Dimensión del espacio nulo o nulidad

aquí tengo a esta matriz de hilo que crece en este vídeo es calcular la dimensión del espacio nulo de la matriz b y bueno antes de calcular la dimensión del espacio nulo de la matriz b hay que recordar que es el espacio nulo y el espacio nudos de una matriz la habíamos definido de la siguiente forma como los vectores x que viven en donde bueno en este caso van a vivir en 1 2 3 4 5 en r 5 como los vectores que viven en r 5 tales que la matriz b x el vector x esto tiene que ser igual al vector 0 así habíamos definido el espacio nulo y bueno para calcular primero el espacio no lo que me voy a acordar es de un resultado que habíamos sacado hace algunos vídeos que el espacio nudo de la forma escalonada de la matriz vean es exactamente el mismo que el espacio es nulo de la matriz b y esto me va a servir bastante porque entonces lo que voy a hacer es que escalonar la matriz b entonces lo primero que vamos a hacer en este vídeo es escalonar esta matriz ven y para esto lo que voy a hacer es dejar el primer renglón tal cual el renglón 2 sustituirlo con el renglón 2 no sé random uno por lo tanto voy a dejar el cual deje ese renglón 11 232 y en lugar de poner el renglón 2 lo que voy a poner es el renglón 2 no se rindió no entonces me queda 1 - 1 0 1 - 1 0 3 - 2 1 1 - 3 - 2 y después 4 - 2 es 2 perfecto y bueno una vez que ya tengo esta matriz ahora date cuenta que lo que quiero es que este sea mi variable pivote y por lo tanto tengo que quitar este 2 de aquí para quitar este 2 de aquí lo que voy a hacer es tomarme el renglón 1 y sustituirlo por el renglón 1 - dos veces el renglón 2 por lo tanto vamos a dejarlo en 2 tal cual 0 0 1 - 22 y el renglón 1 lo voy a cambiar por el renglón 1 - dos veces el renglón 2 y dice 10 11 - 0 1 2 - 2 0 3 - menos 2 x 2 esto es lo mismo que 3 + 4 3 4 7 y 2 por 2 son 4 menos por menos más 34 son 7 muy bien y después dos menos 2 por 2 2 menos 4 lo mismo que menos 2 muy bien ya tengo esta matriz y qué creés esta ya es la matriz de la forma escalonada debe aquí ya tenemos la forma escalonada de la matriz ven y recuerda que la voy a ocupar para sacar el espacio nulo por lo tanto lo voy a multiplicar por el vector x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y esto lo voy a hacer igual al vector 0 0 y entonces que me va a quedar pues me van a quedar las ecuaciones si yo hago la multiplicación de esta matriz por este vector me va a quedar una primera ecuación que va a tener como variable pivote x 1 es esta de aquí estas dos son mis variables pivotes y me queda 1 x x 1 + 1 x x 20 x x 3 pues eso no se ponen más 7 x x 4 - 2 x 5 2 x 5 y esto es igual a 0 recuerda que estoy trabajando con la primera componente de estas ecuaciones ahora no voy a tomar mi segunda ecuación y mi segunda ecuación quién va a ser bueno como esta de variable pivote entonces me va a quedar 0 x x 10 x x 2 + 1 x x 3 - 2 x x 4 - 2 x x 4 + 2 x x 5 esto igual a 0 esta es justo ni otra ecuación que me sale de mi vector resultante muy bien y recuerdan que yo tras lo que iba era tras las variables pivote como ya sé que x 1 y x 3 son mis variables pivote entonces déjame ponerlo de la siguiente manera con el mismo color voy a despejar tanto a x1 como x 3 así que veamos x 1 es igual a menos x 2 menos 7 veces x 4 más 2 veces x 5 esto de la primera ecuación y bueno de la segunda ecuación voy a obtener que x 3 es igual a 2 veces x 4 a 2 veces x 4 menos 2 veces x 5 está de la segunda ecuación y bueno todo esto porque entonces ya sé cómo puedo ver a todos mis vectores que son parte de este espacio nulo todos los vectores de la forma x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 que forman un espacio nulo son de la siguiente manera y bueno en lugar de escribir a x1 y x 3 voy a sustituirlo por sus respectivos valores que tengo aquí entonces todo depende de x2 por un vector más x x 3 no porque x 3 lo vamos a poner entonces me queda x 4 x 4 la siguiente variable que no es pivote + x 4 por otro cierto vector y por último a esto lo voy a sumar más x 5 por otro vector que ya no me cabe aquí así que no es que esto se va a ver bastante feo déjame mejor borrar esta ecuación porque si yo aquí pongo todo amontonado no me vas a entender entonces vamos a borrar todo esto déjame espera espera no se quiere pasar déjame pasar lo del otro no no se puede haber tomemos la goma y fue a borrar todo esto lo voy a copiar primero aquí abajo x 3 es igual a 2 x 4 menos 2 x 5 y empezamos a borrar vamos a borrar todo esto vamos a pensar que nada sucedió para que así tenga espacio suficiente para ponerte a este espacio nulo así que borramos todo esto y ahora si x 2 por un vector más x 4 por otro vector más x 5 por otro vector y bueno x 1 lo podemos ver como menos una vez x 2 menos 7 veces x 4 menos una vez x 2 menos siete veces x 4 más 2 veces x 5 esto es lo que me dice la primera ecuación estás de acuerdo ahora de una vez utilizamos la información que tenemos en la segunda ecuación x 3 mm variable pivote y entonces la voy a poner aquí como 2 veces x 4 menos 2 veces x 5 2 veces x 4 menos 2 veces x 5 entonces aquí va aún menos 2 y en x 2 0 pongámoslo porque aquí va un 0 y x2 pues x2 no nos complicamos la vida x2 es lo mismo que una vez x2 entonces voy a poner una vez x 20 veces x 4 + 0 veces x 500 y x 4 pues lo puedo ver cómo una vez x 4 entonces en lugar voy a ponerlo con otro color si mejor vamos a poner con otro color las otras variables 1 0 0 y ahora voy a poner esta variable x 4 y x 4 lo puedo ver como 0 veces x2 una vez x 4 y 0 veces x 5 y por último x 5 lo puedo ver como 0 veces x 20 veces x 4 y una vez x 5 muy bien todo esto todo esto lo estoy construyendo porque entonces ya sé cómo se ve el espacio nulo de la matriz ven date cuenta de esto si nosotros llamamos a para no hacerlo más complicado porque tenemos vectores con cinco entradas vamos a llamar a esto b1 b2 y b3 y entonces ya sé que mi espacio nulo de la matriz de que acabo de construir es exactamente igual y déjame ponerlo aquí todos los vectores x estos que cumplen mi ecuación en px igual al vector 0 es exactamente igual al espacio nulo de la matriz a que es exactamente igual al espacio nulo de la forma escalonada la matriz a que es exactamente igual al espacio vectorial generado por estos tres vectores al espacio vectorial generado por b1 b2 y por b 3 y bueno aquí voy con todo esto este ejercicio tuvo muy padre pero a donde quiero llegar yo lo que quiero construir en este en este vídeo es un conjunto linealmente independiente y entonces linealmente dependiente es decir estos tres vectores son linealmente independientes esa es mi pregunta que ahora me quiero responder es decir ya sé que mi espacio nulo ese espacio vectorial generado por estos tres vectores sin embargo lo que no sé es si estos tres vectores forman una base de este espacio en uno y es justo por eso que necesito la independencia lineal y bueno como se decisiones linealmente independientes en esto este vector uno tiene asociado un 1 a esta variable el libre x 2 es decir que si yo me preguntara si puedo formar una combinación lineal con estos otros dos vectores de tal suerte que me den el vector 1 la respuesta es que no porque cualquier combinación lineal de estos dos vectores siempre me va a dar 0 en esta componente y nunca voy a poder formar un 1 por lo tanto es indispensable poner a este vector uno en nuestro conjunto independiente sin embargo ahora me puedo hacer la misma pregunta para este vector 2 podemos prescindir de este vector 2 es decir haciendo una combinación lineal del vector 1 y el vector 3 de tal suerte que yo puedo obtener este vector 2 y la respuesta es muy parecida a la pregunta anterior si te das cuenta aquí en este vector dos tenemos asociado un 1 a x 4 déjenos ponerlo con un color este 1 está asociado en la variable x 4 y sin embargo es la única forma de obtener aquí un x 4 porque las otras dos componentes asociadas a esta misma variable tengo un 0 y otro 0 por lo tanto no hay forma de encontrar una combinación lineal del vector 1 y el vector 3 que me den de resultado el vector 2 y muy parecido para este vector 3 date cuenta que aquí tenemos un uno asociado esta variable libre x 5 y por lo tanto no va a haber forma de encontrar una combinación lineal con la cual pueda obtener un 1 en esta quinta componente por lo tanto me estoy refiriendo a que estos sí son un conjunto de vectores linealmente independientes y mejor aún ya acabo de demostrar que el vector 1 al vector 2 y el vector 3 este conjunto de vectores son linealmente independientes y además generan al espacio nulo de la matriz b por lo tanto son una base pues precisamente lo que quería del espacio nudo de la matriz am no espera estábamos hablando de la matriz b de la matriz de porque aquí tengo una a estar medio raro teníamos una matriz b en un principio por lo tanto aquí hay que poner una vez es el espacio nulo de la matriz b y este es el espacio nudo de la forma escalonada de la matriz b perdón un error de dedo muy bien pero lo importante de todo esto es que aquí tenemos un conjunto de vectores linealmente independientes y qué genera al espacio nulo de la matriz bay por lo tanto es una base de el espacio el mundo de la matriz ver pero bueno aquí no acaba todo este asunto porque realmente yo lo que quiero es preguntarme sobre la dimensión de este espacio nulo de la matriz ven y lo que hice en el vídeo pasado fue una demostración acerca de la dimensión de cualquier sub espacio así que vamos a recordar primero que era la dimensión de un sub espacio y bueno la definición era muy fácil es la cantidad de elementos es el número de elementos la cantidad de elementos que tiene una base de este sub espacio y lo que vimos en la demostración del vídeo pasado es que siempre era la misma cantidad de elementos para todas las bases de este sub espacio cada una de ellas tienen la misma cantidad de elementos muy bien entonces así defino la dimensión de un sub espacio entonces si me pregunto por la dimensión del espacio nulo de la matriz ven yo quiero saber la cantidad de elementos que tiene cualquiera de las bases del espacio no lo de la matriz b y bueno aquí ya tenemos una base explícita esta base tiene 123 elementos por lo tanto la dimensión del espacio nudo de la matriz b es igual a 3 y también a esta dimensión del espacio nulo de la matriz b se le conoce como la nulidad nulidad de la nulidad de b en este caso es 3 muy bien a esto podría llegar pero también aquí tenemos una pequeña reflexión porque tres son los vectores que están aquí en esta fase del espacio nuevo de la matriz ven sin embargo dt cuenta que están asociados con las variables libres aquí tenemos tres variables libres y por lo tanto tengo curiosamente tres elementos en el espacio nulo de la matriz p por lo tanto lo que quiero que veas es que la nulidad de amd para cualquier matriz am la puedo ver como la cantidad de vamos a poner de esta manera la cantidad de variables libres la cantidad de variables libres que tengo en la forma escalonada de la matriz a recuerda que esta forma escalonada es muy importante en la forma escalonada de la matriz a bueno es que esto no tiene poco sentido no no mejor lo voy a poner como la cantidad de columnas no pivotes el número de columnas no pivotes de mi forma escalonada de la matriz a así que para que no quede duda vamos a revisarlo el número de columnas no pivote vamos a subir esta pantalla para que te des cuenta lo que hicimos aquí tengo mis tres variables que son libres pero realmente estas tres variables que son libres salen de mis columnas que no son pivotes en mi forma escalonada de la matriz b por lo tanto vamos a fijarnos en la forma escalonada de la matriz b para ver si tienen la misma cantidad de elementos y fíjate aquí tenemos 1 2 3 esta primera columna está asociada a x2 esta segunda columna está asociada a x 4 y esta tercera está asociada a x 5 es exactamente lo mismo son la cantidad de columnas que no son pivotes cotizó otra manera mis variables libres espero que hayas encontrado todo esto vagamente útil