de ecuaciones entonces los coeficientes en cada una de las situaciones de la variable x1 son 112 entonces la matriz aumentada coeficiente tiene aquí un 112 los coeficientes de la variable x2 son 224 la primera cuestión es un 2 en la segunda actuación es un 2 y en la tercera ecuaciones un 4 de la x tc12 y como aquí no hay ningún x3 entonces podemos pensar que por aquí hay 10 veces x 3 y entonces ya los coeficientes son 120 abordar esto pero aquí va un 1 2 y 0 y los coeficientes de la variable x4 son 1 - 1 y 6 1 - 1 y 6 y del lado derecho del igual hay un 8 y un 12 y un 48 en la primera ocasión 12 en la segunda ocasión y cuatro en la tercera actuación aunque hay entonces esta es la matriz aumentada de coeficientes de este sistema de ecuaciones y pues hay que ponerla en su forma escalonada reducida por filas entonces lo primero que podemos hacer es hacer que estas dos entradas de la matriz se vuelvan 0 y para hacer eso pues vamos a empezar por volver a escribir la matriz aquí va a estar matriz y pues vamos a dejar la primera y la tal cual como está 12 11 y después va esta línea que básicamente lo que representa es la línea de iguales de aquí y después nuestro 8 y para hacer que esta entrada sea cero lo que vamos a hacer es reemplazar esta fila este renglón por esta fila menos una vez esta fila porque uno menos 10 y es justo lo que creemos entonces uno menos uno es cero después 2 - 2 eso también es cero y pues ya con este 0 aquí podemos creer que la variable x2 que representaba por esta columna va a terminar siendo una variable libre no tal vez porque para que ésta no sea una variable libre necesitamos una entrada pivote en esta columna pero mejor en lugar de andar asegurando cosas vamos a terminar de convertir a esta matriz a su forma escalonada reducido por filas entonces dos menos una vez 1 eso es un 1 - 1 - este 1 eso es menos 2 - 2 y yo sé -8 esos 44 y listo entonces vamos con este renglón queremos hacer que esta entrada se vuelva a cero por lo cual vamos a reemplazar esta y la por esta fila menos dos veces esta fila entonces 2 - 2 por 1 eso es 2 - 2004 - 2 x 2 o sea 4 - 4 eso es cero también 0 - 2 por 1 eso es menos 2 - 2 y 6 - dos por uno 6 - 2 eso es 444 menos dos por 82 por 8 16 hay entonces tenemos 4 - 16 o sea tenemos menos dos - 12 ahora veamos nos podemos hacer de este término se acerque este término se vuelva a 0 kay y para eso vamos a dejar esta pila en su lugar que es la que tiene esta entrada pivote 00 1 - 2 la línea del igual y después un 4 y queremos que esta entrada se aceró bueno sabes que de hecho creemos que esta entrada y esta entrada sean cero porque porque esta entrada en la entrada pivote de ésta si la ley entra pivote es la primera entrada distinta de cero entonces este 0 este 0 y ésta es distinta de cero así es que ésta es la entrada pivote y si queremos que nuestra matriz está en su forma escalonada reducida por filas entonces para empezar tenemos que hacer que esta entrada sea uno cosa que ya está y además tenemos que hacer que todas las entradas de la columna de nuestra entrada pivote sean igual a cero así es que tenemos que hacer que ésta sea cero y que ésta sea cero así es que vamos a reemplazar esta fila por esta fila menos una vez esta fila entonces uno menos uno por cero esto sigue siendo un 12 menos cero esto es 2 1 - 1 eso es cero que es justo lo que estábamos buscando uno menos -2 eso es uno más dos o sea 3 y 8 - cuatro eso es 4 y ahora para hacer que esto se vuelva a cero pues lo que vamos a hacer es reemplazar esta y la por esta pila más dos veces esta fila así es que 0 + dos veces 000 más dos veces 0 eso es cero otra vez así es que ésta sí es una variable libre pero bueno ahorita seguimos con esa después menos dos nadas dos por uno o sea dos más dos eso también es cero ya tenemos nuestra entrada pivote 4 2 - 2 esos cuatro menos cuatro o sea 0 - 12 más dos por cuatro eso es menos 12 +8 que yo sea menos 4 - 4 esto se ve muy interesante pero van a ver el chiste es que aquí tenemos una entrada pivote y aquí tenemos otra entrada pivote y estas dos columnas o sea la variable x2 y la variable x4 parecen ser variables libres pero pues vamos a ver bien qué les pasa aquí tenemos que nuestras entradas pivotes son uno muy importante y hay puro ceros en la columna de las variables pivote y esto es una cuestión puramente de estilo pero la segunda variable pivote está abajo ya la derecha de la primera variable pivote ahora todo este bonche de números realmente son puros números para mí así tal cual está complicado interpretarlo por el momento yo nada más tome la matriz ha aumentado de coeficientes y la reduce a su forma escalonada reducida como una máquina tal cual como lo haría tu computadora en algún programa pero sí queremos interpretar esto pues hay que regresarnos al mundo de las ecuaciones así es que a ver esta fila lo que me da es una ecuación del coeficiente de x1 es uno sea x1 es muy variable pivote x uno por uno y luego como éste dos está en la segunda columna tenemos dos veces x 22 por x 2 y 0 veces la variable x3 porque estamos en la tercera columna +0 por x3 mejor dejó el espacio y después 3 x x 4 o sea 3 x 4 y nuestra línea del igual y aquí del otro lado el igual o un 4 la siguiente fila lo que nos da es cero por x 100 x x 2 01 por x 3 x 3 - 2 x 4 - 2 x x 4 y todo eso es igual a 4 igual a 4 y la tercera fila lo que nos dice es cero por x 10 x x 20 x x 30 x x 4 y todo eso es igual al menos cuatro que hay entonces esta última actuación que es lo que nos dice o sea tal cual lo único que tenemos 0 + 0 + 0 +0 y pues lo que suman es simplemente un solo 0 y lo que nos queda aquí es algo que está súper mal lo que nos queda es que cero es exactamente igual a 4 eso no nos puede pasar nunca esto estoy aquí es simplemente imposible esto es imposible el cero con un can unca puede ser igual al menos cuatro y esto lo que significa es que este sistema de ecuaciones no tiene solución lo que significa es que las superficies que representan las soluciones de cada una de estas ecuaciones que como tenemos tres situaciones tendríamos tres superficies en el recuadro que estas tres superficies de soluciones no se intersectan o sea no hay ni un solo punto en rd 4 que satisfaga las tres situaciones porque recuadro pues porque tenemos cuatro variables conocidas aquí está un 2 3 y 4 entonces nuestras soluciones son digamos vectores x1 y x2 x 3 y x4 y esto pues como son cuatro y pueden ser cualquier real están en r4 y decimos que un vector de éstos en el recuadro de solución si a la hora de sustituir x1 acá x2 en cada una de estas ecuaciones x3 por acá y x 4 en cada uno de estos valores entonces se satisfacen estas situaciones pero justo este resultado de que cero es igual al menos cuatro lo que nos dice es que ningún conjunto de cuatro valores un vector en r 4 satisface estas tres situaciones al mismo tiempo así es que al inicio del video pensábamos que como eran tres situaciones y sólo cuatro variables desconocidas que entonces tiene que haber una infinidad de soluciones pero ahorita nos acabamos de dar cuenta que en realidad no hay ni una sola solución y bueno eso es lo que pasa siempre que en alguna de nuestras pilas de nuestra matriz aumentada hay apuro ceros del lado izquierdo de la raya del igual y algún valor distinto de cero del lado derecho es muy difícil visualizar o imaginarse cosas en rd 4 pero imagínense en r3 un plano como por acá y después otro plano que no se intercepte con él pero que éste así como que el elevado digamos que el mismo plano pero más arriba que y además planos que nunca se intersectan entonces por ejemplo un plano puede ser 3x +69 zeta igual 5 y que el otro plano o sea 3 x 69 zeta igual a 2 estos son dos planos en el re 33 que son básicamente el mismo plano pero desplazado en alguna dirección y por lo mismo no se intersectan nunca y entonces no hay ningún lector en r3 ningún vector xz que satisfaga estas dos actuaciones que hay porque tienen exactamente los mismos coeficientes entonces sí hay un vector xz tal que tres equis +6 de +9 se está es igual a 5 a la hora de sustituir lo en esta ecuación pues nos va a quedar que 3x +69 z es igual a 5 y por lo tanto no puede ser igualados y a la hora de hacer la matriz aumentada de los coeficientes y reducirla a su forma escalón la reducida por filas lo que nos va a quedar es una hilera de ceros o al menos 3 o sea aquí mismo lo podemos ver no sea sustituimos la segunda ecuación por una vez la segunda ecuación - la primera ecuación nos queda 0 x + 0 ye na 070 igual a 2 - cinco menos 3 o sea 0 igual a menos tres y pues lo mismo pasa en rd 4 y en el recinto irc ellas y para todos los errores siempre puede haber superficies que no se intercepten y por lo tanto puede haber sistemas de ecuaciones que no tengan solución entonces sí nos queda 0 igual a algo distinto cero sea si nos queda una pila llena de ceros excepto la entrada del otro lado del igual eso significa que no hay solución no hay solución así es que si hay menos ecuaciones que variables desconocida eso no siempre significa que haya una infinidad de soluciones lo que significa es que o hay una infinidad de soluciones o no hay solución si es que siempre que tratando de resolver un sistema de ecuaciones nos queda una ecuación que diga que cero es igual a cualquier otra cosa que no sea cero esto lo que significa es que no hay solución no hay solución por otro lado siempre que tengamos una matriz escalonada reducida por filas en la que en cada columna haya una entrada pívot pp o sea por ejemplo aquí voy a escribir una matriz de esa forma de r4 entonces el sistema de ecuaciones a la que esta matriz aumentada está representando tiene una única solución ok pero bueno a ver aquí tenemos muchas entradas pivote una en cada columna y por lo tanto en el resto de cada columna o sea en el resto de las entradas tiene que haber puro ceros y de este lado de la raya del igual pues puede haber cualquier número real que se nos ocurra por lo tanto vamos a derrotarlos por letras aunque ya aquí puede estar cualquier número al igual que aquí y aquí y aquí y de todas formas como en cada columna tenemos una entrada pivote entonces hay una única solución que hay una solución única ahora el último caso que nos falta del cual de hecho tenemos un ejemplo en el primer vídeo de esta serie en el que tenemos una cantidad infinita de soluciones y su matriz en su forma escalonada reducida por filas se ve así que ahí tenemos la primera fila con su entrada pivote no sé digamos que está como por a que aquí quien sabe que tenemos y la segunda y la vamos a ponerle que su entrada pivote no está en la segunda columna sino en la tercera se quiten un 0 y un 0 y un 0 y pues como éstas son entradas pivote entonces aquí tiene que haber ceros ok y finalmente no se diga que hay un no nada más al estar podría haber un cero como sea pongámosle un cero por acá aquí definitivamente tiene que haber un cero porque ésta es la siguiente entrada pivote y aquí podríamos tener una entrada pivote pero pues también la podemos dejar con su entrada a 0 aquí puede estar exactamente el número que se nos ocurra vamos a ponerle -3 aquí también deberíamos ponerle una abeja o una algo así pero vamos a ponerle un 7 y lo que sí es muy importante es que aquí ya no lo podemos poner la entrada que se nos ocurra porque de este lado tenemos puros ceros entonces dependiendo de que pongamos aquí va a haber una infinidad de soluciones o no va a haber solución pero como aquí está el caso en el que no hay solución pues aquí vamos a ponerle un cero para que así haya solución entonces aquí tenemos una entrada pivote aquí tenemos la segunda entrada pivote y estas dos columnas que no tiene ni una sola entrada pivote igual está no tiene entrada pívot en ningún lado de esta columna por lo cual representa una variable libre que pueden tomar el valor que se les ocurra y como aquí esta entrada de acá si es un cero entonces sí hay solución por lo tanto como tenemos dos variables libres entonces tenemos una infinidad de soluciones infinidad de soluciones así es que siempre que tengas una matriz y que la reduzca su forma escalonada reducido por filas te vas a encontrar con alguno de estos tres casos y bueno espero que te parezca útil de esta tabla y estos vídeos