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Espacio nulo 2: calcular el espacio nulo de una matriz

Calcular el espacio nulo de una matriz. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

en el vídeo pasado estuvimos hablando acerca del espacio nulo y de hecho construimos bastante teoría acerca del espacio pero en este vídeo que hacer un ejercicio específico para encontrar el espacio nulo de esta matriz es decir voy a buscar todos los vectores de la siguiente manera déjame poner aquí a mi vector x que va a ser mi vector cuyas componentes son am x1 y x2 x 3 y x 4 este vector x voy a decir que está en el espacio un nulo de esta matriz am se cumple que esta matriz a por este vector x es el vector 0 que por cierto cuántos componentes debería de tener mi vector resultante pues ya es una matriz de tres por cuatro tenemos tres filas y cuatro columnas y por otro lado del vector x que es de 4 x 1 tengo cuatro filas por una columna déjenme ponerlo aquí x es un vector de 4 por 1 existe en r 4 entonces mi vector resultante debe tener 3 por 13 filas por una columna es un vector que existe en la red justo esto fue lo que vimos en la primera vez que hablamos acerca de la multiplicación de una matriz por un vector así que entonces si yo tengo a esta matriz a y lo multiplicó por mi vector x y yo quiero que este vector x este es un espacio nulo entonces me tienen que dar el resultado el vector 0 pero el vector 0 con tres componentes el que existe en r3 y bueno déjame escribirlo aquí yo lo que voy a buscar en este vídeo es el espacio nulo de la matriz a y lo definir la vez pasada como todos los vectores x en r 4 que cumplen los siguientes x existen r 4 porque tenemos 4 componentes y van a cumplir que la matriz ha multiplicado precisamente por este vector me tiene que dar el vector 0 que multiplica al vector x es igual al vector 0 y yo lo que voy a buscar es todo estos vectores x todos ellos el universo de estos vectores x que cumplan esta propiedad pero bueno a ver primero voy a hacer la multiplicación de esta matriz por este vector y que me va a quedar pues me queda 1 por x 1 1 por x 1 es x 1 + 1 por x 2 es x 2 + 1 por x 3 que es x 3 y después 1 por x 4 que es x 4 x 1 + x2 más extremos x 4 y esto tiene que ser igual a la primer componente de este vector resultante es decir tiene que ser igual a cero ahora vamos con el producto punto del segundo vector fila con el vector xy tiene que ser igual a cero me queda que x 1 más 2 veces x 2 más 3 veces x 3 más 4 veces x 4 más 4 veces x 4 esto tiene que ser igual a otra vez al escalar 0 tiene que ser igual a 0 a este 0 que tengo aquí y por último otra vez voy a tomar el producto punto de este último vector fila por el vector xy tiene que ser igual a cero cuatro veces este cuatro veces x1 déjame ponerlo aquí 4 veces x 13 veces x 2 lo único que estamos calculando el producto punto de esto se me queda cuatro veces x 13 veces x 2 + 2 veces x 3 + x 4 + x 4 esto tiene que ser igual también al vector ser desempeñando aquí tiene que ser igual al vector 0 ahora lo primero que quiero que te des cuenta es que estamos buscando a todos los componentes x 1 x 2 x 3 x 4 que cumplan estas tres ecuaciones sin embargo tengo un sistema de ecuaciones con cuatro incógnitas y tres ecuaciones y bueno entonces para resolver esto podemos escribir estas mismas ecuaciones como una matriz aumentada y después poner esta matriz en su forma escalonada y así saber qué soluciones tienen estas ecuaciones y encontrar así mi espacio nulo así que vamos a escribir esta matriz aumentada primero y me queda 11 4 123 después 1 2 3 después de 13 2 1 3 2 y para finalizar 1 4 1 41 ya esto le vamos a aumentar el vector 000 perfecto ahora lo que quiero que te des cuenta es lo que está pasando fíjate bien tenemos esta matriz multiplicando este vector igual del vector 0 y entonces llegamos a este sistema de ecuaciones y para resolver este sistema de ecuaciones vamos a trabajar con esta matriz aumentada que es lo que quiero que te des cuenta es que esta matriz aumentada es la matriz am es de aquí es la matriz am y es lo que está al lado lo que estamos aumentando es el vector 0 ahora bien para encontrar este sistema de ecuaciones lo que me doy cuenta es que tengo que escalonar esta matriz pero pase lo que pase aquí siempre me va a quedar 0 en el lado derecho siempre me va a quedar 0 porque 0 por lo que sea 0 + 0 pues me da 0 - 0 me da 0 entonces realmente lo que sebas este problema es a escalonar la matriz a sí nosotros escalona mos la matriz a entonces vamos a encontrar la solución de este problema pero déjame hacerlo para que te des cuenta bien a qué me estoy refiriendo lo primero que voy a hacer es dejar el primer renglón tal cual igualito 111 otro 1 y aquí un 0 y después acá abajo lo que voy a hacer reemplazar el renglón 2 con el renglón 2 - el renglón 1 el renglón 2012 el renglón 1 es decir me voy a tomar 1 - 1 lo cual me da 0 2 - 1 lo cual me da 13 menos 1 lo cual me da 2 y 4 menos uno lo cual me da 3 y 0 - 0 pero 0 -0 es 0 fíjate cómo va la idea de lo que estaba diciendo aquí del lado derecho van a quedar puros ceros y el renglón número 3 lo que voy a hacer es tomarme cuatro veces y el renglón número uno y restando a este renglón número tres es decir 4 por 14 menos 40 4 por 14 menos 3 14 por 14 menos 22 y después 4 por 14 menos 13 y 4 por 0 000 si te das cuenta mi parte derecha está llena de puros ceros y bueno siguiente paso lo que quiero hacer es escalonar esta matriz de cómo voy a hacer es tomarme este y este renglón así que déjenme ponerme en donde él me dio exactamente igual y me queda 0 1 3 1 2 3 1 2 3 y después un 0 y ahora voy a trabajar con el renglón 1 y con el renglón 3 y ahora lo que voy a hacer es reemplazar este primer renglón como el renglón 1 - el renglón 2 en lugar del región 1 voy a escribir el renglón 1 - el renglón 2 me queda este menos este 11 011 - 10 12 me da menos 1 y 1 menos tres me da menos 3 y 0 - 0 0 y bueno déjame regresar también en este tercer renglón como el segundo renglón menos el tercer renglón y que me va a quedar pues 0 - 0 es 0 1 1 es cero 2 - 2 0 también 3 menos 30 también y 0 - 0 0 y creo que ya estás viendo a dónde vamos porque ahora este sistema de ecuaciones se acaba de reducir a lo siguiente tenemos una ecuación menos me va a quedar que este mismo un sistema de ecuaciones es análogo a poner lo siguiente una vez x 1 entonces una vez x 1 déjenme cambiar de color este de aquí es x 1 después 0 veces x 2 - una vez x 3 después menos x 4 y esto es igual a 0 ojo como tengo 10 veces x2 pues entonces no pongo x2 y este segundo renglón se va a traducir en lo siguiente en una vez x 2 + 2 veces x 3 + 3 veces x 4 esto es exactamente igual a 0 y esta última ecuación después ya es trivial no tiene nada que ver es innecesario ponerla y fíjate bien de esta ecuación que tenemos aquí de nuestra primera ecuación voy a despejar a x 1 y x 1 a quien es igual x es igual a x 3 lo estoy pasando del otro lado de la ecuación más más 2 veces x 4 ojo aquí cometió un error aquí va un 2 es este 2 de aquí menos 2 veces x 4 igual a cero entonces yo lo paso del otro lado de la ecuación me queda que x 1 es igual x 3 + 2 veces x 4 esto es la primera actuación y la segunda ecuación qué pasa si yo despejó a x2 pues me va a quedar que x 2 es igual a menos 2 veces x 3 voy a pasar los otros dos términos del otro lado de la ecuación con signo contrario menos 2 veces x 3 menos 3 veces x 2 y entonces ya que tengo estas dos ecuaciones qué voy a hacer pues fíjate muy bien las voy a escribir como vectores el vector inicial nuestro vector x cuyas componentes serán x 1 x 2 x 3 x 4 ahora lo puedo escribir de la siguiente manera este vector que es nuestro vector que estoy buscando es exactamente lo mismo que x 3 que multiplica a 1 + x 4 que multiplica a dos porque date cuenta que x1 es exactamente igual que x 3 más 2 veces x 4 stojic reemplazando x 1 en términos de x 3 y x 4 una vez x 3 + 2 veces x 4 todo esto me lo estoy tomando de esta ecuación que acabamos de construir de esta ecuación de aquí arriba y lo único que estoy haciendo reemplazando a x1 después x os lo voy a reemplazar por esto que tengo aquí por menos 2 veces x 3 menos 3 veces x 4 4 aquí hay un error este 2 es un 4 este de aquí es x 4 fíjate tengo x 2 más 2 veces x 3 más 3 veces x 4 igual a 0 y entonces si despejó x 2 me queda que x 2 es igual a menos 2 x 3 menos 3 x 4 ando bastante concentrado en el problema y se me están yendo estos errores muy graves pero ya los corregir ya tengo aquí a todos mis errores limpios de nuevo y entonces ahora si vamos bien x 3 lo puedo ver como una vez que es 30 veces x 4 x 4 pues lo puedo ver como 0 veces x 3 más una vez x 4 es decir que este vector x que existe en r 4 que por cierto lo que buscábamos es que este vector cumpliera la ecuación homogénea lineal asociada que era x de igual a 0 ahora lo puedo ver como una combinación lineal de estos dos vectores porque x 3 x 4 existen en los reales pueden ser cualquier valor x 3 estos números reales y x 4 también es un número de los reales por lo tanto al final estoy descubriendo que este efector x que era bastante importante para encontrar un espacio nulo de la matriz am estaba disfrazado como una combinación lineal de estos dos vectores que acabo de encontrar cualquier combinación lineal que me tome estos dos vectores va a cumplir mi ecuación lineal a homogénea asociada y por lo tanto mi espacio nulo esta matriz am es exactamente igual a todas las combinaciones lineales de estos dos vectores pero como escribir eso como el espacio vectorial generado por estos dos vectores todas las combinaciones lineales de estos dos vectores es el espacio vectorial generado por nuestro vector 1 - 2 1 0 y el vector 2 - 3 0 y 1 2 3 0 y 1 pero antes de que te vayas quiero que analicemos una cosa bastante interesante bastante importante fíjate bien nosotros tomamos una matriz am y entonces trabajamos con este sistema de ecuaciones después hicimos una matriz aumentada y al final llegamos en la forma escalonada de la matriz a que era justo esta de aquí esta es la forma escalonada de la matriz a déjame ponerlo aquí la forma escalonada de la matriz am y ahora que ya tenía la forma escalonada de la matriz a lo que hice fue multiplicada por el vector x y buscar las soluciones que fueran iguales a 0 es decir ya que tuve la forma escalonada de la matriz a la multiplique por el vector x y lo hice igual 20 que era exactamente esta misma parte que tenemos aquí ahora bien esta x es mi misma x inicial que resuelve este problema que tenemos aquí por lo tanto lo que estábamos buscando con esta x era el espacio nudos de la matriz am pero en esta forma se ve claramente que la x también es el espacio nulo de la forma escalonada de la matriz a esta x cumple esta ecuación igual al vector 0 esto quiere decir que es el espacio nulo de la forma escalonada de la matriz a pero esta misma x resolvía esta ecuación que tenemos aquí abajo y de hecho esta x que buscábamos era nuestro famoso espacio nulo de la matriz av por lo tanto estoy diciendo que el espacio nulo de la matriz am es exactamente igual al espacio nulo de la forma escalonada de la matriz a y esto que estoy diciendo es bastante importante porque entonces ya que tenemos una matriz am lo que tenemos que hacer es buscar la forma escalonada de esta matriz am y después buscar el espacio nudo de la forma escalonada de la matriz a lo cual parece ser mucho más sencillo que inicialmente buscar de la matriz y una vez que ya tenemos la forma escalonada de la matriz a lo multiplicamos por el vector x y encontramos estas ecuaciones las cuales serán mucho más fácil de trabajar para que así nos pudieran dar tarde o temprano nuestro resultado que en este caso fue el espacio vectorial generado por estos dos vectores bueno de cualquier manera espero que todo esto que te estoy contando te sea bastante útil de aquí en un futuro