Desigualdad del triángulo con vectores

fue en el vídeo pasado que hablamos acerca de la desigualdad de coches wards y en esta ocasión quiero recordar la desigualdad de coches wards y además ver la famosa desigualdad del triángulo pero antes de eso vamos a recordar que decía la desigualdad de coches wards y de ahí vamos a partir decían tomémonos dos vectores equis y james y estos dos vectores van a existir en rn son dos vectores que existen en rn y recordemos que ninguno de los dos tendría que ser el vector cero eran vectores no nulos y bueno entonces la desigualdad de coches watts me decía lo siguiente si yo me tomo el valor absoluto del producto punto de estos dos vectores esto es menor o igual que la multiplicación de sus longitudes vamos a escribirlo si yo me tomo el valor absoluto de x punto james esto es menor o igual que tomarme la longitud del vector x ya está multiplicarla por la longitud del vector bien y es que al final recuerda que estamos comparando dos valores escalares porque tanto el producto punto te da de resultado un escalar como la longitud te daba de resultado y si nosotros tomamos el valor absoluto de un escalar pues sigue siendo un escalar imagínate que tienes un vector de 50 componentes un vector que existe en r 50 si nosotros calculamos su longitud sigue siendo un número escalar podría darnos por ejemplo 3 y bueno en fin también hablábamos de cuando se cumplía la igualdad y la igualdad se cumple cuando uno de los dos vectores es un múltiplo escalar del otro por ejemplo aquí x es igual a cbs y se cumple la propiedad de que no era cero porque si se fuera cero pues que existe tendrían entonces se es no cero y estamos diciendo que estos dos vectores son con lineales al igual que los vectores solamente que ese es un escalar y entonces decimos que en este momento justo en esta ocasión y solamente en este caso se cumplía la igualdad es decir que x punto james en valor absoluto es exactamente lo mismo que la longitud de x multiplicada por la longitud de jeff las longitudes de héctor x multiplicada por la longitud del vectorial y esto es lo que decía la desigualdad de cosas wards y bueno también la igualdad de colisión en el caso en el que los dos vectores eran co lineales y bueno a partir de aquí quiero empezar el vídeo de hoy y lo que quiero empezar a ver es tomarme dos vectores y sumarlos y después tomarme la longitud de esta suma de los vectores recuerda que la suma de dos vectores también es un vector y a esta longitud elevarlo al cuadrado así que déjame escribirlo la longitud de la suma de dos vectores elevada al cuadrado y la estoy elevando al cuadrado porque recuerda que esto era exactamente lo mismo que tomarme el producto punto del vector que está dentro de la longitud junto el mismo fíjate que estos dos vectores te dan un vector y entonces esto lo podemos escribir de la misma forma que x + punto x + james es justo la primera propiedad que vimos en el primer vídeo de esta serie entonces x + punto x + jim y bueno recuerda también que vimos ya varias propiedades del producto punto como que es conmutativo o como que era distributivo y de hecho justo esta es la propiedad que quiera utilizar ahorita el producto punto es distributiva así que voy a aplicar las mismas reglas para abrir este producto punto bueno tal vez en el vídeo pasado le hice un poco rápido y no quiero que te confundas al final el producto punto se comporta como si tuviéramos dos binomios multiplicándose entonces para que no te confundas otra vez déjame tomar un nuevo color y voy a poner la multiplicación o como se hable el producto punto por la distributiva that de una manera bastante clara voy a poner x + james en los primeros dos sumandos de color amarillo x + james punto x ma jin y bueno utilizando la propiedad distributiva precisamente el producto punto esto me quedaría como x punto x magem ya esto le tengo que sumar 10 puntos x + jr pero este ya de amarillo déjame ponerlo de color amarillo para que no nos perdamos es que esté ya del sumando amarillo punto x + james lo único que estoy haciendo es abrir el producto punto de estos dos mandos que yo tengo aquí lo único que hice fue separar el producto punto tanto para el primer sumando como para el segundo sumando y bueno utilizando otra vez la misma propiedad si yo saco el producto punto de x x más bien pues esto es lo mismo que x x + x ya dejamos que vivió aquí abajo esto es justo lo mismo que x x la x de amarillo la otra x que es de color azul más x punto james la x de amarillo punto la de color azul ya esto le tengo que agregar ye punto x más pero de igual manera si se cumpla es tribu tividad en el producto punto aquí me va a quedar 10 x más de punto james jay de color amarillo punto x de color azul más y punto hoy en día de color amarillo punto jet de color azul y bueno a continuación me voy a ir a un poquito más rápido porque lo que quiero recordar es algo que ya vimos varias veces x punto x quien es x x es lo mismo que la longitud del vector x elevado al cuadrado esto ya lo habíamos utilizado aquí arriba x punto x es exactamente lo mismo que la longitud del vector x elevada al cuadrado así que dejamos escribirlo la longitud del vector x aquí voy a ponerlo la longitud del vector x elevado al cuadrado ya no me importa el color la longitud del vector x elevado al cuadrado ya esto le tengo que agregar a quienes tengo que agregar pues tengo una vez x punto y más otra vez y punto x pero también sabíamos que el producto punto era conmutativo cuando tanto x punto y punto x es justo lo mismo y si yo sumo dos cosas iguales pues me quedan dos veces esa misma cosa es decir que estos dos se pueden simplificar en dos veces x punto y 2 que multiplica a x punto y james que al final esto es un escalar ya esto le voy a sumar puntos pero el punto james también sabemos que es exactamente lo mismo que la longitud de ye elevada al cuadrado la longitud de gem elevado al cuadrado que por cierto date cuenta que aquí sigo obteniendo un valor escalar fíjate que tengo una escala más una escalar más una escalar lo cual me da una escalar bueno esto es en primera parte también quiero recordar otra cosa aquí arriba si yo tengo el valor absoluto de un número este siempre va a ser mayor o igual que este mismo número estás de acuerdo y si yo aplico estos mismos vectores me quedaría lo siguiente que x punto james es menor o igual que el valor absoluto de x punto g porque fíjate bien x punto es un escalar pero x punto que puede tomar un valor negativo imagínate que x todas las componentes de x son positivas y todas las componentes de 10 son negativas x punto james sería un valor negativo sería una escalar negativo y esto es menor o igual que si tomáramos este mismo valor pero en valor absoluto por lo tanto esta desigualdad se cumple un número siempre es menor o igual que ese número en valor absoluto y fíjate bien aquí tenemos el valor absoluto de x punto entonces aquí puedo agregar otra pequeña desigualdad me va a quedar que x punto james es menor o igual que el valor absoluto de x punto james que es justo lo que acabamos de ver aquí abajo y esto a su vez es menor o igual que la longitud de x x la longitud de james y esto por la propiedad de la desigualdad de consensuarse y perfecto porque esto lo voy a utilizar bajo esto me va a servir para ya casi finalizar la famosísima desigualdad del triángulo fíjate bien lo que tenemos aquí abajo tenemos dos veces x punto james qué pasa si a continuación un poco que esto es menor o igual que lo que tenemos aquí arriba en la desigualdad de corts iguales esto es menor o igual que fíjate bien voy a poner las dos longitudes al cuadrado iguales y en lugar de poner dos veces x punto james voy a utilizar la desigualdad de coches swartz entonces me va a quedar la longitud de x elevada al cuadrado más dos veces déjame ponerlo aquí más dos veces y ahorita vamos a ver qué ponemos aquí y al final me queda más la longitud de james elevada al cuadrado y aquí en medium voy a reemplazar x punto james por la longitud de x multiplicada por la longitud de ie porque yo sé que esto se cumple la longitud de x por la longitud de y es mayor o igual que x james y entonces se sustituyó esto aquí me va a quedar que esto es mayor o igual que lo que teníamos anteriormente dos veces la longitud de x que multiplica y ahora si me vas a poder creer perfectamente esta desigualdad que acabo de escribir y bueno todo esto que tenemos aquí arriba todo esto de aquí es exactamente lo mismo que la longitud del vector x más elevado al cuadrado con esto fue justo con lo que empezamos por lo tanto déjame escribirlo aquí todo esto era lo mismo que esta expresión que tenemos aquí arriba con esta expresión fue con la que empezamos y entonces me queda que la longitud del vector x más elevada al cuadrado es menor o igual que todo esto que tenemos aquí en la derecha y bueno ahora fijémonos en qué es lo que pasa aquí en la derecha si te das cuenta tenemos algo al cuadrado más dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado y si sabemos que la longitud nos da escalares entonces tenemos un escalar elevado al cuadrado más dos veces una escalar por otro escalar más el segundo escalar elevado al cuadrado y esto es justo un binomio al cuadrado perfecto un binomio cuadrado perfecto que habla de que el primer término y el segundo término son la longitud de xy la longitud del yang es decir que esto lo puedo escribir como longitud de x más la longitud de jet todo esto elevado al cuadrado y bueno esto es lo mismo que tenemos aquí a la derecha por lo tanto aquí puedo poner menor o igual que la longitud del vector x más elevado al cuadrado fíjate que se cumple el cuadrado del primero más dos veces el primero por el segundo más el cuadrado del segundo y bueno no vamos a olvidar la parte izquierda de esta desigualdad la longitud del vector x más elevada al cuadrado es menor o igual que esto de aquí la longitud del vector x más elevada al cuadrado es menor o igual que la longitud de x más la longitud del elevado al cuadrado y bueno qué pasa si tomo la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación me va a quedar que la longitud del vector x más james es menor o igual que la longitud del vector x más la longitud del vector james ya esto justo a esto es a lo que se le conoce como la desigualdad del triángulo cuando yo les hablo de la desigualdad del triángulo me estoy fijando en longitudes en qué longitudes es la longitud del vector x más james y a esto la estoy comparando con la de x más la longitud de james y para recordar que es la desigualdad del triángulo recuerda que la longitud del vector x may efe es menor o igual que la longitud de cada uno de los vectores del vector x más la longitud del vector así que ahora me voy a transportar al mundo del papel de las gráficas y ya que tengo aquí las gráficas ahora sí voy a dibujar el vector x voy a dibujar el vector james y vamos a ver esta desigualdad de una manera gráfica imagínate que este es mi vector x no estoy tomando un vector así al azar no importa pero vamos a llamarle a este vector el vector x y entonces lo voy a tomar ahora el vector bien y como me quiero tomar la suma de x + james entonces voy a poner ahí que empiece justo en el punto final del vector x por lo tanto voy a decir que este es mi vector james sin pérdida de generalidad estoy tomando un vector también aquí cualquiera y ahora si tienes el vector x más bien si nosotros nos acordamos el vector x + james es aquel sector que empieza en el punto inicial de xy que termina en el punto final de james así definimos la suma de dos vectores así que este de aquí va a ser director x mayer y bueno la desigualdad del triángulo de lo que me dice es que me fije en las longitudes de todos estos vectores así que vamos a aplicarnos si yo pongo la longitud del vector x ma jin mi desigualdad el triángulo dice que esto debe ser menor o igual que la longitud de x más la longitud de james y si estamos hablando del plano cartesiano de r2 esta desigualdad es muy clara porque si yo quisiera ir de un punto al otro la distancia más corta que hay de un punto al otro es irme en línea recta y no pasar por un punto intermedio porque aquí estamos yendo a otro lugar antes de llegar al punto en el que queríamos acabar nuestro destino y ahora si pensamos en cuando se cumple esta igualdad vamos a pensar en que los vectores también son con lineales fíjate bien imagínate que yo me tomo a éste como el vector x y ahora a continuación le sumó un vector que es co lineal este de aquí va a ser un vector james que es co lineal y además está encima del vector x este de aquí es mi vector y bueno si te das cuenta si éste es mi vector equis y este es mi vector james la suma de x + james es exactamente lo mismo hablando de longitudes que la longitud x más la longitud 10 y bueno si esto nos hace pensar que estos dos vectores son co lineales vamos a ver si las matemáticas nos concuerdan así que déjame quitar de nuevo todo esto que tengo aquí vamos a quitar los planos cartesianos y vamos a trabajar con las matemáticas para ver si realmente se cumple la igualdad del triángulo en el dado caso en el que estamos hablando de vectores con lineales así que fíjate bien voy a suponer otra vez que x es igual a cbs es decir que uno de los dos vectores es un múltiplo escalar del otro déjame escribirlo aquí el vector x es igual hace veces el vector 10 es igual a c veces el vector gemma y bueno ahora yo lo que quiero fijarme es qué pasa con este 2 veces x punto james yo lo que sabía por la desigualdad de coches hertz es que se cumple la igualdad cuando me tomo el valor absoluto de x punto james y claro utilizando que los vectores son se cumplía esta igualdad fíjate bien aquí dice que el valor absoluto de x punto y es lo mismo que la longitud de x por la longitud de james y aquí tengo a x punto y no tengo el valor absoluto de x punto m por lo tanto me faltaría saber si realmente x punto es positivo y no forzosamente es positivo habíamos dicho que un producto punto puede ser que sea negativo sin embargo si yo me tomo a la constante esta constante que tengo aquí como una constante positiva con un número escalar positivo entonces si se cumple que esto es lo mismo que el valor absoluto fíjate bien si yo tuviera x punto james utilizando que x es igual a cbc es el vector y entonces esto me va a quedar c veces el vector punto en vectorial y bueno el punto y es lo mismo que la longitud de y elevada al cuadrado la longitud de y elevada al cuadrado y toda la longitud de un vector es positiva o igual a cero entonces para que éstos sean positivos necesitamos que se sea positivo y si tomamos a ser positivo entonces si en efecto se cumple que x punto y es lo mismo el valor absoluto de x james y es justo lo que queríamos porque si yo tengo 2 veces x punto y estoy tomando a x igual a una constante positiva porque entonces me queda que esto es lo mismo que dos veces el valor absoluto de x punto yen y si además recordamos la desigualdad de coches watts me dice que si los vectores son co lineales se cumple que entonces esto es igual a la distancia de x por la distancia de james entonces me va a quedar que 2 veces x punto y si se es positiva es exactamente lo mismo que dos veces la longitud de x que multiplica a la longitud de jeff ojo recuerda que me estoy tomando la constante positiva y si me estoy tomando la constante positiva entonces estoy diciendo que esta expresión que yo tengo aquí y esta expresión que yo tengo acá son iguales 2 veces x punto james tiene que ser igual a 2 veces la longitud de x por la longitud de james y si te das cuenta este era lo único que nos faltaba para que se cumpliera la igualdad por lo tanto estas dos expresiones serían iguales y terminaríamos diciendo que en este caso la longitud de x y es exactamente igual a la longitud de x más la longitud del diente y ojo recuerda que todo esto lo estamos construyendo tomando en cuenta una cosa bastante importante que los vectores además de ser con lineales es decir que un vector se los múltiplo escalar del otro tienen que cumplir que la constante por la cual está multiplicada el vector ya sea positiva si pasa esto entonces se da la igualdad y si se da la igualdad entonces pasa esto sí y sólo sin que así te acuerdas en los planos cartesianos que yo había dibujado hace rato era exactamente lo mismo que el segundo ejemplo que habíamos visto la longitud de x + i es exactamente igual a la longitud de x más longitud de y cuando teníamos un vector encima del otro y bueno ya casi te estoy escuchando me estás diciendo sal es que el álgebra lineal parece ser un poco boba porque al final todo esto ya lo había visto en alguna clase de secundaria o de preparatoria o es más que por simple intuición yo sé que si yo quiero llegar de un punto a otro de una manera mucho más rápida la manera más rápida de llegar de un punto a otro es la línea recta pero bueno todo esto lo estamos viendo gráfica en r2 sin embargo lo que yo quiero que pienses es qué pasa si tenemos vectores en rn es decir imagínate que agarramos un espacio de 50 10 20 100 dimensiones lo que sí sé es que estos vectores tanto del vector x como el vector james puedan tener n componentes y él no puede ser 100 pueda estar viviendo en r 100 por ejemplo y si nosotros pensamos en vectores con 100 componentes ya no es tan fácil observar esta desigualdad del triángulo y sin embargo lo importante del álgebra lineal es que todos estos resultados los está generalizando para cualquier en el que tú te tomes puede ser en cualquier espacio de n dimensiones y aunque no hemos visto la definición formal de dimensión estoy seguro que ya te estás imaginando lo que es y también por ello es la importancia que tiene esta desigualdad del triángulo claro contando esto que está aquí que no podemos olvidar y de hecho en el siguiente vídeo yo quiero pensar acerca del ángulo entre dos vectores y mediante que nos tomamos un ángulo de dos vectores en r2 y tomamos a decir ay pero en r2 es muy sencillo por ejemplo puedo tomar este ángulo que está aquí pero sí te digo que pensemos en definir un ángulo entre dos vectores de n componentes ya no se pone tan sencillo y esto es justo lo que quiero ver en el siguiente vídeo