Mostrar la relación entre columnas bases y columnas pivotantes

en el vídeo pasado estuvimos trabajando con nuestra matriz y con la forma escalonada de esta matriz al que le habíamos llamado r para encontrar una base del espacio columna de a y la forma de encontrar esta base del espacio columna de amd era utilizando el siguiente método tomábamos la matriz amp y la poníamos en su forma escalonada ya que en su forma escalonada nos fijábamos en aquellos sectores columna que fueran pivote es decir un vector columna que fuera pívot en era que el vector columna que solamente tuviera un uno en uno de sus componentes y en todas las demás componentes cero y entonces decíamos que los vectores columnas asociados a estos vectores pivote de la matriz am eran los que formaban la base del espacio columna de amd y por lo tanto si nosotros nos fijamos en la dimensión del espacio columna de an en este caso nos daríamos cuenta que es 3 porque tenemos tres elementos a 1 a 2 y a 4 ya habíamos dicho que la dimensión del espacio columna de amd le llamábamos con un nombre importante con el nombre del rango el rango de una matriz ahora lo que no vimos en el vídeo pasado 19 y quiero trabajar en este vídeo es entender por qué los vectores pivote de la forma escalonada de la matriz están completamente relacionados con los vectores columna de la matriz a pero antes de eso quiero que recuerdes que si nosotros nos fijamos en la forma escalonada de la matriz son los vectores pivote r1 r2 y r4 forman un conjunto de vectores linealmente independiente estos tres vectores son linealmente independientes y bueno esto lo habíamos visto es justo por construcción porque si tú eres una columna pivote entonces vas a tener un 1 en una cierta entrada y las demás columnas pivote van a tener ceros en esa respectiva fila por lo tanto no va a existir forma de tomar los otros vectores columna de tal manera que yo pueda obtener un 1 en esa entrada y de igual manera para las otras columnas pivote porque las otras columnas pivote van a estar formadas por un 1 en una de sus entradas y 0 en sus demás entradas y bueno cuando hablo de linealmente independiente me refiero a un conjunto de vectores linealmente independiente y no sólo eso cualquier conjunto de columnas pivote de cualquier forma de la matriz a es linealmente independiente y esto tiene toda la lógica del mundo y se basan más o menos en lo mismo de lo que acabo de decir porque cuando nosotros tenemos una forma escalonada de la matriz a sea cual sea entonces las columna pivote tienen un 1 en el de sus entradas y en todas las demás entradas tienen 0 pero bueno esto lo voy a usar porque quiero que te des cuenta de algo si este conjunto de vectores columna pivote son linealmente independientes entonces van a cumplir la siguiente ecuación que ese 1 por r 1 c 1 por ere 1 más c 2 por r 2 más de 2 por r 2 + c3 c4 por r 4 esto tiene que ser igual a 0 si sólo siguen sea 1 c 2 y c 4 son 0 recuerda que esto es justo la definición de que sean linealmente independientes esto va a pasar solamente si se 1 c 2 c 4 son igual a 0 entonces déjame ponerlo aquí si yo tengo esta forma escalonada de la matriz y la multiplicó por el vector c2 c3 y ds3 voy a plan 0 c 1 c 2004 y 0 es decir voy a reemplazar c3 y c5 por 0 y bueno esto lo puedo hacer porque este es un caso particular de encontrar un espacio nulo de la forma escalonada de la matriz a y por lo tanto esto lo hago igual al vector 0 el vector 0 con cuatro componentes entonces date cuenta que esto no quedaría 1 x c 1 + 0 x c 2 + 0 x menos uno o lo podemos ver mejor de la siguiente manera en lugar de hacer toda la multiplicación de esta matriz por este vector voy a recordar una propiedad que ya habíamos visto que propiedad a pues que esto es exactamente lo mismo que perder ser 1 por mi vector columna 1 como c 1 x ni vector columna 1 pero mi vector con una 1 0 1 entonces déjame ponerlo aquí me quedaría c 1 por el vector columna 1 pero es r 1 más de 2 por ere 2 pero por r3 pero como estoy multiplicando por 0 pues esto se va entonces lo que daría más 04 por ere 4 más ere 5 por 0 pero pues al multiplicar por 0 esto se va y esto es igual a 0 y date cuenta de que aquí hay algo muy importante c 1 c 2 y c 4 tienen que ser 0 además de que habíamos dicho el que es un conjunto linealmente independiente quiero que te des cuenta que tanto sea 1 c 2 como c 4 tienen que ser 0 para que se cumpla esta igualdad y la razón por la que estoy construyendo todo esto es que quiero que te des cuenta que si yo pongo estas dos entradas cero entonces este vector c1 c2 0 c 4 y 0 cumpla la ecuación rx igual a 0 pero además yo sé en que esta ecuación rx igual a 0 pero además sabemos que las soluciones a esta ecuación son exactamente las mismas que las soluciones de la ecuación a x igual a 0 y como sé eso a pues porque este es el espacio nulo de la forma escalonada de la matriz am es el conjunto solución del espacio nulo de las formas de la matriz a mientras que por esta parte tengo el conjunto solución del espacio el mundo de la matriz andy y esto ya sabemos que es igual por lo tanto las mismas soluciones tienen que cumplir para estos dos y es que esto me va a servir porque date cuenta que este vector c1 c2 0 c 4 y 0 entonces también debe ser solución de la forma a x igual a 0 cuando sea 1 c 2 y c 4 son 0 entonces como sabemos que este vector está en un espacio nulo de r también está en espacios moldean y por lo tanto se debe de cumplir que por este vector tiene que ser igual al vector 0 justo por lo que tenemos aquí y ojo recuerda que que me estoy tomando dos entradas cero para que todo esto tenga bastante sentido c3 y c5 tienen que ser entradas que sean cero y ahora esto me va a ayudar bastante a encontrar la independencia lineal de mis vectores columna de amp porque porque ahora sé que ese uno por uno más c 2 x 2 se 4x4 porque esto me quedaría a cero entonces me quedarían más de cuatro por cuatro más cero por a cinco entonces no lo voy a poner esto es igual a cero lo único que estoy utilizando es que este vector está en mi espacio nulo de ambas matrices y bueno sabemos que en la construcción debajo c1 c2 y c4 tenían que ser cero por lo tanto aquí la única solución y la única forma de que esto se cumpla es que ese 1 c 2 y c 4 también sean 0 porque tiene que ser exactamente el mismo vector tomándonos estas dos entradas como 0 recuerda que eso es muy importante por construcción hicimos estas dos entradas cero y bueno sí c1 c2 y c4 tienen que ser cero entonces me está diciendo que estas tres son cero y ya con esto estoy obteniendo que la única solución a esta ecuación de azul es que sea 1 c2 y c4 sean 0 y por lo tanto esto quiere decir que el conjunto de vectores a 1 a 2 y a 4 son linealmente independientes es un conjunto de vectores linealmente independientes y perfecto justo a esto quería llegar y de encontrarme que este conjunto de vectores eran linealmente independiente y todo esto fue gracias a que nosotros nos fijamos en la forma escalonada de la matriz amp buscamos aquí las columnas pivote y estas columnas pivote justo por la manera en la que las construimos son linealmente independientes y si son linealmente independientes entonces deben de cumplir la ecuación se uno por r 1 más de 2 por r 2 c4 por r 4 igual a cero y entonces yo puedo tomarme este vector c1 c2 0 c 4 0 que por cierto está en el espacio nulo tanto de la matriz como de la matriz r y por lo tanto cuando yo me tomo la multiplicación de la matriz a por el vector segundo se 2004 y 0 entonces obtengo que los vectores columnas asociados a las columnas pivote de mi forma escalonada de la matriz am son también linealmente independientes y ahora para que tenga una base en lo que nos falta es probar que los dos vectores que no están asociados a los vectores pivote los podemos generar como una combinación lineal de estos tres y esto es justo lo que voy a ver en el siguiente vídeo