Introducción al espacio nulo de una matriz

en este vídeo quiero hablarles acerca de sub espacios y la multiplicación de una matriz por un vector pero antes me gustaría dar un resumen de que era un sub espacio y qué propiedades habíamos visto en un sub espacio así que aquí me voy a tomar un sub espacio que hace algunos vídeos habíamos hablado de ellos y le voy a poner este sub espacio ese y bueno ese era un sub espacio si cumplía lo siguiente en primer lugar el vector 0 existía en ese esta es mi primera condición que tiene que cumplir un sub espacio la segunda de cielo siguiente si tenemos los vectores b1 y b2 existentes en el sub espacio entonces la suma de b1 b2 tiene que existir también en el sub espacio si tenemos los vectores aquí en su espacio la suma también tiene que estar en este sub espacio esta es la segunda propiedad que le pedíamos a un sub espacio y la tercera era que era cerrado bajo la multiplicación que quiere decir eso que si nosotros tomamos una constante los reales una constante cm y después tomamos un vector que existiera aquí en el sub espacio entonces la multiplicación de este escalar por mi vector de 1 tenía que existir en el sub espacio esto quiere decir que ese está cerrado bajo la multiplicación así que si tenemos un espacio se tiene que cumplir que el 0 existe en su espacio que si tenemos dos vectores la suma existe en el sub espacio y que una constante multiplicada por un vector del sub espacio me dé un vector que también existe aquí en el sub espacio ahora vamos a pensar en lo que habíamos hablado en el vídeo pasado acerca de la multiplicación de una matriz por un vector me voy a tomar una matriz a que sea de m por n la dimensión de asm por n y bueno yo es lo que quiero aplicarme es la ecuación homogénea que justo en este momento te voy a definir si yo tengo esta matriz multiplicada por un vector y esto igualado al vector cero entonces estamos hablando de que tenemos una ecuación homogénea tenemos una ecuación homogénea porque tenemos igualada cero ahora bien te quiero preguntar lo siguiente todos estos vectores que cumplen esta ecuación homogénea forman un sub espacio es decir si me tomo a todo el universo a todo el conjunto de vectores x que cumplan esta propiedad de la ecuación homogénea será que ellos forman un sub espacio válido a ver intentemos escribir el conjunto me queda el conjunto de las equis que existen en rn y ojo mis vectores viven en rn porque mi matriz es de m por n y la única forma de definir esta multiplicación es que x tenga n componentes recuerdas si la matriz era de m por n entonces el vector tenía que ser de n x 1 y bueno yo lo que le estoy pidiendo a este vector es que cumpla que la matriz a multiplicada por este vector x sea igual a 0 este es el conjunto de todo el universo de vectores que cumplan esta propiedad mi pregunta en este caso es este conjunto un sub espacio pues vamos a ver tenemos que cumplir estas tres propiedades la primera que el cero existe en ese así que vamos a intentar ver si 0 existe en este sub espacio voy a tomar a la matriz a y le voy a multiplicar por el vector 0 será que esto me cumple que es igual al vector 0 vamos a ver si yo tengo aquí a la matriz a que tiene como entradas a 11 a 12 hasta 1 ene y para abajo a 11 a 21 hasta a m 1 y hasta acá tenemos a la entrada a mn ya que tenemos todas estas entradas y ahora lo multiplicó por el vector 0 el vector 0 si te das cuenta es aquel vector que está en rn pero que todas sus componentes son 0 así que tenemos n 012 y hasta llegar a línea vocero todas las componentes de este vector son 0 y bueno pues ha llegado la hora de recordar cómo definimos la multiplicación de una matriz por un vector lo primero que quiero que recuerdes es que nuestro resultado era un vector y en cada una de sus componentes nos quedaba lo siguiente a 1 1 x 0 + a 1 2 x 0 + así hasta llegar a más 1 n por 0 eso en nuestra primer componente así que si tenemos todo x 0 me quedan 0 en la primera componente en las el componente sería a 2 1 x 0 + a 2 2 x 0 + a 2 3 x 0 + así hasta llegar aa 12 n x 0 pues también me va a dar 0 y en el siguiente también me va a dar 0 y así si nos seguimos fila por fila multiplicando por este vector 0 pues nos va a dar 0 0 0 0 recuerda que una de las formas de ver la multiplicación de una matriz por un vector era tomar el producto punto de cada uno de los vectores filas de la matriz a punto nuestro vector x que en este caso es el vector 0 y entonces si te das cuenta nuestro resultado nuestro vector resultante va a ser cero cero cero cero cero cero o sea el vector cero y por lo tanto acabamos de ver que el vector cero si cumple y si se cumple esta ecuación homogénea nuestro vector cero esto quiere decir que el cero existe en este conjunto que estamos construyendo en el conjunto de todos los vectores que existen en rn tales que cumplen la ecuación homogénea entonces el cero existe y ahora vamos a probar la siguiente propiedad que por cierto le voy a poner el nombre de n n va a ser el conjunto de todos estos vectores entonces ya tenemos que el cero existe en n ahora vamos a tomarnos dos vectores aquí en n vamos a tomar los dos vectores que cumplan esta ecuación homogénea será acaso que la suma de estos dos vectores exista también en n es decir cumple la ecuación homogénea entonces b1 b2 existen en n y bueno por definición si b1 y b2 existen n n quiere decir que a por b 1 es igual a 0 y que a por b 2 es igual a cero es decir cumplen la ecuación homogénea vamos a escribirlo aquí a por b 1 es igual a 0 ya por b 2 es igual a 0 y estos por construcciones precisamente de este de este conjunto n habíamos dicho que todos los vectores que vivían en este conjunto n en especial de 192 cumplen la ecuación homogénea entonces ya tengo que a por ver uno es igual a cero por b 2 es igual a 0 qué va a pasar si aumentamos la matriz ya multiplicó por la suma de estos dos vectores la matriz a x b1 b2 y bueno creo que no he visto en ningún vídeo que cuando yo multiplico a una matriz por una suma de vectores esto cumple la propiedad distributiva sin embargo es muy fácil que lo veas sería cuestión de que tú lo trabajaras un poco y que tú solito demostrar es que la multiplicación de una matriz por una suma de vectores cumple la distributiva y that o sino en algún vídeo pronto haré estas demostraciones pequeñas que son bastante interesantes y que en este momento me va a servir bastante porque tengo que a por ver uno más b 2 que es exactamente lo mismo que la matriz a por b 1 más la matriz a por b 2 pero a por de 1 es el vector 0 ya por b 2 es el vector 0 y el vector 0 más el vector 0 nos da el vector 0 esto quiere decir que cumplimos la segunda propiedad de un súper espacio me tomé dos vectores aquí nn y estoy descubriendo que si yo me tomo la suma de estos dos vectores y trabajo un poco con ellos entonces llegó a que vea uno más de dos también existen en n porque cumplen la ecuación homogénea y perfecto entonces ya tengo un punto más para el sub espacio lo voy a poner aquí b1 b2 también existe en n esta es mi conclusión y por lo tanto ya tengo mi segunda propiedad en el segundo punto de un sub espacio será que cumple la tercera que está sí precisamente la tercera es la que no cumple así que me voy a tomar en n b 1 están n y como están en el cumple que a por b 1 es igual al vector 0 y ahora me voy a tomar una constante por b 1 será queda constante por b 1 también existe en este conjunto n pues vamos a ver quién es la matriz a que multiplica a la constante por b 1 pues vamos a calcular esto si esto es igual a 0 entonces cumple la ecuación homogénea y entonces ya acabamos de demostrar que si es un sub espacio sin embargo otra propiedad que no demostrado pero que realmente es muy sencilla de mostrar y creo que en algún vídeo voy a demostrar estas cositas que son muy sencillas sin embargo sería muy bueno que tú trabajaras en ellas es que si yo tengo una constante multiplicado a un vector y después tengo una matriz multiplicando a esto entonces la constante puede salir es decir puede quedar en un principio es decir me va a quedar esto igual a la constante por la matriz a que a su vez multiplica al vector y ojo la constante es un número mientras que la matriz y el vector no lo son pero yo lo que sé es que a por b es igual a cero recuerda que no vector b 1 por construcción existía en n este es el vector m 1 existía en n y por lo tanto cumple la ecuación homogénea por lo tanto esto de aquí es el vector 0 y una constante multiplicando el vector 0 pues es una constante que multiplica 0 0 0 0 0 y eso es el vector 0 también y ya está perfecto acabo de demostrar también esta propiedad la tercera propiedad para que fuera un sub espacio si tengo a un vector en n entonces la constante por el mismo vector también existen n cumple la ecuación homogénea y por lo tanto acabamos de llegar a que este conjunto n de todo el universo de vectores que cumplen la ecuación homogénea es un sub espacio perfecto es decir acabamos de ver que el 0 el vector 0 existen en el que el conjunto encerrado bajo la suma y además es cerrado bajo la multiplicación ya este conjunto n se le conoce como el espacio nulo de a muy importante este conjunto n se le conoce como el espacio no lograda que no puede ser que naranja n es igual al espacio nulo matriz es decir que si en uno de los siguientes vídeos yo te pregunto cuál es el espacio nulo de una matriz am y te doy una matriz arbitraria a entonces si yo te digo encuentran el espacio no lo dejan voy a pensar en el conjunto de todos los vectores que existan en rn el universo de todos estos vectores tales que cumplan que a por cada uno de estos vectores x sea igual al vector ser y voy a hablar de esto en el siguiente vídeo