Visualizar un espacio columna como un plano en R3

en el vídeo pasado comenzamos con una matriz y de ahí empezamos a preguntarnos acerca de su espacio columna y nos dimos cuenta que eso es para su columna era el espacio vectorial generado por estos cuatro vectores pero después nos preguntamos estos vectores serán linealmente independientes o dependientes para ver si eran una base del espacio columna y fue justo en ese momento cuando utilizamos la información del espacio nulo de la matriz porque si el espacio nulo de la matriz contenía a otro vector además del vector cero significaba que estos vectores no eran linealmente independientes lo que nos hizo entender que podíamos prescindir de alguno de estos dos vectores y de hecho nos dimos cuenta que los vectores que estaban asociados con las variables libres es decir en este caso el tercer vector y el cuarto vector eran los que podíamos escribir como una combinación lineal de los otros dos haciendo este mecanismo que tenemos aquí en el cual le dábamos a uno de estas variables libres el valor de menos uno ya todas las demás cero para que de tal manera podamos despejar al vector asociado con nuestra variable libre que nos quedaba y a los otros dos como vectores y con el apoyo de estas ecuaciones que habíamos sacado aquí al lado encontramos de una manera sencilla cómo expresar a este vector que estaba asociado con nuestra variable libre como una combinación lineal de los otros vectores y esta es una buena manera de resolver este problema si nosotros nos fijamos en combinaciones lineales de los otros vectores sin embargo hay una manera mucho más rápido de hacerlo recuerda que lo que estamos buscando no es el espacio vectorial generado por estos cuatro vectores es decir mi espacio columna de amd lo que quiero es encontrar cuáles de ellos son linealmente independientes y además generan todo el espacio columna de amd es decir lo que buscamos una base del espacio columna de amd y la forma más rápida de hacerlo es lo siguiente tomamos la matriz a y poco a poco lo vamos transformando en su forma escalonada hasta llegar a esta matriz que tenemos aquí recuerda que esta matriz es la forma escalonada de la matriz a y a continuación quiero que te des cuenta cuáles son las entradas pivote es decir qué variables están asociadas a mis entradas pivote mis variables pivote esta columna éstas a x1 mientras que esta segunda columna está asociada x2 la siguiente x 3 y la siguiente a x 4 que es justo lo mismo que la matriz a en la matriz a la primera columna está asociada a x1 la segunda columna está asociada a x2 la tercera a x 3 y la cuarta a x 4 por lo tanto vamos a poder sacar conclusiones la forma escalonada de la matriz a porque aquí date cuenta que tenemos entradas pivote es decir las entradas que tienen un 1 en esa entrada y en cuya columna todas las demás entradas tienen 0 y entonces una vez que encontramos las entradas pivote nos damos cuenta de cuáles son las variables que están asociadas a estas columnas y esas son nuestras variables private que en este caso fueron x1 y x2 y ya con estas variables pivote me doy cuenta que estos dos primeros vectores columnas son mi base de mi espacio columna y no es que sea un prophète o no estoy haciendo nada de magia en esto lo único que quiero que te fijes es que estoy utilizando la definición de variables pivote y variables libres las variables libres les podemos dar un cierto valor y por lo tanto puedo despejar de aquí a mis vectores van a ser mi base de esta o más bien de este espacio columna y lo mejor de todo es que siempre podemos hacer esto en el vídeo pasado y vimos un caso particular sin embargo siempre podemos trabajar con esta idea estos dos que son mis columnas asociadas a aquellas variables que son libres equivalen a estos dos vectores columna que tengo aquí vectores columna que están asociados a mis dos variables que son libres y esto es como la parte más sucia de todo el asunto cuando no podría llamar las sucias como la parte más entretenida de todo esto porque al final con la forma escalada de la matriz puedes obtener bastante información y es que recuerda que las dos soluciones son las mismas la solución de x igual a 0 y la solución de la forma escalonada de la matriz a por el vector x igual al vector 0 porque recuerda que el espacio nulo de estos dos son iguales y por lo tanto podemos darnos cuenta que estos dos vectores columna que están asociados a nuestras variables pivote son los vectores que van a formar la base y además son vectores linealmente independientes y es por eso que concluimos que uno dos tres y el doctor 114 en este caso particular obteníamos que eran justo la base de mi espacio columna de a y bueno ya que tenemos esta fase del espacio columna de la matriz a como lo podemos visualizar en r3 ya tenemos estos dos vectores a este conjunto con estos dos vectores y como podemos visualizar al espacio vectorial generado por estos dos vectores así que como te das cuenta que tenemos tres componentes entonces cada uno de estos vectores existe en r3 por lo tanto déjenme dibujarte aquí un espacio en tres dimensiones voy a suponer que estas mujeres x estos ni de qué recetas este de aquí es mi eje de las diademas era un poco mejor esté aquí es mi hija 10 este de aquí es mi caídas x esto se le hace estás y entonces estamos en r3 y bueno el primer vector tiene como componentes 123 así que caminar 1 en x 2 en 10 y 3 a el z así que vamos a caminar 1 2 y 3 por acá aquí tenemos a nuestro primer vector este de aquí está representado por este vector de amarillo mientras que 3 1 1 y 4 estamos con un por acá este es mi otro vector mi vector 11 4 y bueno tarde los dibujos no sean lo mejor posible no solo lo más preciso posible no solamente quiero que te des una idea de que cuando yo me tomo el espacio vectorial generado por estos dos vectores es un plano porque recuerda que cualquier punto de este plano lo podemos ver como una combinación lineal de estos dos si nosotros nos tomamos una combinación lineal de este y de éste vamos a generar un vector que nos dé este punto de aquí y si yo quiero un punto más alejado pues también voy a encontrar no sé tal vez múltiplos de estos vectores tales que que al hacer una combinación lineal con ellos obtenga también un vector que esté en ese plano y me dé ese punto por lo tanto ahora lo que yo quiero ver después la ecuación de este plano sería muy bueno entenderlo y recuerda que la ecuación de un plano las acabamos como el vector normal deben ponerle mejoras y el vector normal punto un vector que esté en este plano vamos a llamarlo el vector x y justo este vector me va a servir bastante para definir mi plano y después le teníamos que quitar un punto o un vector en este plano es decir voy a suponer que éste no voy a tomar el vector 123 así que el vector x menos el vector 123 y como el vector normal es un vector perpendicular al plan entonces esto tiene que ser igual a 0 y con esto vamos a obtener la ecuación de este plano que tenemos aquí y para esto como vamos a encontrar en nuestro vector normal hay que ser un poco de memoria porque en varios vídeos ya habíamos visto cómo encontrar un vector normal que por cierto lo voy a dibujar aquí voy a suponer que este es mi vector normal y existe una forma de encontrar este vector normal con el producto cruz de dos vectores que existirán en nuestro plano y está perfecto porque aquí ya tenemos dos vectores que viven en este plano por lo tanto vamos a tomar su producto cruz de estos dos vectores y así vamos a encontrar a un vector normal el cual me va a servir para definir mi plano el vector normal va a ser entonces el vector 123 mi primer vector de mi base cruz el vector 114 que es mi otro vector de la base y cuánto es esto pues bueno según la definición del producto cruz para obtener la primera componente del vector resultante eliminábamos estos componentes y nos tomábamos 2 otro 8 menos 3 por 1 3 2 por 4 8 menos 3 por 1 3 en la segunda componente nos elimina vamos de estas segundas componentes y estábamos tentados a decir 1 por 4 menos 3 por 1 sin embargo recuerda que la segunda componente de mi vector resultante de este producto cruz nos tomamos lo inverso es decir 3 por 13 menos 4 por 14 3 menos 4 recuerda que estoy yendo vimos en varios vídeos que cuando nosotros tomamos la segunda componente de este efecto resultante nosotros lo que hacíamos era cambiar el orden o dicho de otra manera a este misma componente multiplicada por menos 1 pero en fin cuando nosotros nos queremos la tercera componente eliminamos las terceras componentes y decimos uno por uno menos dos por uno en el sentido cotidiano en el sentido que siempre utilizamos aquí no pasa nada y después me queda 8 menos 3 53 menos cuatro menos 11 - 2 - 1 y una vez que ya tenemos este vector normal pues tenemos este vector normal para cualquier vector que esté en este plano es decir para cualquier combinación de estos dos vectores por lo tanto puedo tomar este vector normal para seguir con mi definición del plano que es el vector normal punto x menos el vector 123 así que déjame ponerlo aquí el vector normal que es el vector 5 menos 11 el cual lo acabamos de construir con el producto cruz de estos dos vectores de la base ya este punto el vector x que bueno voy a suponer que es el vector x y z es mi forma más fácil de poner un vector xx de z porque recuerda que estamos en tres dimensiones y aquí es mi eje x el eje x 7 - en uno de estos dos vectores puede ser cualquiera de estos dos voy a tomar el vector 1 2 3 y esto igualado a cero porque tenemos un producto punto de dos vectores normales así que vamos a hacer las operaciones y a continuación que me queda el vector 5 - 1 - 1 punto el vector x menos 1 recuerda que hay que estar cada una de las componentes y en menos 2 z menos 3 y todo esto igualado a cero y bueno pues vamos a hacer la definición del producto punto y que me queda pues es sí por x1 más pero bueno más x menos es menos porque es menos 1 entonces me queda menos 1 que multiplica al menos 2 menos uno que multiplica a z menos tres esto igualado a cero y si de aquí distribuimos cada una de estas constantes me va a quedar que 5x menos 5 - más 2 menos por menos me da más +2 y después me quedaría - z3 menos 73 esto es igual a cero y si te das cuenta más 2 3 menos 5 se van estos 0 y por lo tanto mi ecuación de mi plano que me estoy buscando es 5x 10 - zeta igual a 0 ya que tengo un plano que por cierto este plano es mi espacio vectorial generado por estos dos vectores de mi base o dicho de otra manera es mi espacio columna de todas las combinaciones lineales de estos dos vectores que formaban mi base que era el espacio columna de a ahora están representados por este plano quien por cierto date cuenta que este plan no pasa por el origen es decir contiene el punto cero pues si nosotros sustituimos a x a jay-z por 0 cumplimos la igualdad y esto tiene todo el sentido lógico del mundo porque habíamos dicho que el espacio columna era un sub espacio válido y todo sub espacio válido debe de contener el vector 0 por eso en este caso este plano está completamente en lo correcto pues contiene al punto 0 0 0 así que ya aquí tenemos a este plano que es el espacio vectorial generado por mis dos vectores de mi base de mi espacio columna de amd y ahora lo que quiero hacer es llegar al mismo resultado pero de una manera completamente distinta así que vamos a empezar con esta matriz déjame copiarla y pegarla y vamos a tratar de llegar a lo mismo así que a copiar y a pegar y entonces no no esto no es lo que yo quería es decir yo quería lo inverso déjenme vuelve a hacerlo déjame tomar esto de aquí y me estoy tomando a esta matriz am y creo que no va a quedar justo lo que quiero hacer que no es que esté jugando con tu tiempo lo que quiero es que quede lo mejor posible déjeme copiar y pegar y perfecto y aquí tengo mi matriz así que déjenme bajarla para acá y entonces te decía lo que quiero hacer en este final de este vídeo es obtener lo mismo solamente que de una manera distinta porque lo que hicimos ahorita fue un buen procedimiento partiendo de los dos vectores de la base de este espacio columna de a lo que hicimos fue tomarnos un vector normal el cual salió del producto cruz de mis dos vectores que eran mi base del espacio columna de amd y después nos tomamos el vector x ya z y le restamos cualquiera de estos vectores que están en mi base de mi espacio columna de a porque recuerdan que lo que estoy tomando es un vector que exista en el plano que esté sobre el plano y bueno de hecho para que este lector sea perpendicular al vector normal que me estoy construyendo y esto hace que sea igual a cero y de aquí puedo obtener la ecuación de mi plano y de hecho aquí debería ser un paréntesis como una nota a todo lo que estaba construyendo pues este vector normal sale del producto cruz de estos dos vectores que estaban en mi base porque estos dos vectores que serán mi base no solamente representan un punto en el plano sino que cada uno de estos dos vectores que estaban en mi base son vectores que están en mi plano pues de hecho lo que buscamos es el espacio vectorial generado por estos dos vectores y por lo tanto estos dos sectores deben de estar en el plano o también otra forma de saber esto es que mi vector 00 está también en un espacio vectorial generado no es así y si está en el vector 0 0 y también está al punto el cual llega a mi vector entonces mi vector también están en este plano y es justo por esa razón que cuando yo me tomo dos vectores de este plano y calculó su producto cruz me da el este vector normal que es un vector que no solamente está fuera del plano sino además es un vector que es perpendicular al plano y por lo tanto es perpendicular a cualquier vector del plano a cualquier combinación lineal de estos dos peruanas déjame tomarme la matriz am y ahora vamos a buscar el conjunto de todas las equis que cumplan y dejemos poner de esta manera a x donde x es un miembro de rn donde x es un miembro de rn y ahora voy a definir el siguiente otro junto el siguiente conjunto de las veces de los vectores ves tal vez que cumplan que x sea igual a b y además ve exista bueno en este caso déjame ponerlo así y x debe de existir en rn bueno voy a buscar todas las veces que cumplan esta ecuación así que por qué voy a hacer es tomarme a esta ecuación con nuestra matriz a así que déjenme copiar y pegar otra vez a esta matriz para que yo pueda obtener así los valores de 20 y mejor déjenme definir primeramente a b b del visto de una forma general va a ser un vector x 17 que te das cuenta es un vector que tiene que estar entre 3 por lo tanto ven es el vector x ya se está bien una vez que ya tengo ave entonces déjenme copiar y pegar la matriz que por cierto llega a tener por aquí la voy a poner aquí abajo y me voy a fijar en a que multiplica al vector x esto igual dado al vector b entonces la matriz a va a multiplicar x no no no espera mejor déjeme ponerlo de la siguiente manera va a ser mucho más rápido si lo escribo en su forma aumentada a x igual a 0 de 1 a x igual al vector bent y lo voy a escribir en su forma aumentada para que la solución sea mucho más rápida así que me voy a tomar a la matriz aumentada con el vector ven y quién es esto pues esto es lo mismo déjame escribir aquí abajo que esta matriz am y voy a aumentarla al vector b el vector b es el vector x y z y entonces lo que voy a hacer es a esta materia que tengo aquí buscar su forma escalonada es decir la forma escalonada de la de la matriz aumentada a la matriz y el vector b y bueno que me queda si yo lo que quiero es escalonar a esta matriz entonces lo primero que tengo que hacer es dejar el primer renglón tal cual no me voy a complicar ahorita con el primer renglón el cual es el que tiene puros unos entonces déjame ponerlo aquí 1 1 1 y aquí x muy bien y el segundo vector lo que voy a hacer es tomarme y me voy a tomar dos veces el primer renglón menos el segundo renglón de esta matriz es decir voy a reemplazar a mi segundo vector que tengo aquí con dos veces el primer renglón menos mi segundo renglón de tal manera que me queda un cero abajo y aquí me queda 2x menos 10 es lo que voy a hacer y entonces me va a quedar 2 por 12 menos 12 0 después 2 por 12 menos unos 12 por 12 menos 4 - 2 y 2 por 12 - 3 - uno perfecto ahora lo voy a fijar en el tercer renglón y si te das cuenta en el tercero no quiero que aquí que de cero por lo tanto lo que voy a hacer es tomarme tres veces el primer renglón y restarlo al renglón de abajo es lo que me conviene creo que sí voy a tomarme tres veces el renglón menos el otro no esperas pero espera que estoy haciendo mejor me voy a tomar el renglón de hasta abajo el tercer renglón tres veces el primer renglón es justo lo que quiero menos tres veces el primer renglón y que me queda bueno pues en la parte aumentada z menos 3 es menos tres por una pues lo mismo que 04 menos tres por una es lo mismo que uno uno menos tres por uno es lo mismo que menos dos y dos menos tres por uno es lo mismo que menos uno y pues sí justo esto es lo que habíamos encontrado en la matriz de arriba esto lo habíamos hecho en el vídeo pasado o algo parecido así que bien en aquella ocasión es decir en el vídeo pasado lo que hicimos fue reemplazar el y creo que fue sin mi memoria no me falla el segundo renglón menos el tercer renglón y es justo lo que vamos a ver en el siguiente paso el primer renglón bueno ahorita lo pongo después tengo cero 1 - 2 - 1 y en la parte aumentada es 12 x menos james y en el tercer renglón lo que voy a hacer es tomarme el segundo renglón menos el tercer renglón para que todo esto se cancele y que voy a obtener de esto bueno primero voy a poner la parte aumentada que es 2x - z 3x porque lo que estoy haciendo es tomándome la diferencia del segundo renglón menos el tercer renglón y entonces me queda 0 - 0 lo cual es 0 11 lo cual es 0 - 2 más 2 lo cual es cero y menos 11 lo cual es 0 y entonces date cuenta que aquí hay algo muy importante la única forma de que haya solución de que x sea igual a bien es que esta parte de aquí me dé cero porque si esto que está aquí no es cero supongamos que es 5 me quedaría 0 igual a 5 y eso no tiene nada de sentido y por lo tanto como no tiene sentido matemático entonces no habría solución a esta ecuación a x igual a b la única forma en la aquellas soluciones que todo esto que tengo aquí sea igual a cero no puede ser cualquier otro número tiene que ser igual a cero para que se pueda cumplir esta ecuación que tengo aquí arriba a x igual a b pues tiene que cumplir la parte de aquí abajo y entonces me queda que 2 x menos menos 713 x tiene que ser igual a 0 forzosamente pues no estoy tomando una p para una vez válida para una vez que esté o que sea un miembro del espacio columna de esto para que sea un vector válido tal que a x puede hacer este vector o él o sea el posible valor que podría tomar a x para alguna equis y bueno entonces si agregamos me queda que 2 x 3 x es lo mismo que 5 x después me queda menos y en menos z igual a 0 y date cuenta que es exactamente lo mismo a lo que llegamos ese rato nosotros nos habíamos tomado el producto cruz de dos vectores que estaban en este plano y con esto encontramos a un vector normal humberto que fuera perpendicular al plano para que después nos tomáramos el producto punto de este vector normal menos un vector en el plano que lo habíamos denotado así y después de hacer un poco de álgebra llegamos a la ecuación de mi plan esto en nuestra primera forma de resolver el problema nuestra segunda forma de resolver el problema lo que hicimos fue tomarnos la ecuación a x igual a b suponiendo que existía en el espacio columna de amd y trabajamos con la matriz aumentada hasta que llegamos a que esto tenía que ser igual a cero el producto la única manera de obtener 0 es que esta parte de aquí tenía que ser igual a 0 y llegamos ya con esto a la ecuación del plano y espero que esto sea bastante satisfactorio para ti encontrar la solución de un problema por dos maneras distintas y además que logremos con el álgebra lineal utilizar toda la información que hasta este vídeo hemos aprendido