Dimensión del espacio columna o rango

aquí tenemos a esta matriz am y yo lo que quiero preguntar en esta ocasión es quién es el espacio columna de a y bueno quién es el espacio columna de amd eso ya lo sabemos el espacio columna de amd es el espacio vectorial generado por los vectores columnas de la matriz am es decir por a el espacio vectorial generado y vamos a ponerles nombre voy a suponer que este es a 1 este de aquí va a ser a 2 y bueno este a-3 a-4 y hasta acá está a 5 entonces el espacio columna de an es el espacio vectorial generado por a uno por a dos por a tres por a cuatro y por a cinco y bueno yo lo que quiero preguntarme también en este vídeo es cuál va a ser una base de este espacio columna de amd porque con esto voy a poder pensar en cuál es la dimensión del espacio columna de a y bueno de hecho sería muy bueno probarlo en este vídeo aunque no creo que me dé tiempo pero seguramente en el siguiente vídeo quiero demostrar t este método para encontrar una del espacio columna de a y bueno pero después de todo esto lo que me gustaría recordar es que es una base del espacio columna de a en general que es una base bueno para hacer una base lo que necesitamos es que sea el espacio vectorial generado por estos vectores lo cual pues lo sabemos porque justamente esta es la definición del espacio columna de amd y además necesitamos que sean linealmente independientes linealmente independientes y es justo eso lo que no sabemos para que esto se convierta en una base este conjunto tendría que ser linealmente independiente y curiosamente es lo que no sabemos pero bueno para encontrar esta base del espacio columna de amd el procedimiento es el siguiente lo primero que hay que encontrar es la forma escalonada de la matriz a así que vamos a trabajar con la forma escalonada de la matriz am y para esto voy a dejar el primer renglón del cualquiera que me mejor ponerlo por acá porque son muchos renglones voy a poner el primer en donde el cual aquí 10 menos 10 4 y ahora en lugar de en redondo os voy a poner el renglón 2 - dos veces el renglón así que manos a la obra es decir me voy a tomar el renglón 2 y le voy a quitar dos veces se atan los 1 y me queda 2 - 2010 es uno después 0 menos 20 menos menos 2 es decir 0 más dos es 2 aquí me queda 20 menos 2 por 0 es 09 - 2 por 4 es 8 por lo tanto me queda un 1 y bueno en este tercer renglón en lugar de poner este tercer renglón voy a poner a que me quiera poner el tercer renglón más el primer renglón de tal manera que me quedan menos 110 20 25 menos uno es 455 menos uno es 4 1 - 0 pues esto es 1 y por último menos 54 lo cual me da menos 1 y bueno en este último renglón lo que voy a hacer es tomarme el rendón número 4 - el renglón número 1 de tal manera que me va a quedar 1 - 1 pero uno menos uno es cero 1 - 0 - 1 - 0 1 - 3 - 1 esto es lo mismo que menos 2 menos 3 más unos menos 2 - 2 - 0 pues esto es menos 2 esto está muy sencillo y 9 menos 4 5 muy bien ya tengo el primer paso porque al final ya tengo abajo de este primer 1 puros ceros vamos bien ahora ya tenemos a una variable pivote o a una columna pivote y ahora lo que necesito es que estos dos de aquí abajo sean a cero porque aquí ya tenemos un cero entonces me quedaría 10 menos 10 4 aquí me queda lo mismo para hacer esta variable pivote 012011 perfecto y ahora lo que quiero es que estos dos de aquí se hagan cero por lo tanto voy a tener que eliminar este 2 y para esto lo voy a tomar el renglón 3 - dos veces el renglón 2 y que me queda de esto bueno pues no debe quedar 0 después 2 - 2 me da cero 4 - 4 pues esto es 0 también después 1 - 0 pues esto es 1 y por último menos uno más 2 - 1 - 2 esto es menos 3 muy bien y ahora lo que tengo que hacer es que también este último renglón aquí me quede 0 para que se convierta este 1 en una variable pívot y para esto me voy a tomar el renglón 4 más el renglón 2 es este fácil entonces me queda 0 después de aquí menos uno más uno es cero menos dos más dos también es 0 - 2 + 0 pues esto es menos 2 y por último 5 más 1 esto es 6 muy bien 5 1 es 6 y ahora date cuenta de cómo va quedando todo esto va bien parece que todo va en orden porque fíjate aquí ya tengo este de aquí es una variable pivote este de que es otra variable el pívot en este pues aquí no voy a tener variables pivote sin embargo ahora lo que quiero es que este este y este también sea una variable pivote y para hacer esta una variable pivote lo que tengo que hacer es pues quitar este 2 de aquí me ponen un cero y para quitar este 2 de aquí y poner un cero lo que a hacer es poner todo aquí lo primero que voy a hacer es copiar todo lo que la información que ya tengo es 10 - 10 4 10 -1 04 01 2010 12 01 00 01 - 13 0 0 0 1 2 3 y ahora en lugar de poner el renglón 4 voy a poner a el renglón cuatro más dos veces el renglón 3 de tal manera que que me va a quedar 0 0 después menos 2 más 2 pues esto va a ser cero también y por último 6 más menos 3 por 2 lo cual también es 0 y bueno no hay que preocuparnos porque ya por fin aquí tengo mi forma escalonada de la matriz a este de aquí este de jan poner lo mejor este es mi forma escalonada de la matriz a que para hacerlo mucho más fácil le voy a poner el nombre de r así que déjenme apuntarlo aquí esta es la forma escalonada de la matriz a lo voy a poner aquí la forma escalonada de la maté que para los cuates es r así que eres igual a esta matriz muy bien que por cierto ya tengo mis variables private lo que quiero que te des cuenta es que aquí ya tengo tres variables pivote esta de aquí es una columna pivote esto de aquí es una columna pivote está nombre sin embargo esta también es una columna pivote porque date cuenta que hay un 1 en puro ceros después otro 1 y puro ceros y por último otro 1 y puro ceros y por esto estas son mis tres columnas pivote ahora si les ponemos su nombre no sea éste le voy a llamar r 1 a esto es lo voy a llamar r2 y r3 r4 y r7 r1 r2 r3 y por lo tanto este sería r 4 lo que quiero que veas es que el conjunto formado por r1 r2 y r4 es un conjunto de vectores linealmente independiente éste es un conjunto de vectores linealmente independiente y eso nos va a servir bastante pero antes fíjate que es linealmente independiente porque aquí tengo un 1 y no hay ninguna forma de formar este uno con este 0 y con este otro 0 dicho si yo aquí tengo uno en este componente no hay ninguna combinación lineal de r2 y de r 4 de tal manera que me dé un 1 aquí porque por ejemplo yo pongo 300 por 0 + menos 3 por 0 pues esto va a ser cero y nunca me va a dar 1 para lo que sea esto nunca me va a dar 1 por lo tanto necesitamos a este vector que tenemos aquí y por lo tanto entraría en un conjunto de linealmente independiente sin embargo ahora nos fijamos en el en el siguiente vector en r2 y qué creés con r 2 pasa algo muy parecido porque aquí tenemos un 1 y después tenemos dos ceros aquí al lado por lo tanto no hay forma de que nos tomemos una combinación lineal con r1 y r4 para que me dé r2 y de igual manera para r4 por lo tanto aquí estamos viendo que r1 r2 y r4 son idealmente independientes y de hecho pues es la definición de columnas pivote las columnas pivotes siempre va a ser linealmente independientes y ahora si lo regresamos la matriz a que cree es éstas que son nuestras columnas asociadas a estas columnas pivotes son también linealmente independientes ojo ahorita no he demostrado había eso déjame aquí ponerles el círculo muy bien y aquí lo voy a poner connotación de conjuntos a 1 a 2 a 4 estas cuatro columnas son linealmente independientes y bueno ahorita todavía no lo he demostrado sin embargo justo en el vídeo siguiente lo que voy a hacer es precisamente demostrar esto que si nosotros aplicamos todas las operaciones para llegar a la forma escalonada de la matriz am esto no afecta que estos vectores sean linealmente independientes por lo tanto por ahorita quiero que me creas esto y ahora para que fueran una base del espacio columna de amd lo que quiero que veas es que ya tenemos que son linealmente independientes pero lo que sí vemos bueno preguntarnos es si generan el espacio vectorial generado por estos cinco vectores es decir que si podemos prescindir de este vector y de este otro vector y fíjate que este vector y este vector están asociados a estos vectores columna que no eran vectores pivote por lo tanto lo que quiero decirte en este momento es algo muy importante y también lo voy a probar en el siguiente vídeo cuando yo tengo a mis vectores pivote a mis vectores columna pivote y estos forman linealmente independiente entonces cuando yo me regreso la matriz am estos son ni más ni menos que la base del espacio columna de a podemos entonces prescindir de estos dos vectores columna a tres ya cinco porque el espacio vectorial generado por a uno por actos y por a cuatro es el espacio vectorial generado también por a1 a2 a3 a4 y a5 es decir que cualquier combinación lineal que obtenga con estos cinco vectores la pueda encontrar también con una combinación lineal de estos tres vectores pivote esto es también padre porque aunque no lo ha demostrado estoy diciendo que estos vectores columna pivote son muy importantes porque me dan mi base del espacio columna de a y más aún este vector a tres y este vector a cinco los puedo generar con una combinación lineal de a uno a dos y ya cuatro por lo tanto esta es exactamente la respuesta debe encontrar una base para un espacio columna ahora quiero preguntarme otra cosa ya sé y eso lo voy a apuntar aquí ya sé que la base del espacio columna de unos vectores a 1 a 2 a 4 los vectores columna de amd estos tres vectores columna de amd forman mi base del espacio columna de a es decir que dejamos fuera a estos dos estos dos no están ahora si yo me quiero preguntar sobre la dimensión del espacio columna de amd y déjame contarlo aquí yo lo que quiero a ver ahora es cuál es la dimensión del espacio columna de amd y bueno habíamos dicho que la dimensión de un sub espacio es la cantidad de elementos que tenía la base del psuv espacio es decir si yo quiero calcular la dimensión del espacio columna de amd pues tengo que contar que tengo tres elementos a uno a dos ya cuatro y esto es lo que se conoce como la dimensión del espacio columna de ambos que por cierto tiene un nombre especial se llama el rango el rango de a no es ni más ni menos que exactamente lo mismo que la dimensión del espacio columna de a es decir tres y bueno entonces regresemos a esta idea si yo quiero saber el rango de am lo que tengo que ver es cuáles son mis vectores columna que forman una base del espacio columna de am es decir un conjunto que fuera linealmente independiente y además que generará el espacio columna de a y para hacer esto lo que hicimos fue encontrar la forma escalonada de la matriz am y aquí encontrar cuáles sean los vectores columna pivote de esta forma escalonada de la matriz a los cuales nos ayudaban a encontrar precisamente los vectores columna asociados a ellos y justo eso es lo que voy a ver en el siguiente vídeo voy a demostrar que esto siempre sirve y además queda pendiente de mostrar también que este conjunto genera a todo el espacio columna de a