Demostrar que cualquier base de un subespacio tiene el mismo número de elementos

imagínate que tengo a un conjunto a con en elementos estos elementos son a 1 a 2 y así hasta a en y bueno voy a suponer también que este conjunto a es una base del psuv espacio ver y bueno lo que quiero enseñarte en este vídeo es que si a es una base del conjunto b y tiene en elementos entonces cualquier otro conjunto que generen al sub espacio 20 debe de tener al menos en elementos déjame escribirlo aquí cualquier conjunto que genere debe de tener al menos n elementos debe tener al menos en elementos muy bien ya que quiero llegar con todo esto aquí si tenemos un conjunto de vectores que generan a su espacio ven debe tener al menos en elementos o más en elementos porque yo sé que esta base debe tiene en elementos muy bien y cómo lo vamos a demostrar pues vamos a demostrar por contradicción es decir vamos a tomarnos uno que tengan menos de en elementos y nos vamos a dar cuenta de que no puede generar al sub espacio bien así que tomen unos a este nuevo conjunto el conjunto b1 b2 b3 así hasta bm este base del conjunto ven y ojo le voy a pedir que me sea menor que en precisamente es lo que quiero un conjunto que tenga menos elementos y bueno como queremos crear una contradicción entonces vamos a suponer que este conjunto también genera el sub espacio ven esto es muy importante porque justo por aquí va a caer nuestra contradicción y entonces en este momento tú te pones a pensar y a decir oye sal pero esta oración de verde me está diciendo algo completamente distinto a lo que me estás diciendo aquí abajo como puede ser esto cierto entonces vamos a pensar en cómo crear la contradicción y para esto déjame crear un nuevo conjunto el conjunto de uno prima este conjunto de uno prima poco a poco te vas a ir dando cuenta porque lo estoy creando así va a ser igual al conjunto b pero le voy a agregar a uno es decir me va a quedar a uno y todos los demás que tenía en vez de uno 2 así hasta bm date cuenta que aquí tenemos ya un vector de más y por lo tanto este conjunto que tengo aquí es linealmente dependiente esto es muy importante que te des cuenta este conjunto que tengo aquí es linealmente dependiente porque aquí tengo a a1 que por cierto es muy importante también que te des cuenta que a uno existe en el sub espacio ven y déjame ponerlo por aquí porque es bastante importante aún no existe en b y es que este vector aún no sabemos que existen bien porque tenemos aquí una base debe y por lo tanto si tenemos una base debe esto no está diciendo que cualquier sector debe lo podemos generar con una combinación ideal de esos vectores entonces si yo me tomo 1 x a 10 x a 20 por a tres más blanda lula hasta cero por n pues obtendría 1 y por lo tanto aquí tengo una combinación ideal de estos vectores que me da a 1 y entonces esto me está diciendo que aún no existen y bueno como aún no existen bien entonces sabemos que podemos verlo como una combinación lineal de estos porque estos generan el espacio vectorial b y entonces cómo puedo escribir a uno como una combinación lineal de estos de aquí estoy dándome cuenta que precisamente esto es lo que significa que tengamos un conjunto linealmente dependiente es decir que al menos uno lo podemos escribir como una combinación lineal de todos los demás vectores y entonces obtengo que a uno es igual a de uno por de uno más de dos por de dos y así hasta dm por de m donde d1 d2 de m solamente constantes y al menos una de estas constantes es distinta de cero porque si todas fueran cero entonces me quedaría que aún no sería el vector cero y aún no no puede ser el vector cero porque entonces no estarían estas bases debe porque general vector 0 es muy fácil si ponemos 0 en todas las constantes y es por eso que a uno no puede ser el vector cero y por lo tanto vamos a suponer que existe un dejo está por aquí el cual es distinto de cero es decir al menos una de estas constantes es distinta de cero y la constante curiosamente quedará distinta al cero era de jota entonces por aquí tenemos al término de j bj y ahora qué te parece si resuelvo o si de esta expresión bj es decir vamos a llegar a un buen de álgebra lo que voy a hacer es pasar este de jp j del lado izquierdo de la ecuación con signo contrario voy a pasar del otro lado el a1 y entonces voy a dividir todo en 3 de jb jota vamos a hacer los no está tan difícil aunque es un buen de álgebra de aquí voy a despejar a bj y bj va a ser igual a 1 entre de hecho es menos uno menos uno entre de jota que a su vez multiplica a todos los demás es decir a menos a uno más de uno por b uno más de uno por b uno más de dos por de dos más así hasta llegar a los que estaban antes de jb jota y después le vamos a sumar todos los que están después de jmj así hasta llegar a de mb n de aquí lo único que estoy haciendo despejando a bj porque entonces voy a poder quitar de aquí a bj es decir podemos darnos cuenta que bj lo podemos escribir en términos de a1 y todos los demás vectores de conjunto b por lo tanto vamos a prescindir de bj y vamos a quitarlo de este conjunto después nos va a seguir creando un conjunto que genera porque con todos estos vectores yo puedo remover a bj porque ya encuentra una combinación lineal que me la bj es decir partir de una combinación lineal que me daba a uno y de aquí despeje a uno de estos vectores de los vectores que existen en el conjunto de uno para que así yo pueda despejar lo y escribirlo con una combinación lineal de todos los demás más vector a uno y con esto lo voy a remover de este conjunto b uno prima y no sólo eso además sigo generando al sub espacio b como con estos vectores puedo hacer a bj y todos los vectores b generaban el sub espacio b entonces también sigo generando su espacio bien entonces hasta aquí vamos todo bien y voy a hacer algo que tal vez sea mucho más fácil para nosotros esto no se hace en ningún libro sin embargo lo voy a utilizar aquí porque va a ser más fácil para nosotros trabajarlos de la siguiente manera en lugar de despejar a bj bien puede haber despejado a b1 por lo tanto para no complicarnos la vida mejor voy a decir que bj lo voy a pasar al lugar de p1 y a ba1 voy a hacer que voy a despejar es decir voy a decir que bj es igual a b 1 y entonces veo 1 es igual a bj estoy haciendo es cambiando los de lugar para que entonces en lugar de estar despejando a bj voy a despejar a ver uno y ya veo no es justo al vector que voy a eliminar de este conjunto b uno prima al final es un problema de nombres nosotros podemos llamar a como queramos a quien queramos entonces no nos voy a complicar más la vida con esto y mejor voy a decir entonces que mi nuevo conjunto lo voy a llamar b1 b1 b de burro 1 es igual a mi nuevo conjunto que por cierto tiene al vector a 1 voy a quitar a b uno recuerda que justo esto fue lo que hicimos un cambio de bj igual a b un 9 1 a la mejora de los cambios de lugar les cambió el nombre y entonces en lugar de poner a b1 voy a seguir con b 2 porque además recuerda que podemos encontrar una combinación lineal de estos que me debe 1 y después pues me voy a seguir con b3 b4 así hasta llegar a bm recuerda que esto salió precisamente de fijarme aquí que aún no era igual a una combinación lineal de estos que tenía yo aquí entonces me queda b2 b3 como así hasta pm y bueno lo que quiero que veas es que este conjunto también al sub espacio 20 y eso lo sabemos porque el conjunto de el conjunto inicial generaba el sub espacio 20 y está también lo va a generar porque lo único que estoy haciendo se encontrando otro conjunto con el cual puedo escribir una combinación lineal que me dé b1 y entonces tendré otra vez a mi conjunto que generaba al sub espacio ver y bueno usando la misma lógica ahora voy a construir un conjunto b 2 prima este conjunto b 2 prima va a ser igual a este conjunto de uno pero le voy a aumentar el vector a 2 entonces va a tener los mismos elementos que ve uno pero también le voy a aumentar el vector a 2 y me quedaría pues a 1 después me quedaría a 2 después me quedarían b 2 después me quedaría b 3 así hasta b m todos estos vectores hasta llegar a bm y lo que quiero que te des cuenta de este nuevo conjunto b 2 prima es que como le aumente este vector a 2 entonces este es un conjunto linealmente dependiente y es la misma razón que utilicé para fijarme que de una primera línea dependiente como acabo de aumentar un nuevo vector y además sé que todos estos vectores generan al sub espacio ven entonces este vector lo podemos encontrar como una combinación lineal de todos los demás sectores de a 192 dv3 de todos hasta pm y por lo tanto este conjunto es un conjunto linealmente dependiente y bueno como es linealmente independiente entonces de igual manera que aquí arriba vamos a construir nuestra combinación lineal es decir que a 2 lo puedo ver como se uno por a 1 más de 2 no no mejor lo voy a poner como ceros base 2 x de 2 más de 3 x de 3 así hasta c m por b n y de igual manera acumuló vimos hace rato lo que quiero que te des cuenta es que algunas de estas constantes es distinta de 0 también cualquiera de estas constantes a partir de ese 2 es decir se 12 3 algunas de ellas tienen que ser distinta de 0 sin contar a la constante c 1 y esto es muy importante porque si todas las demás fueran 0 y solamente me quedara con que a 2 es igual hace uno por a 1 entonces obtendría muy raro porque estaría construyendo a dos como una combinación lineal de a uno pero eso no se puede por qué porque recuerda que tanto a uno como a dos son elementos de mi base debe de este conjunto a que yo tenía que arriban y dejé no subir la pantalla para que lo recuerdes el conjunto a que yo tenía que arriba era una base del psuv espacio de y por lo tanto tiene que cumplir dos cosas la primera es que es genere al sub espacio bien lo cual lo hace la segunda es que es linealmente independiente y como es linealmente independiente no podemos ver ninguno de estos vectores con una combinación lineal de los otros y por lo tanto no puede quedar que a 2 sea igual a una combinación lineal que tenga que ver con solamente a 1 es decir se uno por a uno porque entonces no sería linealmente independiente eso quiere decir que debe de existir otra constante 6 distinta de cero de las constantes de 12 3 así hasta se me debe de existir alguna c jmj tal que éstas cj sea distinta de cero y ojo no forzosamente tiene que ser la misma cj pj que hablaba yo acá arriba puede ser otra pero al menos sé que existe una que es distinta de cero porque no puede quedar solamente a dos igual hace uno por uno y bueno ya que tengo a esta nueva se corta bj con esta constante cj distinta de cero que crees que voy a hacer pues está actualmente lo mismo que hice hace rato vamos a despejar a bj y la idea de despejar a bj es encontrar una combinación lineal que media bj y la pueda remover de este conjunto b 2 prima entonces bj aquí me quedaría pues menos 1 / cj que multiplica a su vez a menos a dos más se 1 por a uno más todos los demás hasta c m por bm y de igual manera que hice hace rato para hacernos la vida más fácil voy a renombrar a ésta pj le voy a cambiar el nombre por b 2 entonces voy a decir que pe 2 es igual a bj y que bj es igual a b 2 déjenme poner esto aquí abajo para que entonces nuestra anotación sea mucho más fácil bj es igual a b2 y b12 es igual a mejor tan así no nos complicamos la vida y entonces ya puedo construir un nuevo conjunto de dos que no contenga a este vector de dos es decir me voy a tomar punto b 2 igual al conjunto a 1 a 2 y en lugar de b 2 voy a poner a todos los demás y me voy a dar cuenta que este conjunto también genera el sub espacio bien así que dejemos vivido aquí abajo el nuevo conjunto que me voy a tomar es el conjunto de dos que por cierto tiene a los vectores a uno tiene el vector también a dos y tiene a todos los demás excepto a b2 es decir va a tener a b3 b4 así hasta llegar a bm así hasta llegar a bm y ya tengo este nuevo conjunto de dos y lo que quiero que te des cuenta es que este conjunto de dos también genera al sub espacio b y la forma de darme cuenta de esto es muy parecida a como nos dimos cuenta que el conjunto de uno genera va a ver cómo puedo construir a b2 como una combinación lineal de todos los demás y además yo sé que el conjunto de uno genera el sub espacio bien entonces este conjunto nuevo b2 también va a generar al sub espacio bien y bueno qué creés voy a tomarme a un nuevo conjunto al conjunto de tres prima y como crees que lo voy a construir pues con los vectores a uno 2 a 3 y voy a poner a b3 b4 así hasta bm es decir me voy a tomar al conjunto de 2 y les voy a agregar al vector a 3 y adivina que como b 2 generan su espacio ven entonces este conjunto de tres prima al agregarle este nuevo vector a 3 va a ser linealmente dependiente y si va a ser linealmente dependiente entonces puedo decir que el vector a 3 lo puedo ver como c 1 por a 1 más de 2 parados más 3 por b 3 masas y esta se m por bm ya que no adivinas que voy a buscar una constante a partir de ese 3 hasta c m que sea distinta de 0 y de igual manera no puede ser que ese 1 y c 2 sean las únicas constantes que sean distintas de 0 porque entonces encontraré una combinación línea de a 1 ideados que me diera a 3 y esto no puede ser porque tanto a uno como a 2,3 existen en una base b y por lo tanto tienen que ser linealmente independientes y eso no puede pasar entonces algunas cj de j tiene que ser distinta de 0 y entonces lo que voy a hacer es despejar de nuevo a esta bj y ahora que ya tengo el pj le voy a cambiar el nombre que sea p3 y entonces voy a encontrar una combinación lineal de a-1 a-2 a-3 de 4.5 así esta bm que me dé esta p 3 y por lo tanto voy a poder construir un nuevo conjunto llamado m3 que sea el conjunto a 1 a 2 a 3 de 4 así hasta bm y este conjunto que crees genera a b y sabemos que genera b porque b 2 también generaba 20 y entonces poco a poco te estás dando cuenta de a dónde vamos a parar aquí voy a hacer lo mismo voy a construir de nuevo otro conjunto llamado b 4 prima ya este conjunto b 4 prima le voy a aumentar un nuevo vector el vector a 4 y es más para verlo de una manera más general vamos a seguir nos seguimos a seguirnos hasta que lleguemos imagínate al conjunto de m y el conjunto bm va a tener a los vectores a1 a2 a3 así hasta a m pero esta vez ya no va a tener ningún vector b y usando la misma lógica que tenemos con todos los peces este conjunto bm va a generar al sub espacio ve y aquí es donde ya empieza a entrar todo el problema porque date cuenta de una cosa nosotros habíamos dicho que venía en elementos pero m era menor que en él esto es bastante importante y por otra parte nosotros habíamos empezado con algo muy importante con un conjunto a el cual era una base debe de apuntar aquí a mi conjunto a el conjunto am era igual al conjunto de vectores a-1 a-2 a-3 así hasta llegar a la m y de aquí podremos pasar a m más 1 es que aquí no sé cuántos lectores más tenga que los vectores de eventos mejor vamos a ponerlo archivo hasta a n tengo aquí a mi conjunto am el cual tiene más vectores que el conjunto b m porque n era más grande que me menorquines estas dos cosas es lo mismo pero yo sé que mi conjunto am es una base del psuv espacio ven esta era una base del psuv espacio ven y entonces si es una base de su espacio 20 hay que pasar dos cosas la primera es que genera que sea linealmente independiente pero me acaba de encontrar a otro conjunto de m que tiene menos vectores y que también generan sub espacio y por lo tanto estoy diciendo que todos estos vectores a1 a2 así hasta m generan al psuv espacio b y si generará sub espacio bien generan a todos los vectores que existen en el sub espacio b y esto quiere decir que entonces puedo encontrar una combinación lineal de esos vectores que me dé a n pero si no encuentra una combinación lineal de estos vectores que me dé jaén pues yo sé que a n existe en este sub espacio b entonces estoy diciendo que este conjunto a es linealmente dependiente y que es esto que está sucediendo por una parte tengo que linealmente independiente por otra parte tengo que finalmente dependiente pues esto no puede ser por lo tanto es una contradicción estoy llegando a dos resultados contradictorios que a su vez digo que son verdaderos y porque llegué a esta contradicción bueno porque estoy suponiendo que existe un conjunto con una carnalidad menor que am que genera el sub espacio b y eso no puede ser y entonces es justo cuando concluyó lo que yo quería es decir que no puede existir otro conjunto que generaba que tenga menos elementos que no puede existir un conjunto que genere a su vez al sub espacio vez que tenga menos elementos que el conjunto am que por cierto recuerda que es una base de el sub espacio b por lo tanto ya llegué a lo que quería de mostrarte este vídeo y esto me sirve bastante porque tú imagínate que tú tienes un conjunto x que genera al sub espacio b entonces vamos a tener un conjunto x que genere al sub espacio b y bueno este conjunto x si genera su espacio bien y supongamos que tiene no sé cinco elementos y después nos damos cuenta que este conjunto es linealmente independiente entonces podemos decir que x es una base debe entonces era ponerlo aquí x es una base del psuv espacio b y bueno ahora imagínate que por otra parte encontramos a otra base de este mismo sube espacio ve encontramos allí otra base de este sub espacio entonces cómo escribirlo aquí bien es otra base del psuv espacio ven y entonces en este momento podemos concluir que sigue es también base del psuv espacio bien pues entonces llegue debe de tener cinco elementos y como sé que ya debe de tener cinco elementos bueno porque nosotros nos fijamos en la carne alidad que nos dice el resultado que acabamos de obtener primero nos dice que como x es una base debe y tiene cinco elementos sabemos que tiene cinco elementos entonces por este resultado sabemos que ya tiene una cantidad de elementos mayor o igual que 5 que son los elementos que tiene x pero también sabemos y también lo podemos escribir de la siguiente manera también sabemos que ya es una base debe por lo tanto x debe tener una cantidad mayor o igual de los elementos que tiene james y eso mejor lo puedo escribir de la siguiente manera los elementos de james los elementos de james y mejor déjenme escribirlos y creo que me sirve más escribirlo así los elementos de los elementos de james tiene que ser mayor o igual que los elementos de x o la calidad de x esto lo sabemos por el resultado que acabamos de obtener entonces los elementos de james tiene que ser mayor o igual que la cantidad de elementos que tiene x sin embargo y es una base del psuv espacio y por lo tanto en la cantidad de elementos de x tiene que ser mayor o igual que la cantidad de elementos que tiene el conjunto y en estos por el mismo razonamiento y entonces queda atrapada la cantidad de elementos que tienen por una parte tienen que ser mayor o igual que la cantidad de elementos que tiene x y por otra parte tiene que ser menor o igual que la cantidad de elementos que tiene x y aquí no queda de otra estamos diciendo que la cantidad de elementos que tiene x es igual a la cantidad de elementos que tiene bien la carnalidad de x forzosamente tiene que ser igual a la cardinal y that de bien pero bueno regresemos a nuestro conjunto a nuestro conjunto a que era una base de este sub espacio b tiene en elementos y entonces acabo de ver que cualquier otra base que yo me tomé de este suv o espacio bien debe de tener en elementos y entonces como todas las bases tienen la misma cantidad de elementos yo puedo definir la dimensión del sub espacio bem y esta definición es bien importante bien padre la dimensión de ven como la cantidad de elementos que tienen una base de bem es decir la cardinal y that de una de las bases deben y es que como ya sé que todas las bases tienen la misma cantidad de elementos entonces la dimensión debe estar perfectamente bien definida si una base tiene cinco elementos la otra base tiene seis ya podemos asegurar que algo está mal o es 5 o 6 no hay de otra por lo tanto ya tenemos la definición de la dimensión de ve como el número de elementos de una de las bases debe