Base de un subespacio

en este vídeo vamos a empezar con b b va a ser un sub espacio y justo en el vídeo anterior hablamos bastante acerca de sub espacios y bueno este super espacio bem va a ser el espacio vectorial generado por un conjunto de vectores y curiosamente también en el vídeo pasado vimos que todo espacio vectorial generado por un conjunto de vectores es un sub espacio válido así que tenemos un conjunto de n vectores y nos tomamos el espacio vectorial generado por estos vectores y además voy a suponer que todos estos vectores son linealmente independientes es decir el conjunto de vectores b1 b2 hasta b n es linealmente independiente y antes de dar el golpe certero quiero recordar que significaba que tuviéramos un espacio vectorial generado por estos vectores y bueno esencialmente en un espacio vectorial generado por n vectores quiere decir que nos vamos a tomar todos los vectores que tienen la forma de una combinación lineal de estos vectores es decir no voy a tomar a todos los vectores que se ven como c 1 x b1 c2 x de 2 más así hasta cn por b en donde cada seis es un número real existen los números reales y bueno tomándome todas las combinaciones lineales de estos vectores así generó el espacio vectorial generado por estos vectores y bueno ya que andamos recordando vamos a recordar también que significa que estos vectores sean linealmente independientes estos vectores son linealmente independientes si se uno por ver uno más c 2 x b 2 + c3 por b 3 más así está cn por b n igual a 0 tiene como única solución que ese 1 c 2 c 3 c n todos sean 0 es decir que ese 1 sea igual a c 2 y esto se iguala c3 y así hasta cn y todos estos sean igual a cero y todos estos sean igual a cero o dicho de otra manera que no podemos ver a ninguno de estos vectores como una combinación lineal de todos los demás ahora bien si estas dos condiciones pasan es decir que estos vectores generen avn al sub espacio ven o en dado caso cree en el espacio ven o construyan a vemos como el que han decir y además este conjunto de vectores son linealmente independientes entonces estos vectores y dejando ponerle su nombre les voy a poner el nombre s es decir que ese es el conjunto de los vectores b1 b2 b3 así hasta bn y entonces si pasan estas dos condiciones que generen al sub espacio y además que sean linealmente independientes voy a decir que ese es una base de b es una base del psuv espacio ven y viceversa si digo que ese es una base del psuv espacio ven entonces deben de ser linealmente independientes y además deben de generar ave y es que esto es una idea bastante increíble porque hablar de bases nos va a servir bastante para ver todos los vídeos posteriores pero más aún imagínate que yo tengo este mismo conjunto de vectores pero además le agregó otro vector y déjame escribirlo por aquí si yo tengo este mismo conjunto de vectores pero le agregó otro vector déjame llamar ese conjunto te te va a ser igual al conjunto de vectores de b1 b2 b3 así todos estos hasta llegar a bn y además le voy a aumentar no se ve en bs bs va a ser nuestro vector especial y supongamos que bs lo podemos ver como la suma de b1 b2 bs curiosamente es la suma de b1 b2 puede ser cualquier combinación lineal de todos los demás entonces primero claramente tema no es linealmente independiente porque estamos encontrando este vector bs que es una combinación lineal de otros dos pero más aún el espacio vectorial generado por t va a ser igual a b es decir que va a ser el mismo espacio vectorial generado por todos los demás vectores excepto de aquí voy con todo esto bueno déjenme escribirte aquí abajo que te no es linealmente independiente por lo tanto t es linealmente dependiente que no es linealmente independiente por lo tanto t no es una base debe recuerda que justo esa era una de las propiedades que necesitábamos y bueno no es una base de bem porque a lo que me estoy refiriendo es que este conjunto es de n vectores es un conjunto mínimo que genera a b tal vez ésta no sea la definición más formal pero bueno es mi forma de verlo mi forma de verlo es que cuando yo me refiero a una base de bem estoy pensando en un conjunto mínimo de vectores es un conjunto mínimo de vectores y generan a ver que generan a ver que crean a ver que construyen la vez que generan el sub espacio el sub espacio ve y bueno esto que acabo de decir es bastante importante porque me estoy refiriendo a este conjunto de vectores que tengo aquí y este conjunto de vectores es muy importante a comparación de este otro conjunto de vectores que tenía aquí donde ve ese es un vector que además de ser una combinación lineal de los otros dos es un vector del cual podemos prescindir o dicho de otra manera podemos decir que bs es un vector redundante es decir que no nos da una información nueva y como no nos da una información nueva entonces solamente estamos generando de nuevo ave este vector es redundante y bueno esto quiere decir que cuando yo tengo una base debe cada uno de los vectores que constituyen la base debe cada uno de estos vectores es necesario para construir la base debe no hay ninguno redundante y bueno una vez dicho esto vamos a hacer alguna me voy a tomar el espacio vectorial generado por estos dos vectores ese va a ser mi conjunto de vectores de m y voy a poner aquí un par de vectores del vector 23 y voy a tomarme el vector am ocurre poner el 77 0 ese es el conjunto de vectores 2 3 y 7 ser muy bien ahora lo primero que quiero probar lo primero que quiero ver es si de pura casualidad este conjunto con dos vectores generan a r2 y si no genera r 2 cuál es el espacio vectorial generado por estos dos vectores pero si genera r 2 ya lo hicimos porque sería una buena aproximación para que fuera una base de r 2 y bueno entonces para ver qué genera este par de vectores lo que voy a hacer es tomar una combinación lineal de estos dos vectores y ver qué es lo que pasa sé uno que va a multiplicar al vector 2 3 más 2 que va a multiplicar el vector 7 0 esto quiero que esté igual a x x2 y x1 y x2 quiero que sean cualquier número cualquier número que esté en los reales y con esto obtengo este par de ecuaciones 2 x 1 + 7 por 0 2 es igual a x 1 y por otra parte tengo que 3 veces se 100 x se 12 0 es igual a x2 pero de esta segunda ecuación ya puedo despejar a c1 c1 es igual a x2 entre 3 y bueno al menos ya sé que dado cualquier vector x 1 x 2 puedo encontrar una manera muy sencilla hace 1 ahora sustituyendo el valor de ese 1 en esta primera ecuación me queda que dos tercios de x 2 2 x x 2 / 3 es dos tercios de x 2 + 7 x c 2 es igual a x 1 lo único que estoy haciendo es sustituyendo este valor de ese 1 en la primera ecuación para ver si de equipo despejar hace 2 y que me quedan 7 bs 2 es igual a x uno menos dos tercios de x2 y ahora sí dividido todo entre 7 voy a encontrar por fin el valor de c 2 c 2 va a ser igual 1 entre 7 menos 2 entre 21 x 2 y fíjate bien ya tengo dos fórmulas explícitas para encontrarse 1 y c 2 dados cualquier x 1 y cualquier x 2 si yo te doy cualquier x1 y x2 en los reales es decir te doy el vector x 1 x2 cualquiera que sea este vector en r2 yo estoy encontrando una fórmula explícita para encontrar a c1 y c2 que me ayuden a darme la combinación lineal de estos dos vectores que están en ese y por lo tanto cualquier vector de r2 lo puedo encontrar con estas dos fórmulas con c 1 y con c 2 y por lo tanto estoy diciendo que el espacio vectorial generado por estos dos vectores por el vector de los tres el vector 70 es igual a r 2 a todo el plano cartesiano es decir que este conjunto de vectores se genera a r2 y perfecto ya tengo la primera propiedad genera a r2 este par de vectores genera r 2 pero esto no me basta para decir que es una base para decir que es una base necesito probar también que son linealmente independientes y para probar que son linealmente independientes me voy a tomar hace un nombre por el primer vector por el vector 2 3 más de 2 por el vector 70 y esto lo voy a ser igual al vector 0 0 y si la única solución para esto es obtener c1 y c2 igual a cero entonces son linealmente independientes y vamos a ver ya tengo una fórmula para hacer uno y para hacer dos si yo te doy un x1 y un x2 pero en este caso x1 vale 0 x2 vale 0 es decir que me estoy tomando el vector 0 0 y si yo pongo en estas fórmulas x1 igual a 0 y x2 igual a 0 obtengo que ese uno es igual a 0 entre 3 lo cual es 0 y c2 es igual a 0 entre 7 menos 2 por 0 entre 21 a lo cual es 0 y perfecto acabo de encontrar quedado x 10 x 20 c1 y c2 son igual a 0 y por lo tanto este conjunto de vectores también a su linealmente independiente es el conjunto de vectores s es linealmente independiente y qué creés sigue linealmente independiente y además el espacio vectorial generado por s es igual a r 2 entonces estoy diciendo que ese es una base de r 2 s es una base de r 2 y esto está perfecto porque estamos hablando de bases en este vídeo acabo de construirle una base r 2 ahora mi pregunta es será esta la única base de r 2 y pues bueno para esto vamos a tomarnos qué te parece otro conjunto de vectores me voy a tomar a ti te va a ser mi conjunto de vectores y me voy a tomar el 1 0 y el 0 1 estos dos vectores de r 2 ahora mi pregunta es estos dos vectores serán una base de r 2 pues primero vamos a ver qué generan estos dos vectores vamos a ver si generan r 2 y bueno date cuenta que cualquier lector x 1 x 2 lo podemos encontrar de una manera muy fácil si nosotros multiplicamos x 1 por el primer vector más x 2 por el segundo vector esto nos va a dar siempre el vector x 1 x 2 por lo tanto segundo sería igual a x 1 2 igual x2 y nos estamos dando cuenta que entonces el espacio vectorial generado por estos dos vectores es todo r2 ahora serán estos dos vectores linealmente independientes y bueno esto también está muy sencillo de verlo porque si yo en lugar de x1 y x2 pongo 0 y 0 pues la única forma de que esto me dé 0 0 tiene que ser que x1 sea cero y que x 12 a 0 por lo tanto estos dos vectores son linealmente independientes y si son linealmente independientes y generan r 2 que por cierto déjenme escribirlo aquí estos dos vectores son linealmente independientes ya tengo acá arriba que generan r 2 y entonces estos dos vectores constituyen una base de r 2 forman una base de r 2 entonces ya tengo otra base de reduce acabo de encontrar otra base de re 2 porque t también es una base de r 2 y más aún r 2 bueno r 2 es un sub espacio de r 2 esto es muy fácil de probarlo pero más que eso r2 tiene una infinidad de bases y de hecho cualquier sub espacio rn tiene una infinidad de bases y bueno esto sería muy bueno probarlo en algún vídeo pero lo que quiero que veas es más bien lo que quiero hacer ahorita es ponerle un nombre muy especial a tema porque seguramente en alguno de tus libros de matemáticas o de física has visto estos dos vectores y estos dos vectores se le conocen como los vectores canónicos esta es la base canónica o la base estándar de r2 y a estos vectores se les pone un nombre especial este es mi vector y este es mi vector j mis vectores canónicos y director canónico j y lo padre es que cualquier factor que se te ocurra en r2 lo podemos generar siempre con estos dos vectores canónicos con iu y con jota y de hecho es justo lo que quiero que veamos en este momento si yo me tomo cualquier vector de r2 este vector lo puedo formar de manera única con solamente una combinación lineal de y de jota y bueno para esto déjenme mover la pantalla y aquí me voy a tomar v 2 así hasta bn vectores tales que estos vectores imagínate que forman una base de un sub espacio y le voy a llamar a este nuevo su espacio 1 es decir estos vectores son linealmente independientes y además generan aún es un sub espacio muy bien ahora lo que yo quiero probarte en este tiempo que me queda lo que yo quiero hablarte es que imagínate que me tomo un vector y no me voy a tomar un vector de eeuu como este vector está en 1 lo podemos escribir como una combinación lineal de estos vectores que tengo aquí porque estos vectores que tengo aquí forman una base de 1 ahora la combinación lineal que se forma de estos vectores que está aquí es única y bueno vamos a intentar demostrarlo por contradicción imagínate que a existen y como a existen un entonces puedo encontrar una combinación lineal de estos vectores que me deja así que vamos a poner aquí la combinación lineal de sus vectores que me va a dar este vector a amd es igual a c uno por b 1 c 2 x b 2 más así todos 22 todos hasta llegar a cn por bn ahora imagínate que existe otra vamos a suponer que existe otra combinación lineal de estos vectores que me da también el vector a vamos a ver a que llegamos entonces a también lo podremos escribir de la siguiente manera a lo podremos escribir como de 1 vamos a suponer por b 1 más de 2 x de 2 más así hasta llegar a de n por b n ahora si esto es cierto qué pasa si restamos estos 2 qué pasa si nos tomamos la resta de estos dos vectores a menos am bueno a menos a me va a dar el vector 0 me voy a tomar la diferencia de estos dos y el vector 0 va a ser igual a quién pues factor hizo a b1 b2 y así hasta bn me va a quedar esto escrito de una manera mucho más fácil como se uno menos de uno por b uno y después a esto le voy a sumarse todos menos de 2 x b 2 y así más o no estamos llegando a la parte del pizarrón que siempre tengo problemas esta parte fíjate fíjate como aquí tengo y no puedo escribir bien entonces aquí medio borro y esto es un caos nunca puedo escribir bien en esta esquina del pizarrón y no he podido arreglar este problema entonces mira mejor no nos hagamos bolas me voy a mover un poco para acá y voy a escribir otra vez lo mismo a menos a es cero el vector cero y entonces me queda así factor y sobre uno como c1 c1 por b uno más de dos por b 2 que multiplica el vector de 2 y así hasta llegar a cnn que multiplica el vector bn pero date cuenta como sabemos que estos vectores son linealmente independientes la única forma porque recuerda que están en una base de un entonces todos estos son linealmente independientes la única forma de que una combinación lineal de estos vectores me dé el vector 0 es que cada una de las constantes que está al lado de los vectores sea igual a cero esto quiere decir que cada una de estas constantes tiene que ser igual a cero estar aquí tiene que ser igual a cero esta de aquí está atacada también tiene que ser igual a cero todas éstas tienen que ser igual a cero porque es mi única solución una combinación lineal de estos vectores y que me dé igual a cero recuerda que todo esto porque son linealmente independientes y bueno si todos estos son igual a cero esto quiere decir que si uno tiene que ser igual a de uno de dos tiene que ser igual a de dos etc ctera fíjate lo que llegamos esto quiere decir que ese uno de aquí si sea uno menos de uno es igual a cero según no tiene que ser igual a de 1 c 2 tiene que ser igual a de 2 y así hasta llegar a que se tiene que ser igual adn y por lo tanto lo que estaba haciendo es escribir a amd de dos maneras iguales porque sea uno es igual a de 112 es igual a de 2 y así todos los demás por lo tanto fíjate bien había supuesto que habría dos formas de escribir al vector a y encuentre que solamente hay una forma de escribir al vector a lo que quiere decir que la forma de escribir a este vector a es única cualquier vector que esté en el sub espacio solamente lo podemos escribir de una manera única como una combinación lineal de esos vectores linealmente independientes y bueno todo esto me lleva a una última pregunta si yo le agrego un vector a este conjunto que tengo aquí este conjunto será una paz r2 y la respuesta es que no porque a este vector lo podemos encontrar como una combinación ideal de estos dos porque habíamos visto que estos dos eran una base de r2 y por lo tanto generaban todo r2 y si generan todo el rededor entonces generará el vector 10 entonces podemos encontrar una combinación lineal de estos dos vectores que me den 10 y entonces estoy diciendo que este vector es redundante este vector cuando se lo agrego a este conjunto me da un conjunto linealmente dependiente y recuerda que no queremos conjuntos linealmente dependientes cuando hablamos de bases no olvides que podemos ver una base como el conjunto mínimo de vectores que generan bueno en este caso a r2 el conjunto de vectores más eficientes que generen a r2