Mostrar que la base candidata genera a C(A)

hace un par de vídeos empezamos con una gran pregunta nos preguntábamos cuál era la base del espacio columna de esta matriz am y bueno hicimos un método para encontrar el espacio columna de la matriz a para esto lo que buscamos fue la forma escalonada de la matriz a que es justo esta matriz r y nos fijamos en sus columnas pivote fíjate que aquí tenemos una columna pivote aquí tenemos otra columna pivote porque tenemos un 1 y todos los demás son ceros y aquí tenemos otra columna pivote porque también tenemos un 1 y los demás son ceros entonces déjenme ponerlas en un cuadrado y ahora si la pregunta original de hace un par de vídeos era saber cuál era una base del espacio columna de la matriz y entonces nuestros candidatos para hacer esa base eran los vectores columna que estaban asociados a nuestros lectores pivote de la forma escalonada de la matriz am es decir a 1 2 a 4 eran nuestra base de nuestro espacio columna de a a 1 2 a 4 formaban una base del espacio columna de amd y bueno nosotros lo que hicimos fue el procedimiento para llegar atrapar estos tres vectores ahora bien lo que no vimos ese vídeo es que realmente fueran una base del espacio columna de amd y bueno para hacer una base de espacio columna de amp se tiene que cumplir dos cosas la primera es que fueran linealmente independientes que estos tres vectores frank linealmente independientes que era justo lo que vimos en el vídeo pasado es decir en el vídeo que antecede a este de la serie que estamos viendo en el vídeo pasado vimos que estos tres factores serán linealmente independientes porque los vectores pivote columna asociados a ellos es decir r1 r2 y r4 r 2 74 son linealmente independientes y lo puedes verificar muy sencillo porque aquí tenemos un 1 y en todas las demás entradas desde micro filas vamos a tener un 0 por lo tanto si tomamos una combinación lineal de los otros vectores pivote no va a haber ninguna forma de llegar a que estos tuvieran aquí un 1 porque todos los demás van a tener en sus respectivas filas el valor de 0 que por cierto esto funciona para todos los vectores pivote si nosotros tomamos una matriz de 40 por 40 de todas maneras va a funcionar porque la construcción de la forma escalonada de la matriz ar es exactamente esta poner un 1 en nueve las entradas y en todas las demás entradas un cero muy bien y por lo tanto vimos el vídeo pasado que esto sea en elemento independientes y llegamos a que estos otros tres también eran linealmente independientes entonces lo primero que estábamos en la independencia lineal lo cual ya lo tenemos ahora lo que quiero ver en este vídeo es que si ya tenemos la independencia lineal entonces a 1 a 2 a 4 el espacio vectorial generado por estos es exactamente igual que el espacio columna de a es decir que podemos prescindir de a tres ideas 5 para encontrar el espacio columna de a o de otra manera que hay una combinación lineal de los vectores a1 a2 día 4 tal que nos dé el vector a 3 y que nos dé el vector a 5 esto es justo lo que quiero ver en este vídeo y si ya tenemos independencia lineal y además sabemos que generamos el espacio columna de a por lo tanto pues estos tres vectores en una base del espacio columna de a entonces que es lo que quiero que si el espacio vectorial generado por estos cinco vectores déjame ponerlo aquí el espacio vectorial generado a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 esto sabemos que ese espacio columna de a y yo lo que quiero ver es si puedo encontrar una forma de escribir al vector a 3 y al vector a 5 como una combinación lineal de estos tres vectores a 1 a 12 a 4 y si logro prescindir de estos dos vectores entonces me voy a dar cuenta que el espacio vectorial generado por estos tres vectores es exactamente igual que el espacio columna de an que es justo a lo que yo quiero llegar que generen todo el espacio columna de a y bueno para esto entonces recuerda que vamos a intentar buscar una combinación lineal de tres ideas 5 en términos de mis otros tres vectores entonces vamos a empezar primero con la forma escalonada de la matriz anp vamos a recordarla y para esto espera mejor de hecho vamos a recordar primero espacios nudos si aquí tengo a r2 r3 r4 y r7 entonces yo sé que las soluciones de la ecuación a x igual a 0 déjeme ponerlo aquí a x igual a cero esto es más más déjeme poner al vector x común el vector x1 y x2 x 3 x 4 y x 5 si yo multiplico a la matriz a por este vector x igual a 0 y encuentro todos los posibles valores que puede tomar este vector estoy hablando del espacio nulo de la matriz am sin embargo sabemos que este espacio en uno de la matriz a es exactamente igual que el espacio no de la forma escalonada de la matriz am es decir esto es lo mismo que tomar a r por el vector x 1 x 2 x 3 x 4 y x 5 y esto igual a 0 si encontramos todos los vectores que cumplan esta ecuación entonces van a cumplir también la ecuación a x igual a 0 y bueno también habíamos visto hace tiempo que nosotros podíamos ver la multiplicación de una matriz por un vector de la siguiente manera a x igual a 0 es exactamente lo mismo que poner x 1 por el vector columna a 1 es decir x 1 por a 1 + x 2 por el vector columna 2 más x 3 por el vector columna 3 x4 puede vector columna 4 + x 5 por el vector columna 5 y esto igual a 0 es lo que yo quiero que esto sea igual al vector 0 y bueno si esto se cumple entonces recuerda que tienen que ser los mismos x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 para la ecuación rx igual a cero por lo tanto también puedo escribir que esto es exactamente igual que si se cumple esto entonces pues yo también tomarme a la matriz r que multiplica el vector x pero escrito también con sus vectores columna es decir x1 por el vector columna r 1 + x2 por el vector columna r 2 ojo estamos hablando de la forma escalonada de la matriz am más x 3 x r 3 más x 4 por entre 4 más x 5 por r 5 esto igual a 0 y bueno como ya hemos visto en múltiples vídeos si nosotros vemos a los que son nuestros vectores columna pivote de la matriz r es decir r1 r2 y r4 entonces habíamos nombrado a las variables asociadas a estos vectores r 1 y cuatro variables pivote es decir que en este caso x1 y x2 y x 4 son nuestras variable pívot en esto ya lo habíamos visto en algunos vídeos y bueno también habíamos dicho que aquellas variables que no estuvieran asociadas a nuestros lectores con una pivote así vamos a llamar variables libres por lo tanto aquí x 3 y x 5 van a ser mis variables libres así que vamos a ponerles nombre libres este x 5 es bastante libre y bueno de igual manera si nosotros nos fijamos en la forma a x igual a 0 entonces van a tomar los mismos nombres las variables x 1 x 2 x 3 x 4 y x 5 por lo tanto como ambas son soluciones de la misma ecuación por lo tanto voy a decir que x 3 en esta ecuación a x igual a 0 y x 5 en esta ecuación a x igual a 0 también son variables libres y bueno hace tiempo habíamos visto que unas propiedades importantes que tenían las variables libres es que podían tomar cualquier valor en los números reales x3 x5 pueden tomar cualquier valor en los números reales es decir estas dos variables pueden ser lo que tú quieras y además de todo esto habíamos visto que entonces nuestras variables pivotes las podríamos escribir como una combinación lineal de estas dos y justo esta idea es la que nos va a resolver este problema es decir que x1 lo podríamos ver no se común a veces x 3 más veces x 5 y x2 también la podemos ver como no se cebe es x 3 + d veces x 5 ya x 4 también la podemos ver como abs de veces x 3 + efe pss x 5 ahora bien date cuenta que ya llegamos un sistema de ecuaciones tenemos a x1 como una función de x3 x5 a x2 como también una función de x3 x5 y x 4 igual por lo tanto usando esta información quiero que te des cuenta que si nosotros nos fijamos en la matriz original es decir en am vamos a poder despejar de aquí tanto el vector a 3 como el vector a 5 y así vamos a poder encontrar una combinación lineal que nos de estos dos vectores en términos de los otros tres vectores de a uno de a dos y de cuatro y para esto vamos a empezar con imagínate que aquí tengo a tres y de aquí la voy a despegar y para despejar aquí el valor de a tres lo que tengo que hacer es pasarla del otro lado con su respectivo x 3 con signo contrario entonces que me quedaría para esto voy a reescribir esta ecuación pasando este término del otro lado de la ecuación y que me va a quedar bueno pues va a pasar con signo contrario es decir va a pasar con signo negativo y me quedaría menos x 3 a 3 esto es igual a quien entonces escribirlo aquí abajo - x 3 que va a multiplicar al vector a 3 - x 3 que multiplica el vector a 3 esto es igual a todos los demás nosotros no cambiaron de lugar por lo tanto me quedarían x 1 por el vector a 1 + x 2 por el vector a 2 + aquí no tenemos x 3 x 3 es justo lo que estamos despejando entonces me quedaría más x 4 x a 4 + x 5 x a 5 muy bien ahora como x3 x5 son variables que son libres pueden tomar el valor que nosotros queramos por lo tanto vamos a darles un valor que nos sirva para que podamos encontrar esta combinación lineal x 3 y x5 pueden valer lo que sean entonces voy a suponer que x 3 vale menos uno y x 5 vale 0 si yo me tomo a x 3 igual a menos 1 y x5 igual a cero que voy a encontrar bueno déjame escribiendo aquí x 3 vale menos 1 entonces esto se va me quedaría un 1 positivo menos por menos me da más entonces me quedaría solamente a 3 y del otro lado si pongo a x 5 igual a cero déjame escribirlo aquí voy a hacer a x 5 igual a cero entonces esto de aquí se va se cancela entonces solamente me quedaría que a 3 es igual a x 1 x a uno más x 2 x a dos más x 4 x a 4 y aquí está la combinación línea que yo les decía ya puede escribir en el vector columna a 3 como una combinación lineal de los otros tres vectores es decir estoy encontrando una combinación lineal para este vector columna el cual no estaba asociado a ningún vector pivote en la forma escalonada de la matriz am como una combinación lineal de los otros es que es justo lo que yo quería y cómo puedo saber que siempre pasa eso a bueno porque es 1 x 2 y x 4 los puedo encontrar explícitamente utilizando a x 3 igual a menos 1 y x 5 igual a 0 podemos sustituir el valor de x 3 igual a menos 1 y de x 5 igual a cero en todo este sistema ecuaciones que tengo aquí y por lo tanto x 1 nos quedaría menos a porque b x x 5 se desaparece porque x 50 x 2 no quedaría menos y x 4 muy parecido entonces date cuenta que ya puedo tener un valor explícito para x1 y x2 y x 4 porque están en función de x3 x5 y puedo hacer lo mismo para el vector columna a 5 ya lo hice para 3 puede hacer lo mismo para 5 que son mis dos vectores que no están asociados a mis vectores pivote de mi forma escalonada de la matriz am si nosotros nos fijamos en esta ecuación que tengo justo aquí si yo quisiera hacer lo mismo para 5 pues entonces pasaría de esto del otro lado pasaría esto con signo contrario y después podría decir que x 5 vale menos uno y x 3 vale 0 y entonces obtendría al vector a 5 como una combinación de los vectores a uno a dos ya cuatro de la misma manera y espero que no te hayas perdido y hasta aquí países de acuerdo conmigo porque acabo de enseñarte que si yo me tomo a 3 y al vector a 50 m ponerlos con el color magenta si me tomo a estos dos vectores los cuales estaban asociados con los vectores libres los vectores columnas libres de la forma escalonada de la matriz am entonces yo puedo hacer que estos vectores inspectores columnas libres se puedan escribir como una combinación lineal de mis vectores pivote porque pues si aplicamos el mismo procedimiento lo que hice fue tomar ver a una de estas vectores columnas libres y despejar la del otro lado de la ecuación para que entonces a la variable libre asociada que tenga lado la hagamos igual a menos 1 y todas las demás variables libres las hagamos igual a 0 y entonces con esto vamos a encontrar que cada uno de estos vectores columnas libres los voy a poder escribir como una combinación lineal de mis vectores columna asociados a los vectores con una pivote de la forma escalonada de la matriz y persona que utilice en mi notación libre sin embargo creo que me has entendido bastante bien todo esto lo que estoy haciendo es que acabo de encontrar que puedo escribir al vector a 3 y el vector a 5 como una combinación lineal de a1 a2 ya 4 y por lo tanto el espacio vectorial generado por vectores a 1 a 2 a 4 es exactamente igual que el espacio vectorial generado por los cinco vectores que es exactamente igual que el espacio columna de a y por lo tanto ya había probado que a linealmente independientes acabo de probar que generan el espacio columna de a y por lo tanto el conjunto de estos tres vectores a 1 a 2 ya 4 y déjame ponerlos con color azul estos tres vectores son mi base de mi espacio columna de a y además ya queda demostrado bueno espero que no hayas encontrado esto bastante confuso y complejo y además hayas entendido la importancia de la forma escalonada de la matriz ham para encontrar la base del espacio columna de a